Rademacherverteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilung
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Die Rademacherverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und somit dem mathematischen Teilgebiet der Stochastik zuzuordnen. Bei ihr handelt es sich um eine einfach univariate diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf , die unter anderem zur Definition der symmetrischen einfachen Irrfahrt auf genutzt wird.

Sie ist nach Hans Rademacher (1892–1969) benannt.

Definition Bearbeiten

Die Rademacherverteilung ist definiert auf   und besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion

 

Die Verteilungsfunktion ist dann

 

Eigenschaften Bearbeiten

Erwartungswert und andere Lagemaße Bearbeiten

Der Erwartungswert einer rademacherverteilten Zufallsvariablen ist

 .

Der Median ist

 .

Varianz Bearbeiten

Die Varianz entspricht der Standardabweichung:

 .

Symmetrie Bearbeiten

Die Rademacherverteilung ist symmetrisch um die 0.

Schiefe Bearbeiten

Die Schiefe ist

 .

Exzess und Wölbung Bearbeiten

Der Exzess der Rademacherverteilung ist

 .

Damit ist die Wölbung

 .

Höhere Momente Bearbeiten

Die  -ten Momente sind

 

Entropie Bearbeiten

Die Entropie ist

 

gemessen in Bit.

Kumulanten Bearbeiten

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

 .

Damit ist die erste Ableitung

 

und daher   die erste Kumulante. Für die höheren Ableitungen gibt es geschlossene Darstellungen.

Momenterzeugende Funktion Bearbeiten

Die momenterzeugende Funktion ist

 .

Charakteristische Funktion Bearbeiten

Die charakteristische Funktion ist

 .

Beziehung zu anderen Verteilungen Bearbeiten

Beziehung zur Zweipunktverteilung Bearbeiten

Die Rademacherverteilung ist eine Zweipunktverteilung mit  .

Beziehung zur diskreten Gleichverteilung Bearbeiten

Die Rademacherverteilung ist eine diskrete Gleichverteilung auf  .

Beziehung zur Bernoulliverteilung Bearbeiten

Sowohl die Bernoulliverteilung mit   als auch die Rademacherverteilung modellieren einen fairen Münzwurf (oder eine faire, zufällige Ja/Nein-Entscheidung). Der Unterschied besteht lediglich darin, dass Kopf (Erfolg) und Zahl (Misserfolg) unterschiedlich kodiert werden.

Beziehung zur Binomialverteilung und dem Random Walk Bearbeiten

Sind   unabhängige rademacherverteilte Zufallsvariablen, so ist

 

genau der symmetrische Random Walk auf  . Demnach ist

 

also binomialverteilt.

Beziehung zur Laplaceverteilung Bearbeiten

Ist   rademacherverteilt, und ist   exponentialverteilt zum Parameter  , so ist   laplaceverteilt zu dem Lageparameter 0 und dem Skalenparameter  .

Vorkommen Bearbeiten

Die Rademacherverteilung wird in der Funktionalanalysis für den Begriff des Typs und Kotyps zur Klassifikation von Banach-Räumen verwendet.