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Integralrechnung

mathematischer Bereich der Analysis
Darstellung des Integrals als Flächeninhalt unter dem Graphen einer Funktion im Integrationsbereich von bis

Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin Analysis. Sie ist aus dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung entstanden. Das Integral ist ein Oberbegriff für das unbestimmte und das bestimmte Integral. Die Berechnung von Integralen heißt Integration.

Das bestimmte Integral einer Funktion ordnet dieser eine Zahl zu. Bildet man das bestimmte Integral einer reellen Funktion in einer Variablen, so lässt sich das Ergebnis im zweidimensionalen Koordinatensystem als Flächeninhalt der Fläche, die zwischen dem Graphen der Funktion, der -Achse sowie den begrenzenden Parallelen zur -Achse liegt, deuten. Hierbei zählen Flächenstücke unterhalb der -Achse negativ. Man spricht vom orientierten Flächeninhalt (auch Flächenbilanz). Diese Konvention wird gewählt, damit das bestimmte Integral eine lineare Abbildung ist, was sowohl für theoretische Überlegungen als auch für konkrete Berechnungen eine zentrale Eigenschaft des Integralbegriffs darstellt. Auch wird so sichergestellt, dass der sogenannte Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt.

Das unbestimmte Integral einer Funktion ordnet dieser eine Menge von Funktionen zu, deren Elemente Stammfunktionen genannt werden. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass ihre ersten Ableitungen mit der Funktion, die integriert wurde, übereinstimmen. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gibt Auskunft darüber, wie bestimmte Integrale aus Stammfunktionen berechnet werden können.

Im Gegensatz zur Differentiation existiert für die Integration auch elementarer Funktionen kein einfacher und kein alle Fälle abdeckender Algorithmus. Integration erfordert trainiertes Raten, das Benutzen spezieller Umformungen (Integration durch Substitution, partielle Integration), Nachschlagen in einer Integraltafel oder das Verwenden spezieller Computer-Software. Oft erfolgt die Integration nur näherungsweise mittels sogenannter numerischer Quadratur.

In der Technik benutzt man zur näherungsweisen Flächenbestimmung sogenannte Planimeter, bei denen die Summierung der Flächenelemente kontinuierlich erfolgt. Der Zahlenwert der so bestimmten Fläche kann an einem Zählwerk abgelesen werden, das zur Erhöhung der Ablesegenauigkeit mit einem Nonius versehen ist. Chemiker pflegten früher Integrale beliebiger Flächen mit Hilfe einer Analysenwaage oder Mikrowaage zu bestimmen: Die Fläche wurde sorgfältig ausgeschnitten und gewogen, ebenso ein genau 10 cm × 10 cm großes Stück des gleichen Papiers; eine Dreisatzrechnung führte zum Ergebnis.

Was ist das Integral (Animation)

Inhaltsverzeichnis

GeschichteBearbeiten

Flächenberechnungen werden seit der Antike untersucht. Im 5. Jahrhundert vor Christus entwickelte Eudoxos von Knidos nach einer Idee von Antiphon die Exhaustionsmethode, die darin bestand, Verhältnisse von Flächeninhalten mittels enthaltener oder überdeckender Polygone abzuschätzen. Er konnte durch diese Methode sowohl Flächeninhalte als auch Volumina einiger einfacher Körper bestimmen. Archimedes (287–212 v. Chr.) verbesserte diesen Ansatz, und so gelang ihm die exakte Bestimmung des Flächeninhalts einer von einem Parabelbogen und einer Sekante begrenzten Fläche ohne Rückgriff auf den Grenzwertbegriff, der damals noch nicht vorhanden war; dieses Ergebnis lässt sich leicht in das heute bekannte Integral einer quadratischen Funktion umformen. Zudem schätzte er das Verhältnis von Kreisumfang zu Durchmesser,  , als Wert zwischen   und   ab.

Diese Methode wurde auch im Mittelalter benutzt. Im 17. Jahrhundert stellte Bonaventura Francesco Cavalieri das Prinzip von Cavalieri auf, wonach zwei Körper das gleiche Volumen haben, wenn alle parallelen ebenen Schnitte den gleichen Flächeninhalt haben. Johannes Kepler benutzte in seinem Werk Astronomia Nova (1609) bei der Berechnung der Marsbahn Methoden, die heute als numerische Integration bezeichnet werden würden. Er versuchte ab 1612, den Rauminhalt von Weinfässern zu berechnen. 1615 veröffentlichte er die Stereometria Doliorum Vinariorum („Stereometrie der Weinfässer“), später auch als keplersche Fassregel bekannt.

Ende des 17. Jahrhunderts gelang es Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz unabhängig voneinander, Kalküle zur Differentialrechnung zu entwickeln und so den Fundamentalsatz der Analysis zu entdecken (zur Entdeckungsgeschichte und zum Prioritätsstreit siehe den Artikel Infinitesimalrechnung; zum Integralzeichen und dessen Geschichte siehe Integralzeichen). Ihre Arbeiten erlaubten das Abstrahieren von rein geometrischer Vorstellung und werden deshalb als Beginn der Analysis betrachtet. Bekannt wurden sie vor allem durch das Buch des Adligen Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital, der bei Johann I Bernoulli Privatunterricht nahm und dessen Forschung zur Analysis so publizierte. Der Begriff Integral geht auf Johann Bernoulli zurück.

Im 19. Jahrhundert wurde die gesamte Analysis auf ein solideres Fundament gestellt. 1823 entwickelte Augustin-Louis Cauchy erstmals einen Integralbegriff, der den heutigen Ansprüchen an Stringenz genügt. Später entstanden die Begriffe des Riemann-Integrals und des Lebesgue-Integrals. Schließlich folgte die Entwicklung der Maßtheorie Anfang des 20. Jahrhunderts.

Integral für kompakte IntervalleBearbeiten

„Kompakt“ bedeutet hier beschränkt und abgeschlossen, es werden also nur Funktionen auf Intervallen der Form   betrachtet. Offene oder unbeschränkte Intervalle sind nicht zugelassen.

MotivationBearbeiten

Reduktion komplizierterer Flächeninhalte auf IntegraleBearbeiten

Ein Ziel der Integralrechnung ist die Berechnung von Flächeninhalten krummlinig begrenzter Bereiche der Ebene. In den meisten in der Praxis auftretenden Fällen sind derartige Flächen beschrieben durch zwei stetige Funktionen   auf einem kompakten Intervall  , deren Graphen die Fläche begrenzen (linkes Bild).

 :  :  

Der Flächeninhalt der grauen Fläche im linken Bild ist gleich der Differenz der grauen Bereiche in den beiden rechten Bildern. Es genügt also, sich auf den einfacheren Fall einer Fläche zu beschränken, die begrenzt wird von:

  • dem Graphen einer Funktion
  • zwei vertikalen Geraden   und  
  • sowie der  -Achse.

Auf Grund seiner fundamentalen Bedeutung erhält dieser Typ Flächeninhalt eine spezielle Bezeichnung:

 ,

gelesen als Integral von   bis   über (oder: von)   von  ,  . Der Faktor   wird heute im Allgemeinen als reiner Notationsbestandteil verwendet und steht dabei für das Differential auf der  -Achse. Statt   kann auch eine andere Variable, abgesehen von   und   gewählt werden, zum Beispiel  , was den Wert des Integrals nicht ändert.

Integrale negativer FunktionenBearbeiten

Verschiebt man den Graphen einer Funktion in Richtung der  -Achse um ein Stück  , so kommt zu der betrachteten Fläche ein Rechteck hinzu:

 :  

Das Integral ändert sich um den Flächeninhalt dieses Rechtecks der Breite   und der Höhe  , in Formeln

 

Betrachtet man eine stetige Funktion, deren Werte negativ sind, so kann man stets ein   finden, sodass die Werte   im Intervall alle positiv sind (  muss größer als der Betrag des Minimums von   in   sein). Mit der vorhergehenden Überlegung erhält man

 

das heißt, das Integral von   ist die Differenz der Flächeninhalte des weißen Bereichs in der Mitte und dem umgebenden Rechteck. Diese Differenz ist aber negativ, das heißt, soll die obige Formel für beliebige Funktionen korrekt sein, so muss man Flächen unterhalb der  -Achse negativ zählen. Man spricht deshalb von einem orientierten bzw. gerichteten Flächeninhalt.

Wenn eine oder mehrere Nullstellen im zu untersuchenden Intervall vorliegen, gibt das Integral nicht mehr den Flächeninhalt an, sondern die Summe aus den (positiven) Flächeninhalten der Teilflächen oberhalb der  -Achse und den (negativen) Flächeninhalten der Teilflächen unterhalb der  -Achse. Benötigt man in einem solchen Intervall die Fläche zwischen  -Achse und Graph der Funktion, muss das Integral an den Nullstellen aufgeteilt werden.

Das Prinzip von Cavalieri und die Additivität des IntegralsBearbeiten

Axiomatischer ZugangBearbeiten

Es ist nicht einfach, den Begriff des Flächeninhaltes mathematisch präzise zu fassen. Im Laufe der Zeit wurden dafür verschiedene Konzepte entwickelt. Für die meisten Anwendungen sind deren Details jedoch unerheblich, da sie unter anderem auf der Klasse der stetigen Funktionen übereinstimmen. Im Folgenden werden einige Eigenschaften des Integrals aufgelistet, die oben motiviert wurden und unabhängig von der genauen Konstruktion für jedes Integral gelten. Außerdem legen sie das Integral stetiger Funktionen eindeutig fest.

Es seien   reelle Zahlen, und es sei   ein Vektorraum von Funktionen  , der die stetigen Funktionen umfasst. Funktionen in   werden „integrierbar“ genannt. Dann ist ein Integral eine Abbildung

 

geschrieben

 

mit den folgenden Eigenschaften:

  • Linearität: Für Funktionen   und   gilt
    •  ,
    •  .
  • Monotonie: Ist   für alle  , so ist
     
  • Integral der charakteristischen Funktion eines Intervalls: Ist   ein Intervall und ist
 
so ist
 
gleich der Länge des Intervalls  .

BezeichnungenBearbeiten

  • Die reellen Zahlen   und   heißen Integrationsgrenzen. Sie können oberhalb und unterhalb des Integralzeichens oder seitlich vom Integralzeichen geschrieben werden:
      oder      
  • Die zu integrierende Funktion   heißt Integrand.
  • Die Variable   heißt Integrationsvariable. Ist   die Integrationsvariable, so spricht man auch von Integration über  . Die Integrationsvariable ist austauschbar, statt
 
kann man genauso gut
  oder  
schreiben. In dem obigen Beispiel führt es zu unerwünschten Mehrdeutigkeiten, wenn man die Buchstaben   oder   verwendet, da sie bereits als Bezeichner für die Integrationsgrenzen fungieren. Daher sollte man darauf achten, dass das für die Integrationsvariable verwendete Zeichen nicht schon mit einer anderen Bedeutung belegt ist.
  • Der Bestandteil „ “ wird Differential genannt, hat aber in diesem Kontext meist nur symbolische Bedeutung. Daher wird hier nicht versucht, ihn zu definieren. Am Differential liest man die Integrationsvariable ab.

Herkunft der NotationBearbeiten

Die symbolische Schreibweise von Integralen geht auf den Miterstbeschreiber der Differential- und Integralrechnung, Gottfried Wilhelm Leibniz, zurück. Das Integralzeichen ist aus dem Buchstaben langes s (ſ) für lateinisch summa abgeleitet. Die multiplikativ zu lesende Notation   deutet an, wie sich das Integral – dem Riemann-Integral folgend – aus Streifen der Höhe   und der infinitesimalen Breite   zusammensetzt.

Alternative Schreibweise in der PhysikBearbeiten

In der theoretischen Physik wird aus pragmatischen Gründen oft eine leicht andere Schreibweise für Integrale benutzt (vor allem bei Mehrfachintegralen). Dort wird statt

 

oft

 

geschrieben, manchmal werden an verschiedenen Stellen sogar beide Schreibweisen benutzt.

Die zweite Schreibweise hat den Nachteil, dass die zu integrierende Funktion   nicht mehr durch   und   eingeklammert wird. Zudem können Missverständnisse zum Beispiel beim Lebesgue-Integral auftreten. Die alternative Schreibweise hat jedoch auch einige Vorzüge:

  • Der Ausdruck   hebt hervor, dass das Integral ein linearer Operator ist, der auf alles rechts von ihm wirkt.
  • Oft tauchen in der Physik Integrale auf, bei denen die zu integrierende Funktion mehrere Zeilen lang ist oder es wird über mehrere Unbekannte   integriert. Dann weiß man bei der Schreibweise   schon zu Beginn des Integrals, welche Variablen überhaupt und über welche Grenzen integriert werden. Ferner ist dann die Zuweisung von Variablen zu Grenzen einfacher.
  • Die Kommutativität der Produkte bei den in der Riemann’schen Näherung auftretenden Summanden   wird betont.

Beispiel:

 

statt

 

Einfache Folgerungen aus den AxiomenBearbeiten

  • Ist   für alle  , so ist
 
  • Bezeichnet man mit   die Supremumsnorm von   auf  , so gilt
 
  • Ist   für alle   mit einer festen Zahl  , so gilt
 
Daraus folgt: Ist   eine Folge von integrierbaren Funktionen, die gleichmäßig gegen eine (integrierbare) Funktion   konvergiert, so ist
 
Mit anderen Worten: Das Integral ist ein stetiges Funktional für die Supremumsnorm.
  • Integrale von Treppenfunktionen: Ist   eine Treppenfunktion, das heißt, ist   eine disjunkte Vereinigung von Intervallen   der Längen  , sodass   auf   konstant mit Wert   ist, so gilt
 
also anschaulich gleich der Summe der orientierten Flächeninhalte der Rechtecke zwischen dem Funktionsgraphen von   und der  -Achse.

Stammfunktionen und der Hauptsatz der Differential- und IntegralrechnungBearbeiten

Die Integration ist eine nicht-eindeutige Umkehrung der Differentiation. Um dies zu präzisieren, wird der Begriff der Stammfunktion benötigt: Ist   eine Funktion, so heißt eine Funktion   eine Stammfunktion von  , wenn die Ableitung von   gleich   ist:

 

Nicht-eindeutig ist diese Umkehrung, weil verschiedene Funktionen (z. B. Polynomfunktionen, die sich nur im Y-Achsenabschnitt unterscheiden) ein- und dieselbe Ableitung haben können, was dazu führt, dass eine Funktion nicht nur eine, sondern unendlich viele Stammfunktionen hat.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt die Beziehung zwischen Stammfunktionen und Integralen her. Er besagt: Ist   eine stetige Funktion auf einem Intervall   und ist   eine Stammfunktion von  , so gilt

 

Die rechte Seite wird oft abkürzend als

  oder Ähnliches

geschrieben.

Dieser Zusammenhang ist die hauptsächliche Methode zur expliziten Auswertung von Integralen. Die Schwierigkeit liegt meist im Auffinden einer Stammfunktion.

Die bloße Existenz ist theoretisch gesichert: Die Integralfunktion

 

ist für jedes   eine Stammfunktion von  .

Eigenschaften von StammfunktionenBearbeiten

Man kann zu einer Stammfunktion eine Konstante addieren und erhält wieder eine Stammfunktion: Ist   eine Stammfunktion zu einer Funktion   und ist   eine Konstante, so ist

 

Zwei Stammfunktionen derselben auf einem Intervall definierten Funktion unterscheiden sich um eine Konstante: Sind   und   Stammfunktionen derselben Funktion  , so ist

 

also ist die Differenz   eine Konstante. Ist der Definitionsbereich von   kein Intervall, so ist die Differenz zweier Stammfunktionen lediglich lokal konstant.

Unbestimmtes IntegralBearbeiten

Eine Stammfunktion wird auch als unbestimmtes Integral von   bezeichnet – manchmal ist damit aber auch die Menge aller Stammfunktionen gemeint. Ist   eine Stammfunktion, so schreibt man häufig unpräzise

 

um anzudeuten, dass jede Stammfunktion von   die Form   mit einer Konstante   hat. Die Konstante   heißt Integrationskonstante.

Man beachte, dass die Schreibweise

 

jedoch auch häufig in Formeln benutzt wird, um anzudeuten, dass Gleichungen für beliebige, konsistent gewählte Grenzen gelten; beispielsweise ist mit

 

gemeint, dass

 

für beliebige   gilt.

Bestimmung von StammfunktionenBearbeiten

Siehe dazu den Artikel: Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen oder unbestimmte Integrale in der Formelsammlung Mathematik.

Im Gegensatz zur Ableitungsfunktion ist die explizite Berechnung einer Stammfunktion bei vielen Funktionen sehr schwierig oder nicht möglich. Oft schlägt man Integrale deshalb in Tabellenwerken (z. B. einer Integraltafel) nach. Zur händischen Berechnung einer Stammfunktion ist häufig die geschickte Anwendung der folgenden Standardtechniken hilfreich.

Partielle IntegrationBearbeiten

Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel der Differentialrechnung. Sie lautet:

 

Diese Regel ist dann von Vorteil, wenn die Funktion   einfacher als die Funktion   zu integrieren ist. Hierbei sind jedoch die Produkte und nicht die Faktoren selbst zu bewerten.

Beispiel:

 

Setzt man

  und  

so ist

  und  

und man erhält

 

Integration durch SubstitutionBearbeiten

Die Substitutionsregel ist ein wichtiges Hilfsmittel, um einige schwierige Integrale zu berechnen, da sie bestimmte Änderungen der zu integrierenden Funktion bei gleichzeitiger Änderung der Integrationsgrenzen erlaubt. Sie ist das Gegenstück zur Kettenregel in der Differentialrechnung.

Sei   mit   und   eine Stammfunktion von  , so ist   eine Stammfunktion von  , denn es gilt

 

und mit der Substitution

 

schließlich

 

Umformung durch PartialbruchzerlegungBearbeiten

Bei gebrochenrationalen Funktionen führt häufig eine Polynomdivision oder eine Partialbruchzerlegung zu einer Umformung der Funktion, die es erlaubt, eine der Integrationsregeln anzuwenden.

Spezielle VerfahrenBearbeiten

Oft ist es möglich, unter Ausnutzung der speziellen Form des Integranden die Stammfunktion zu bestimmen.

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, bei einem bekannten Integral zu beginnen und dieses durch Integrationstechniken solange umzuformen, bis das gewünschte Integral entsteht. Beispiel:

Um   zu bestimmen, integrieren wir das folgende ähnliche Integral partiell:

 

Durch Umstellen folgt

 

AnwendungenBearbeiten

Mittelwerte stetiger FunktionenBearbeiten

Um den Mittelwert   einer gegebenen stetigen Funktion   auf einem Intervall   zu berechnen, benutzt man die Formel

 

Da diese Definition für Treppenfunktionen mit dem üblichen Mittelwertbegriff übereinstimmt, ist diese Verallgemeinerung sinnvoll.

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt, dass dieser Mittelwert von einer stetigen Funktion im Intervall   auch tatsächlich angenommen wird.

Beispiel für den Integralbegriff in der PhysikBearbeiten

Ein physikalisches Phänomen, an dem der Integralbegriff erklärt werden kann, ist der freie Fall eines Körpers im Schwerefeld der Erde. Die Beschleunigung   des freien Falls in Mitteleuropa beträgt ca. 9,81 m/s². Die Geschwindigkeit   eines Körpers zur Zeit   lässt sich daher durch die Formel

 

ausdrücken.

Nun soll aber die Wegstrecke   berechnet werden, die der fallende Körper innerhalb einer bestimmten Zeit   zurücklegt. Das Problem hierbei ist, dass die Geschwindigkeit   des Körpers mit der Zeit zunimmt. Um das Problem zu lösen, nimmt man an, dass für eine kurze Zeitspanne   die Geschwindigkeit  , die sich aus der Zeit   ergibt, konstant bleibt.

Die Zunahme der Wegstrecke innerhalb des kurzen Zeitraums   beträgt daher

 .

Die gesamte Wegstrecke lässt sich daher als

 

ausdrücken. Wenn man nun die Zeitdifferenz   gegen Null streben lässt, erhält man

 

Das Integral lässt sich analytisch angeben mit

 

Die allgemeine Lösung führt zur Bewegungsgleichung des im konstanten Schwerefeld fallenden Körpers:

 

Weiter lässt sich aus dieser Bewegungsgleichung durch Differenzieren nach der Zeit die Gleichung für die Geschwindigkeit:

 

und durch nochmaliges Differenzieren für die Beschleunigung herleiten:

 

Weitere einfache Beispiele sind:

  • Die Energie ist das Integral der Leistung über die Zeit.
  • Die elektrische Ladung eines Kondensators ist das Integral des durch ihn fließenden Stromes über die Zeit.
  • Das Integral des Produktes der spektralen Bestrahlungsstärke (Ee(ν) in W/m2Hz) mit der spektralen Hellempfindlichkeitskurve des Auges liefert die Beleuchtungsstärke (E in Lux = Lumen/m2).
  • Das Integral der Strömungsgeschwindigkeit (Längskomponente) über den Querschnitt eines Rohres liefert den gesamten Volumenstrom durch das Rohr (weitere mehrdimensionale Integrale siehe unten).

KonstruktionenBearbeiten

Cauchy-IntegralBearbeiten

 
Augustin-Louis Cauchy

Eine Regelfunktion ist eine Funktion, die sich gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximieren lässt. Aufgrund der erwähnten Kompatibilität des Integrals mit gleichmäßigen Limites kann man für eine Regelfunktion  , die gleichmäßiger Limes einer Folge   von Treppenfunktionen ist, das Integral definieren als

 

wobei das Integral für Treppenfunktionen durch die oben angegebene Formel definiert wird.

Die Klasse der Regelfunktionen umfasst alle stetigen Funktionen und alle monotonen Funktionen, ebenso alle Funktionen  , für die sich   in endlich viele Intervalle   unterteilen lässt, sodass die Einschränkung von   auf   eine stetige oder monotone Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall   ist, d. h. alle stückweise stetigen Funktionen. Sie umfasst außerdem Funktionen von beschränkter Variation, da sich so eine Funktion als Differenz zweier monoton steigender Funktionen darstellen lässt. Für viele praktische Zwecke ist diese Integralkonstruktion völlig ausreichend.

Es gibt auch stetige Funktionen mit unendlicher Variation wie z. B. die durch   und   für   auf dem Intervall   definierte Funktion (siehe Variation).

Riemann-IntegralBearbeiten

 
Bernhard Riemann

Ein Ansatz zur Berechnung des Integrals nach Riemann ist die Approximation der zu integrierenden Funktion durch eine Treppenfunktion; allerdings nicht durch gleichmäßige Approximation der Funktion selbst, sondern durch Approximation des Flächeninhalts durch Rechtecksummen.

Die Fläche wird durch die Summe der Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke unter den einzelnen „Treppenstufen“ angenähert. Zu jeder Zerlegung des Integrationsintervalls kann man dazu einen beliebigen Funktionswert innerhalb jedes Teilintervalls als Höhe der Stufe wählen.

Dies sind die nach dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann bezeichneten Riemann-Summen. Wählt man in jedem Teilintervall der Zerlegung gerade das Supremum der Funktion als Höhe des Rechtecks, so ergibt sich die Obersumme, mit dem Infimum die Untersumme.

Das Riemannsche Integral lässt sich mit Hilfe von Ober- und Untersummen definieren, siehe Riemannsches Integral. Konvergieren Ober- und Untersummen gegen den gleichen Grenzwert, so ist dieser Grenzwert das Integral im Sinne von Riemann. Integrierbar in diesem Sinne sind z. B. sämtliche Funktionen, für die das Cauchy-Integral existiert.

Das Riemann-Integral existiert z. B. nicht für die Indikatorfunktion der rationalen Zahlen im Intervall  , d. h. für die Dirichlet-Funktion. Deshalb wurden erweiterte Integralbegriffe von Henri Léon Lebesgue (Lebesgue-Integral), Thomas Jean Stieltjes (Stieltjesintegral) und Alfréd Haar eingeführt, die für stetige Integranden das Riemann-Integral reproduzieren.

Stieltjes-IntegralBearbeiten

Beim Stieltjes-Integral geht man von monotonen Funktionen   aus, oder von solchen mit endlicher Variation, das sind Differenzen von zwei monotonen Funktionen, und definiert für stetige Funktionen   Riemann-Stieltjes’sche Summen als

 

Durch Limesbildung in der üblichen Weise erhält man dann das sogenannte Riemann-Stieltjes-Integral  .

Solche Integrale sind auch dann definiert, wenn die Funktion   nicht differenzierbar ist (andernfalls gilt  ). Ein bekanntes Gegenbeispiel ist die sogenannte Heaviside-Funktion  , deren Wert gleich Null für die negativen Zahlen, Eins für positive   und z. B.   für den Punkt   ist. Man schreibt, für     und erhält so die „verallgemeinerte Funktion“  , das sogenannte Diracmaß, als ein nur für den Punkt   definiertes Maß.

Lebesgue-IntegralBearbeiten

 
Henri Lebesgue

Einen moderneren und – in vielerlei Hinsicht – besseren Integralbegriff als den des Riemann’schen Integrals liefert das Lebesgue-Integral. Es erlaubt zum Beispiel die Integration über allgemeine Maßräume. Das bedeutet, dass man Mengen ein Maß zuordnen kann, das nicht notwendig mit ihrer geometrischen Länge bzw. ihrem Rauminhalt übereinstimmen muss, so zum Beispiel Wahrscheinlichkeitsmaße in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Das Maß, das dem intuitiven Längen- bzw. Volumenbegriff entspricht, ist das Lebesgue-Maß. In der Regel wird das Integral über dieses Maß als Lebesgue-Integral bezeichnet. Man kann beweisen, dass für jede Funktion, die über einem kompakten Intervall Riemann-integrierbar ist, auch das entsprechende Lebesgue-Integral existiert und die Werte beider Integrale übereinstimmen. Umgekehrt sind aber nicht alle Lebesgue-integrierbaren Funktionen auch Riemann-integrierbar. Das bekannteste Beispiel dafür ist die Dirichlet-Funktion, also die Funktion, die für rationale Zahlen den Wert Eins, aber für irrationale Zahlen den Wert Null hat. Neben der größeren Klasse an integrierbaren Funktionen zeichnet sich das Lebesgue-Integral gegenüber dem Riemann-Integral vor allem durch die besseren Konvergenzsätze aus (Satz von der monotonen Konvergenz, Satz von der majorisierten Konvergenz) und die besseren Eigenschaften der durch das Lebesgue-Integral normierten Funktionenräume (etwa Vollständigkeit).

In der modernen Mathematik versteht man unter Integral oder Integrationstheorie häufig den lebesgueschen Integralbegriff.

Uneigentliches IntegralBearbeiten

Das Riemann-Integral ist (im eindimensionalen Raum) nur für kompakte, also beschränkte und abgeschlossene, Intervalle definiert. Eine Verallgemeinerung auf unbeschränkte Definitionsbereiche oder Funktionen mit Singularitäten bietet das uneigentliche Integral. Auch in der Lebesgue-Theorie können uneigentliche Integrale betrachtet werden, jedoch ist dies nicht so ergiebig, da man mit dem Lebesgue-Integral schon viele Funktionen mit Singularitäten oder unbeschränktem Definitionsbereich integrieren kann.

Verfahren zur Berechnung bestimmter und uneigentlicher IntegraleBearbeiten

Numerische VerfahrenBearbeiten

Oft ist es schwierig oder nicht möglich, eine Stammfunktion explizit anzugeben. Allerdings reicht es in vielen Fällen auch aus, das bestimmte Integral näherungsweise zu berechnen. Man spricht dann von numerischer Quadratur oder numerischer Integration. Viele Verfahren zur numerischen Quadratur bauen auf einer Approximation der Funktion durch einfacher integrierbare Funktionen auf, zum Beispiel durch Polynome. Die Trapezregel oder auch die simpsonsche Formel (deren Spezialfall als keplersche Fassregel bekannt ist) sind Beispiele dafür, hier wird durch die Funktion ein Interpolationspolynom gelegt und dann integriert.

Bereits lange vor der Verbreitung von Computern wurden für die numerische Integration Verfahren zur automatischen Schrittweitensteuerung entwickelt. Heute bietet die Computeralgebra die Möglichkeit, komplexe Integrale numerisch in immer kürzeren Zeiten bzw. immer genauer zu lösen, wobei auch bei leistungsfähigen Systemen noch Schwierigkeiten bei uneigentlichen Integralen bestehen, für deren Berechnung oft spezielle Verfahren wie Gauß-Kronrod angewendet werden müssen. Ein Beispiel für ein solches hartes Integral ist:

 

Klassische Verfahren sind z. B. die Eulersche Summenformel, bei der das bestimmte Integral durch eine im Allgemeinen asymptotische Reihe approximiert wird. Weitere Methoden basieren auf der Theorie der Differenzenrechnung, als wichtiges Beispiel ist hier die Gregorysche Integrationsformel zu nennen.

Exakte VerfahrenBearbeiten

 
Leonhard Euler

Es gibt eine Reihe von Verfahren, mit denen bestimmte und uneigentliche Integrale exakt in symbolischer Form berechnet werden können.

Falls   stetig und zu   eine Stammfunktion   bekannt ist, lässt sich das bestimmte Integral

 

durch den Hauptsatz berechnen. Problematisch ist, dass die Operation des unbestimmten Integrierens zu einer Erweiterung vorgegebener Funktionsklassen führt. Z. B. ist das Integrieren innerhalb der Klasse der rationalen Funktionen nicht abgeschlossen und führt auf die Funktionen   und  . Auch die Klasse der so genannten elementaren Funktionen ist nicht abgeschlossen. So hat Joseph Liouville bewiesen, dass die Funktion   keine elementare Stammfunktion besitzt. Leonhard Euler war einer der ersten, die Methoden zur exakten Berechnung bestimmter und uneigentlicher Integrale ohne Bestimmung einer Stammfunktion entwickelten. Im Laufe der Zeit sind zahlreiche allgemeinere und speziellere Methoden zur bestimmten Integration entstanden:

  • Benutzung des Residuensatzes
  • Darstellung des von einem Parameter abhängigen Integrals durch spezielle Funktionen
  • Differentiation oder Integration des Integrals nach einem Parameter und Vertauschung der Grenzprozesse
  • Benutzung einer Reihenentwicklung des Integranden mit gliedweiser Integration
  • durch partielle Integration und Substitution das Integral auf sich selbst oder ein anderes zurückführen

Bis zum Ende des 20. Jahrhunderts sind zahlreiche (teils mehrbändige) Integraltafeln mit bestimmten Integralen entstanden. Zur Illustration der Problematik einige Beispiele:

 
 

Besondere IntegraleBearbeiten

Es gibt eine Reihe von bestimmten und uneigentlichen Integralen, die eine gewisse Bedeutung für die Mathematik haben und daher einen eigenen Namen tragen:

 
 
    und speziell für  :  
 

Mehrdimensionale IntegrationBearbeiten

WegintegraleBearbeiten

Reelle Wegintegrale und Länge einer KurveBearbeiten

Ist   ein Weg, also eine stetige Abbildung, und   eine skalare Funktion, so ist das Wegintegral von   entlang   definiert als

 

Ist  , so erhalten wir aus der obigen Formel die Länge der Kurve   (physikalisch gesprochen) als das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit:

 

Reelle Wegintegrale für vektorielle FunktionenBearbeiten

In der Physik werden häufig Wegintegrale der folgenden Form verwendet:   ist eine Vektorfunktion  , und es wird das Integral

 

betrachtet, wobei der Ausdruck in den gewinkelten Klammern ein Skalarprodukt darstellt.

Komplexe WegintegraleBearbeiten

In der Funktionentheorie, also der Erweiterung der Analysis auf Funktionen einer komplexen Veränderlichen, genügt es nicht mehr, untere und obere Integrationsgrenzen anzugeben. Zwei Punkte der komplexen Ebene können, anders als zwei Punkte auf der Zahlengeraden, durch viele Wege miteinander verbunden werden. Deshalb ist das bestimmte Integral in der Funktionentheorie grundsätzlich ein Wegintegral. Für geschlossene Wege gilt der Residuensatz, ein wichtiges Resultat von Cauchy: Das Integral einer meromorphen Funktion entlang eines geschlossenen Weges hängt allein von der Anzahl der umschlossenen Singularitäten ab. Es ist Null, falls sich im Integrationsgebiet keine Singularitäten befinden.

OberflächenintegraleBearbeiten

Beispiel: Berechnung von RauminhaltenBearbeiten

Als Beispiel wird das Volumen zwischen dem Graphen der Funktion   mit   über dem Einheitsquadrat   berechnet. Dazu teilt man das Integral über   auf zwei Integrale auf, eines für die  - und eines für die  -Koordinate:

 

Für   ergibt das Oberflächenintegral den Flächeninhalt der Integrationsfläche.

VolumenintegraleBearbeiten

Für   berechnet das Volumenintegral den Volumeninhalt des Integrationsbereiches.

Integration über mehr- und höherdimensionale BereicheBearbeiten

Den Integralbegriff kann man auf den Fall verallgemeinern, dass die Trägermenge, auf der der Integrand   operiert, nicht die Zahlengerade  , sondern der  -dimensionale euklidische Raum   ist.

Satz von Fubini und TransformationssatzBearbeiten

Für mehrdimensionale Integrale, also auch Flächen- und Volumenintegrale, findet der Satz von Fubini Anwendung, der es erlaubt, die Integrale in beliebiger Reihenfolge über die einzelnen Koordinaten aufzuspalten und sie nacheinander abzuarbeiten:

 

Die Integrationsgrenzen der eindimensionalen Integrale in  ,   und   muss man aus der Begrenzung des Volumens   ermitteln. Analog zu den uneigentlichen Integralen im Eindimensionalen (siehe oben) kann man aber auch Integrale über den gesamten, unbeschränkten  -dimensionalen Raum betrachten.

Die Verallgemeinerung der Substitutionsregel im Mehrdimensionalen ist der Transformationssatz. Sei   offen und   eine injektive, stetig differenzierbare Abbildung, für deren Funktionaldeterminante   für alle   gilt. Dann ist

 

Integrale über MannigfaltigkeitenBearbeiten

Insbesondere in vielen physikalischen Anwendungen ist die Integration über die Oberfläche eines Gebiets interessant. Solche Oberflächen werden üblicherweise durch Mannigfaltigkeiten beschrieben. Diese werden durch sogenannte Karten beschrieben.

Integration über ein KartengebietBearbeiten

Sei   eine  -dimensionale Untermannigfaltigkeit des   und   ein Kartengebiet in  , also eine offene Teilmenge in  , für die es eine Karte gibt, die sie diffeomorph auf eine offene Teilmenge des   abbildet. Ferner sei   eine Parametrisierung von  , also eine stetig differenzierbare Abbildung, deren Ableitung vollen Rang hat, die   homöomorph auf   abbildet. Dann ist das Integral einer Funktion auf dem Kartengebiet   folgendermaßen definiert:

 

wobei   die Gramsche Determinante ist. Das rechte Integral kann mit den oben beschriebenen Methoden der mehrdimensionalen Integration ausgerechnet werden. Die Gleichheit folgt im Wesentlichen aus dem Transformationssatz.

Integration über eine UntermannigfaltigkeitBearbeiten

Ist eine Zerlegung der 1 gegeben, die mit den Karten der Untermannigfaltigkeit verträglich ist, kann einfach getrennt über die Kartengebiete integriert und aufsummiert werden.

Der gaußsche Integralsatz und der Satz von StokesBearbeiten

Für spezielle Funktionen lassen sich die Integrale über Untermannigfaltigkeiten einfacher ausrechnen. In der Physik besonders wichtig sind hierbei zwei Aussagen:

Zum einen der gaußsche Integralsatz, nach dem das Volumenintegral über die Divergenz eines Vektorfeldes gleich dem Oberflächenintegral über das Vektorfeld (dem Fluss des Feldes durch die Oberfläche) ist: Sei   kompakt mit abschnittsweise glattem Rand  . Der Rand sei orientiert durch ein äußeres Normalen-Einheitsfeld  . Sei ferner   ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Umgebung von  . Dann gilt

 

mit der Abkürzung  .

Durch diesen Satz wird die Divergenz als sogenannte Quellendichte des Vektorfeldes interpretiert. Durch die Indizes   bzw.   am  -Operator wird die Dimension der jeweiligen Integrationsmannigfaltigkeit zusätzlich betont.

Bei expliziter Verwendung von Mehrfachintegralen wird (unter Verzicht auf die Indizierung) für  :

 

Also: Das Integral der Divergenz über das gesamte Volumen ist gleich dem Integral des Flusses aus der Oberfläche.

Zum zweiten der Satz von Stokes, der eine Aussage der Differentialgeometrie ist und sich im Spezialfall des dreidimensionalen Raums direkt mit Mehrfachintegralen schreiben lässt.

Ist   eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des dreidimensionalen euklidischen Raumes  , so gilt

 

wobei   die Rotation des Vektorfeldes   bezeichnet.

Durch diesen Satz wird die Rotation eines Vektorfeldes als sogenannte Wirbeldichte des Vektorfeldes interpretiert; dabei ist   der dreikomponentige Vektor   und der Rand   von   eine geschlossene Kurve im  .

Integration von vektorwertigen FunktionenBearbeiten

Die Integration von Funktionen, die nicht reell- oder komplexwertig sind, sondern Werte in einem allgemeineren Vektorraum annehmen, ist ebenfalls auf verschiedenste Arten möglich.

Die direkte Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals auf Banachraum-wertige Funktionen ist das Bochner-Integral (nach Salomon Bochner). Viele Ergebnisse der eindimensionalen Theorie übertragen sich dabei wortwörtlich auf Banachräume.

Auch die Definition des Riemann-Integrals mittels Riemann’scher Summen auf vektorwertige Funktionen   zu übertragen, fällt nicht schwer. Ein entscheidender Unterschied ist hierbei jedoch, dass dann nicht mehr jede Riemann-integrierbare Funktion Bochner-integrierbar ist.

Eine gemeinsame Verallgemeinerung des Bochner- und Riemann-Integrals, die diesen Mangel behebt, ist das McShane-Integral, das sich am einfachsten über verallgemeinerte Riemann’sche Summen definieren lässt.

Auch das Birkhoff-Integral ist eine gemeinsame Verallgemeinerung des Bochner- und Riemann-Integrals. Im Gegensatz zum McShane-Integral benötigt die Definition des Birkhoff-Integrals jedoch keine topologische Struktur im Definitionsbereich der Funktionen. Sind jedoch die Voraussetzungen für die McShane-Integration erfüllt, so ist jede Birkhoff-integrierbare Funktion auch McShane-integrierbar.[1]

Außerdem ist noch das Pettis-Integral als nächster Verallgemeinerungsschritt erwähnenswert. Es nutzt eine funktionalanalytische Definition, bei der die Integrierbarkeit auf den eindimensionalen Fall zurückgeführt wird: Sei dafür   ein Maßraum. Eine Funktion   heißt dabei Pettis-integrierbar, wenn für jedes stetige Funktional   die Funktion   Lebesgue-integrierbar ist und für jede messbare Menge   ein Vektor   existiert, sodass

 

gilt. Der Vektor   wird dann passenderweise mit   bezeichnet.

Für Funktionen  , die Werte in einem separablen Banachraum V annehmen, stimmt das Pettis-Integral mit dem McShane- und dem Bochner-Integral überein. Wichtigster Spezialfall all dieser Definitionen ist der Fall von Funktionen in den  , die bei allen diesen Definitionen einfach komponentenweise integriert werden.

VerallgemeinerungenBearbeiten

MaßtheorieBearbeiten

Haarsches MaßBearbeiten

Das Haarsche Maß, nach Alfréd Haar, stellt eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Maßes für lokalkompakte topologische Gruppen dar und induziert damit auch ein Integral als Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals.

Integration auf MannigfaltigkeitenBearbeiten

Siehe: Integration von Differentialformen

Schließlich kann Integration auch dazu verwendet werden, Oberflächen von gegebenen Körpern zu messen. Dies führt in das Gebiet der Differentialgeometrie.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Schulbücher:
    • Integralrechnung ist ein zentraler Unterrichtsgegenstand in der Sekundarstufe II und wird somit in allen Mathematik-Lehrbüchern behandelt.
  • Lehrbücher für Studenten der Mathematik und benachbarter Fächer (Physik, Informatik):
  • Lehrbücher für Studenten mit Nebenfach/Grundlagenfach Mathematik (zum Beispiel Studenten der Ingenieur- oder Wirtschaftswissenschaften):
    • Rainer Ansorge und Hans Joachim Oberle: Mathematik für Ingenieure. Band 1. 3. Auflage. Wiley-VCH, 2000.
    • Lothar Papula: Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. Band 1. 13. Auflage. Vieweg + Teubner Verlag. ISBN 978-3-8348-1749-5.
  • Historisches:
    • Adolph Mayer: Beiträge zur Theorie der Maxima und Minima der einfachen Integrale. Teubner, Leipzig 1866 (Digitalisat).
    • Bernhard Riemann: Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe. Göttingen 1867 (Volltext), mit der Erstdefinition des Riemann-Integrals (Seite 12 ff.).

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. D. Fremlin: The McShane and Birkhoff integrals of vector-valued functions. (Memento des Originals vom 28. April 2015 im Internet Archive)   Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.essex.ac.uk