Prozess mit unabhängigen Zuwächsen

Der Prozess mit unabhängigen Zuwächsen, auch Prozess mit unabhängigen Inkrementen genannt, ist ein Begriff aus der Theorie der stochastischen Prozesse, einem Teilbereich der Wahrscheinlichkeitstheorie. Anschaulich ist ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen ein Prozess, bei dem der Verlauf der Zukunft des Prozesses unabhängig von der Vergangenheit ist. Viele wichtige Klassen von Prozessen wie der Lévy-Prozess und damit auch der Wiener-Prozess und der Poisson-Prozess sind Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei ein reellwertiger stochastischer Prozess  . Der Prozess heißt ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen, wenn für jedes   und beliebige   mit

 

gilt, dass die   Zufallsvariablen

 

stochastisch unabhängig sind. Die   nennt man in naheliegender Weise Zuwächse.

BeispielBearbeiten

Wir betrachten als Beispiel die zeitdiskrete symmetrische Irrfahrt auf  . Sei dazu   für alle   unabhängig und identisch Rademacher-verteilt, also  . Die Irrfahrt wird dann definiert als

 .

Demnach ist die Differenz zu zwei beliebigen Zeitpunkten   und   mit   immer

 .

Da aber bereits die   alle voneinander unabhängig sind, ist dann auch jede überschneidungsfrei aus ihnen gebildete Teilfamilie unabhängig. Demnach sind auch die   unabhängig voneinander und der Prozess   ist ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen.

LiteraturBearbeiten