Prozess mit stationären Zuwächsen

Der Prozess mit stationären Zuwächsen, auch Prozess mit stationären Inkrementen genannt, ist ein Begriff aus der Theorie der stochastischen Prozesse, einem Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Anschaulich hat ein Prozess stationäre Zuwächse, wenn die Änderung des Prozesses in einem festen Zeitschritt sich nicht im Laufe der Entwicklung des Prozesses ändert. Beispiele für Prozesse mit stationären Zuwächsen sind der Lévy-Prozess und damit auch der Poisson- und der Wiener-Prozess.

DefinitionBearbeiten

Ein reellwertiger stochastischer Prozess   mit Indexmenge  , die abgeschlossen bezüglich Addition ist, heißt ein Prozess mit stationären Zuwächsen genau dann, wenn für beliebige   die Verteilung der Zufallsvariablen

 

mit der Verteilung der Zufallsvariablen

 

übereinstimmt. Ist  , so genügt es   zu setzen.

BeispielBearbeiten

Betrachte als Beispiel die symmetrische Irrfahrt auf  , also den stochastischen Prozess, der definiert ist durch

 

und  

für  , wobei die   unabhängige Rademacher-verteilte Zufallsvariablen sind. Es gilt also  .

Wegen   ist demnach  , es genügt also   zu setzen. Es folgt

 

und

 .

Sowohl   als auch   sind demnach die Summe von   unabhängigen Rademacher-verteilten Zufallsvariablen und haben somit dieselbe Verteilung. Also ist die symmetrische Irrfahrt auf   ein Prozess mit stationären Zuwächsen.

LiteraturBearbeiten