Rademacherverteilung
Die Rademacherverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und somit dem mathematischen Teilgebiet der Stochastik zuzuordnen. Bei ihr handelt es sich um eine einfach univariate diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf , die unter anderem zur Definition der symmetrischen einfachen Irrfahrt auf genutzt wird.
Sie ist nach Hans Rademacher (1892–1969) benannt.
Definition Bearbeiten
Die Rademacherverteilung ist definiert auf und besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion
Die Verteilungsfunktion ist dann
Eigenschaften Bearbeiten
Erwartungswert und andere Lagemaße Bearbeiten
Der Erwartungswert einer rademacherverteilten Zufallsvariablen ist
- .
Der Median ist
- .
Varianz Bearbeiten
Die Varianz entspricht der Standardabweichung:
- .
Symmetrie Bearbeiten
Die Rademacherverteilung ist symmetrisch um die 0.
Schiefe Bearbeiten
Die Schiefe ist
- .
Exzess und Wölbung Bearbeiten
Der Exzess der Rademacherverteilung ist
- .
Damit ist die Wölbung
- .
Höhere Momente Bearbeiten
Die -ten Momente sind
Entropie Bearbeiten
Die Entropie ist
gemessen in Bit.
Kumulanten Bearbeiten
Die kumulantenerzeugende Funktion ist
- .
Damit ist die erste Ableitung
und daher die erste Kumulante. Für die höheren Ableitungen gibt es geschlossene Darstellungen.
Momenterzeugende Funktion Bearbeiten
Die momenterzeugende Funktion ist
- .
Charakteristische Funktion Bearbeiten
Die charakteristische Funktion ist
- .
Beziehung zu anderen Verteilungen Bearbeiten
Beziehung zur Zweipunktverteilung Bearbeiten
Die Rademacherverteilung ist eine Zweipunktverteilung mit .
Beziehung zur diskreten Gleichverteilung Bearbeiten
Die Rademacherverteilung ist eine diskrete Gleichverteilung auf .
Beziehung zur Bernoulliverteilung Bearbeiten
Sowohl die Bernoulliverteilung mit als auch die Rademacherverteilung modellieren einen fairen Münzwurf (oder eine faire, zufällige Ja/Nein-Entscheidung). Der Unterschied besteht lediglich darin, dass Kopf (Erfolg) und Zahl (Misserfolg) unterschiedlich kodiert werden.
Beziehung zur Binomialverteilung und dem Random Walk Bearbeiten
Sind unabhängige rademacherverteilte Zufallsvariablen, so ist
genau der symmetrische Random Walk auf . Demnach ist
also binomialverteilt.
Beziehung zur Laplaceverteilung Bearbeiten
Ist rademacherverteilt, und ist exponentialverteilt zum Parameter , so ist laplaceverteilt zu dem Lageparameter 0 und dem Skalenparameter .
Vorkommen Bearbeiten
Die Rademacherverteilung wird in der Funktionalanalysis für den Begriff des Typs und Kotyps zur Klassifikation von Banach-Räumen verwendet.