Lévyprozess

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Lévyprozesse, benannt nach dem französischen Mathematiker Paul Lévy (1886–1971), sind stochastische Prozesse mit stationären, unabhängigen Zuwächsen. Sie beschreiben die zeitliche Entwicklung von Größen, die zwar zufälligen, aber über die Zeit (in Verteilung) gleich bleibenden und voneinander unabhängigen Einflüssen ausgesetzt sind. Viele wichtige Prozesse, wie der Wienerprozess oder der Poissonprozess, sind Lévyprozesse.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein stochastischer Prozess über der Indexmenge   (meist   oder  ). Man sagt,   habe unabhängige Zuwächse, wenn für alle   die Zufallsvariablen   (die Zuwächse von  ) unabhängig sind.

Ist die Verteilung der Zuwächse über gleich langen Zeitintervallen dieselbe, d. h. gilt

 

so nennt man   einen Prozess mit stationären Zuwächsen.

Als Lévyprozesse bezeichnet man genau jene Prozesse  , die unabhängige und stationäre Zuwächse aufweisen. Häufig wird zusätzlich noch verlangt, dass (fast sicher)   gilt. Ist   ein allgemeiner Lévyprozess, dann wird durch   ein Lévyprozess   mit   definiert. Im Folgenden sei stets   vorausgesetzt.

Zeitdiskrete LévyprozesseBearbeiten

Gilt speziell  , so lässt sich die Klasse der Lévyprozesse sehr einfach charakterisieren: Es gibt nämlich für alle solchen Prozesse   eine Darstellung

 

wobei   unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen sind. Andererseits ist für jede Folge von unabhängigen Zufallsvariablen  , die alle die gleiche beliebig vorgegebene Verteilung haben, durch   und   ein Lévyprozess X definiert. Im zeitdiskreten Fall ist ein Lévyprozess also im Prinzip nichts anderes als ein Random Walk mit beliebiger, aber gleich bleibender Sprungverteilung. Das einfachste Beispiel für einen zeitdiskreten Lévyprozess ist demnach auch der einfache, symmetrische Random Walk, bei dem   symmetrisch bernoulliverteilt ist. Hier bewegt sich der Prozess X, startend bei  , in jedem Schritt mit Wahrscheinlichkeit ½ um Eins nach oben, andernfalls um Eins nach unten.

Zeitstetige LévyprozesseBearbeiten

 
Ein Gamma-Prozess ist ein Lévyprozess, bei dem die Zuwächse unabhängig und gammaverteilt sind. Dies ist möglich, da die Gammaverteilung unendlich teilbar ist. Der Prozess ist fast sicher monoton wachsend, er ist also ein Subordinator. Der Prozess hat unendliche Aktivität und keine Diffusionskomponente. Die beiden zufälligen Pfade sind von Trajektorien von Gamma-Prozessen, mit den shape-Parametern 0.7 (rot) und 0.25 (blau)

Im Fall   ist die Charakterisierung nicht mehr so leicht: So gibt es zum Beispiel keinen zeitstetigen Lévyprozess, bei dem   wie oben bernoulliverteilt ist.

Jedoch sind zeitstetige Lévyprozesse eng verwandt mit dem Begriff der unendlichen Teilbarkeit: Ist nämlich   ein Lévyprozess, so ist   unendlich teilbar. Andererseits legt eine unendlich teilbare Zufallsvariable   bereits die Verteilung des gesamten Lévyprozesses   eindeutig fest. Jedem Lévyprozess entspricht also eine unendlich teilbare Verteilungsfunktion und umgekehrt.

 
Drei Trajektorien von Lévyprozessen vom Typ Variance-Gamma

Wichtige Beispiele für zeitstetige Lévyprozesse sind der Wienerprozess (auch Brownsche Bewegung genannt), bei dem die unendlich teilbare Verteilung von   eine Normalverteilung ist, oder der Poissonprozess, bei dem die   poissonverteilt ist. Doch auch viele andere Verteilungen, beispielsweise die Gammaverteilung oder die Cauchyverteilung, können zur Konstruktion von Lévyprozessen herangezogen werden. Neben dem deterministischen Prozess   ist der Wienerprozess mit konstanter Drift und konstanter Volatilität der einzige stetige Lévyprozess, d. h. aus der Stetigkeit eines Lévyprozesses folgt schon die Normalverteilung seiner Zuwächse. Es existiert jedoch beispielsweise kein Lévyprozess mit gleichverteilten Zuständen.

Wichtig ist auch der Begriff der endlichen und unendlichen Aktivität: Gibt es in einem Intervall unendlich viele (und damit unendlich kleine) Sprünge oder nicht? Auskunft darüber gibt auch das Lévymaß.

Weiterhin sind Subordinatoren von Bedeutung, das sind Lévyprozesse mit fast sicher monoton wachsenden Pfaden. Ein Beispiel dafür ist der Gamma-Prozess. Die Differenz von zwei Gamma-Prozessen wird als variance-gamma-process bezeichnet.

Weitere DefinitionBearbeiten

Ein stochastischer Prozess   über einem Wahrscheinlichkeitsraum   heißt Lévyprozess, wenn

  •  ,
  •   unabhängige und stationäre Zuwächse hat und
  •   stochastisch stetig ist, d. h. für beliebige   und   gilt
 .

Lévy-Chintschin-FormelBearbeiten

Für jeden  -wertigen Lévyprozess   lässt sich seine charakteristische Funktion schreiben in der Form:

 

mit dem charakteristischen Exponenten

 

und dem charakteristischen Tripel  . Dabei ist   eine symmetrische positiv definite Matrix,   ein Vektor und   ein Maß auf   mit

  und  

Das charakteristische Tripel ist durch den Prozess eindeutig bestimmt.

Benannt ist diese Darstellung der charakteristischen Funktion eines Lévyprozesses nach Paul Lévy und Alexandr Chintschin.

Lévy-Itō-ZerlegungBearbeiten

Jeder Lévyprozess kann als eine Summe aus einer brownschen Bewegung, einem linearen Driftprozess und einem reinen Sprungprozess, welcher alle Sprünge des ursprünglichen Lévyprozesses beinhaltet, dargestellt werden. Diese Aussage ist bekannt als Lévy-Itō-Zerlegung.

Sei   ein Lévyprozess in   mit charakteristischem Tripel  . Dann gibt es drei unabhängige Lévyprozesse, die alle auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind,  ,  ,  , so dass:

  •   ist eine brownsche Bewegung mit Drift, also ein Lévyprozess mit charakteristischem Tripel  ;
  •   ist ein Lévyprozess mit charakteristischem Tripel   (also ein Compound-Poissonprozess);
  •   ist ein quadratintegrierbares Martingal und ein reiner Sprungprozess mit dem charakteristischen Tripel  .

Wichtige EigenschaftenBearbeiten

 . Analog gilt für die Varianz
  (vorausgesetzt die entsprechenden Momente existieren zum Zeitpunkt 1). Für die Kovarianzfunktion gilt
 .
  • Falls   gilt, so ist   ein Martingal.

LiteraturBearbeiten

  • J. Bertoin: Lévy Processes. Cambridge Tracts in Mathematics, Vol. 121, Cambridge University Press 2002, ISBN 0-521-64632-4
  • A. E. Kyprianou: Introductory Lectures on fluctuations of Lévy process with applications. Universitext, Springer.
  • Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-00313-4
  • Rama Cont, Peter Tankov: Financial Modelling with Jump Processes. Chapman & Hall, 2003, ISBN 1-58488-413-4
  • Ken-iti Sato: Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions. Cambridge studies in advanced mathematics, 1999, ISBN 0-521-55302-4

WeblinksBearbeiten