Lokalisierung (Stochastik)

In der Stochastik versteht man unter Lokalisierung das Erweitern einer Klasse von stochastischen Prozessen durch solche, die durch gezieltes Stoppen der Klasse zugehörig gemacht werden können. Hierbei ist insbesondere der Begriff der lokalen Martingale von Bedeutung, die eine wichtige Rolle in der stochastischen Analysis spielen.

Gestoppte ProzesseBearbeiten

Sei   ein stochastischer Prozess auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum  , wobei   oder   ist. Ist   eine beliebige Stoppzeit bezüglich der Filtrierung, so bezeichnet man den Prozess

 

als bei   gestoppten Prozess. Der Prozess   stimmt also bis zum Zeitpunkt   mit dem Prozess   überein, bleibt aber danach bei seinem aktuellen Wert stehen und ändert seinen Zustand nicht mehr.

Lokalisierung von ProzessklassenBearbeiten

Sei nun   eine Menge von Prozessen mit derselben Indexmenge  , etwa die Menge aller Martingale oder aller Lévy-Prozesse. Ein Prozess   heißt lokal von der Klasse  , falls es eine Folge   von Stoppzeiten gibt, die die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt:

  • Es gilt   fast sicher für  , d. h. für fast alle   divergiert die (deterministische) Folge   gegen plus unendlich.
  • Für alle   liegt der gestoppte Prozess   in  .

Die Lokalisierung   der Menge   wird nun definiert als Klasse aller Prozesse, die lokal von der Klasse   sind. Eine zu einem lokalen Prozess   gehörige (aber nicht eindeutige!) Folge von Stoppzeiten mit den obigen Eigenschaften wird auch als lokalisierende Folge von   bezeichnet.

EigenschaftenBearbeiten

Die Abbildung   ist kein Hüllenoperator: Es gilt zwar stets   (zu jedem Prozess   kann als lokalisierende Folge die konstante Folge   f.s. gewählt werden), und auch die Bedingung   gilt, jedoch gilt im Allgemeinen nicht  , die Abbildung ist also nicht idempotent.

Zu einem Hüllenoperator wird die Abbildung erst, wenn man sich auf Mengen von Prozessen beschränkt, die stabil unter Stoppen sind: Eine Menge   von stochastischen Prozessen heißt stabil unter Stoppen, wenn für alle   und alle Stoppzeiten   gilt:  . Dann gilt obige Idempotenz sowie zusätzlich die Eigenschaft  

LiteraturBearbeiten

  • Daniel Revuz, Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian motion. Springer-Verlag, New York 1999, ISBN 978-3540643258.