Rademacherverteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilung
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Die Rademacherverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und somit dem mathematischen Teilgebiet der Stochastik zuzuordnen. Bei ihr handelt es sich um eine einfach univariate diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf , die unter anderem zur Definition der symmetrischen einfachen Irrfahrt auf genutzt wird.

Sie ist nach Hans Rademacher (1892–1969) benannt.

DefinitionBearbeiten

Die Rademacherverteilung ist definiert auf   und besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion

 

Die Verteilungsfunktion ist dann

 

EigenschaftenBearbeiten

Erwartungswert und andere LagemaßeBearbeiten

Der Erwartungswert einer rademacherverteilten Zufallsvariablen ist

 .

Der Median ist

 .

VarianzBearbeiten

Die Varianz entspricht der Standardabweichung:

 .

SymmetrieBearbeiten

Die Rademacherverteilung ist symmetrisch um die 0.

SchiefeBearbeiten

Die Schiefe ist

 .

Exzess und WölbungBearbeiten

Der Exzess der Rademacherverteilung ist

 .

Damit ist die Wölbung

 .

Höhere MomenteBearbeiten

Die  -ten Momente sind

 

EntropieBearbeiten

Die Entropie ist

 

gemessen in Bit.

KumulantenBearbeiten

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

 .

Damit ist die erste Ableitung

 

und daher   die erste Kumulante. Für die höheren Ableitungen gibt es geschlossene Darstellungen.

Momenterzeugende FunktionBearbeiten

Die momenterzeugende Funktion ist

 .

Charakteristische FunktionBearbeiten

Die charakteristische Funktion ist

 .

Beziehung zu anderen VerteilungenBearbeiten

Beziehung zur ZweipunktverteilungBearbeiten

Die Rademacherverteilung ist eine Zweipunktverteilung mit  .

Beziehung zur diskreten GleichverteilungBearbeiten

Die Rademacherverteilung ist eine diskrete Gleichverteilung auf  .

Beziehung zur BernoulliverteilungBearbeiten

Sowohl die Bernoulliverteilung mit   als auch die Rademacherverteilung modellieren einen fairen Münzwurf (oder eine faire, zufällige Ja/Nein-Entscheidung). Der Unterschied besteht lediglich darin, dass Kopf (Erfolg) und Zahl (Misserfolg) unterschiedlich kodiert werden.

Beziehung zur Binomialverteilung und dem Random WalkBearbeiten

Sind   unabhängige rademacherverteilte Zufallsvariablen, so ist

 

genau der symmetrische Random Walk auf  . Demnach ist

 

also binomialverteilt.

Beziehung zur LaplaceverteilungBearbeiten

Ist   rademacherverteilt, und ist   exponentialverteilt zum Parameter  , so ist   laplaceverteilt zu dem Lageparameter 0 und dem Skalenparameter  .