Transformationssatz

Der Transformationssatz (auch Transformationsformel) beschreibt in der Analysis das Verhalten von Integralen unter Koordinatentransformationen. Er ist somit die Verallgemeinerung der Integration durch Substitution auf Funktionen höherer Dimensionen. Der Transformationssatz wird als Hilfsmittel bei der Berechnung von Integralen verwendet, wenn sich das Integral nach Überführung in ein anderes Koordinatensystem leichter berechnen lässt.

Formulierung des SatzesBearbeiten

Es sei   eine offene Menge und   ein Diffeomorphismus. Dann ist die Funktion   auf   genau dann integrierbar, wenn die Funktion   auf   integrierbar ist. In diesem Fall gilt:

 

Dabei ist   die Jacobi-Matrix und   die Funktionaldeterminante von  .

SpezialfälleBearbeiten

  • Wählt man für   die konstante Funktion 1, so stellt die linke Seite der Formel einfach das Volumen bzw.  -dimensionale Lebesgue-Maß der Bildmenge   dar:
     
  • Ist außerdem die Abbildung   linear oder affin,  , wobei   eine  -Matrix ist und  , so ist  . Somit gilt
     

BeispielBearbeiten

Um zu zeigen, dass das Integral über die Gauß-Glocke

 

gleich 1 ist, genügt es, die Aussage

 

zu beweisen. Da die Funktion   rotationssymmetrisch ist, liegt die Berechnung des Integrals in Polarkoordinaten statt kartesischen Koordinaten nahe:

Es sei   und

 

Dann ist die Funktionaldeterminante

 

Das Komplement von   ist eine Nullmenge, mit   ergibt sich also

 
 
 
 
 
 

Die Auswertung des inneren Integrals in der vorletzten Zeile kann beispielsweise durch eine Substitution   begründet werden.

LiteraturBearbeiten