Diskretes stochastisches Integral

Das diskrete stochastische Integral ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Möglichkeit, zwei stochastische Prozesse in diskreter Zeit zu verknüpfen, um aus ihnen einen weiteren stochastischen Prozess zu erstellen. Ist insbesondere einer der beiden Prozesse ein Martingal, so spricht man auch von der Martingaltransformation

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei eine Filtrierung   und ein reeller Prozess  , der  -adaptiert ist. Sei außerdem   ein weiterer reeller Prozess, der  -vorhersagbar ist. Dann heißt der für   durch

 

definierte stochastische Prozess   das diskrete stochastische Integral von   bezüglich  . Ist   ein Martingal, so heißt   die Martingaltransformierte von  .

Beispiel: gestoppter ProzessBearbeiten

Gegeben sei ein reeller stochastischer Prozess   mit erzeugter Filtrierung   und eine Stoppzeit   bezüglich  . Dann ist der Prozess   auch  -vorhersagbar. Das diskrete stochastische Integral ist dann

 .

Das ist dann genau der gestoppte Prozess   bezüglich  .

EigenschaftenBearbeiten

Sei   ein adaptierter, reeller Prozess mit  . Dann gilt:

  •   ist genau dann ein (Sub-)Supermartingal, wenn   ein (Sub-)Supermartingal ist für jedes vorhersagbare  , das lokal beschränkt ist, für das also   für alle   gilt.
  •   ist genau dann ein Martingal, wenn   ein Martingal ist für jedes vorhersagbare  , das lokal beschränkt ist, für das also   für alle   gilt.

Diese Aussage wird auch als Martingal-Transformationssatz bezeichnet.

FolgerungenBearbeiten

Aus der obigen Aussage über die Stabilität von Martingalen unter dem diskreten stochastischen Integral lässt sich folgender Schluss ziehen: Nimmt man als Spieler an einem fairen Spiel   über mehrere Runden Teil mit einer Spielstrategie  , die darin besteht, in der Runde   einen Einsatz von   zu setzen, so gibt es keine unter diesen Strategien, die für den Spieler vorteilhafter als andere wäre. Das faire Spiel entspricht einem Martingal, der Gewinn nach der n-ten Runde ist dann die Martingaltransformierte von   und  . Da es sich hierbei aber stets wieder um ein Martingal handelt, kann das Spiel nicht durch eine Spielstrategie so verändert werden, dass es für den Spieler vorteilhaft wäre, was einem Submartingal entspräche.

Vergleichbare Aussagen über eine mögliche Verbesserung des Gesamtgewinns durch Abbruchstrategien liefert das Optional Stopping Theorem.

LiteraturBearbeiten