Gestoppter Prozess

Ein gestoppter Prozess ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie ein spezieller stochastischer Prozess, der zu einem gewissen zufälligen Zeitpunkt angehalten wird. Formal geschieht dies durch eine Stoppzeit. Gestoppte Prozesse werden beispielsweise bei der Untersuchung von Spielabbruchstrategien verwendet. Dort entspricht das Stoppen des Prozesses dem Spielabbruch. Eine theoretischere Anwendung finden gestoppte Prozesse bei der Lokalisierung von Prozessklassen, durch die beispielsweise die Martingale um die lokalen Martingale erweitert werden.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei ein stochastischer Prozess   mit höchstens abzählbarer Indexmenge   und eine Stoppzeit   mit Werten in  . Dann heißt der Prozess

 

der gestoppte Prozess bezüglich  . Dabei ist

 

Rein formell wird der Prozess also nicht angehalten, sondern er verändert seinen Wert nach dem Zeitpunkt   nicht mehr.

ErläuterungBearbeiten

Ist ein stochastischer Prozess   gegeben, so entsteht der gestoppte Prozess wie folgt:

  • Es ist  , da im nullten Zeitschritt ein Anhalten des Prozesses keinen Unterschied macht.
  • Im ersten Zeitschritt bleibt der Prozess auf der Menge   angehalten, verhält sich ansonsten aber wie der ursprüngliche Prozess, es ist also
 .
  • Im zweiten Zeitschritt bleibt der gestoppte Prozess auf der Menge   weiterhin unverändert, wird aber zusätzlich noch auf der Menge   angehalten. Somit ist
 .
  • Somit ist die n-te Zufallsvariable im gestoppten Prozess gegeben durch
 .

Betrachtet man einen gestoppten Prozess nur auf der Menge   für ein  , so verhält er sich auf dieser Menge bis zum k-ten Schritt wie der eigentliche Prozess und verändert danach seine Werte nicht mehr.

BemerkungBearbeiten

Der gestoppte Prozess   sollte nicht mit der „gesampelten“ Zufallsvariable

 

eines stochastischen Prozesses   verwechselt werden, insbesondere da die Notation in der Literatur nicht eindeutig ist.

Aussagen über gestoppte ProzesseBearbeiten

Zu den wichtigsten Aussagen über gestoppte Prozesse gehören das Optional Stopping Theorem und das Optional Sampling Theorem. Sie untersuchen, wie sich gestoppte (Sub-/Super-)Martingale verhalten und welche Aussagen man über die Erwartungswerte der gestoppten Prozesse treffen kann.

LiteraturBearbeiten