Ein Bildmaß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie und dient dazu, das Maß in einem Maßraum auf einen anderen Raum zu übertragen. Hierbei werden mithilfe einer messbaren Funktion den Mengen in Werte zugeordnet. Das so auf definierte Maß ist das Bildmaß.

Eine wichtige Rolle spielt das Bildmaß insbesondere bei der Definition der Verteilung einer Zufallsvariablen.

DefinitionBearbeiten

Es sei   ein Maßraum und

 

eine  -messbare Funktion in einen Messraum  . Dann ist die Abbildung

 

definiert durch

 

ein Maß auf  , genannt das Bildmaß von   bezüglich  . Dabei bezeichnet   das Urbild von  .

TransformationssatzBearbeiten

Für eine messbare Funktion   (wobei   die (affin) erweiterten reellen Zahlen bezeichnet) gilt der folgende Transformationssatz für messbare Mengen  :

 ,

wenn mindestens eines der beiden obigen Integrale definiert ist.[1]

QuellenBearbeiten

  1. Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Theorem 1.6.12.