Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)

Eine Filtrierung (auch Filtration, Filterung oder Filtern) ist in der Theorie der stochastischen Prozesse eine Familie von verschachtelten σ-Algebren. Sie modelliert die zu verschiedenen Zeitpunkten verfügbaren Informationen zum Verlauf eines Zufallsprozesses.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Indexmenge und   ein Wahrscheinlichkeitsraum.

Des Weiteren sei für jedes   eine Unter-σ-Algebra   von   gegeben.

Dann heißt die Familie von σ-Algebren

 

eine Filtration oder Filtrierung (in   oder auf  ), wenn sie aufsteigend geordnet ist, das heißt:

Für alle   mit   gilt  .

Ist   eine Filtrierung, so wird   auch ein gefilterter Wahrscheinlichkeitsraum genannt.

Analog lassen sich Filtrierungen auch für beliebige halbgeordnete Indexmengen   definieren.[1]

BeispielBearbeiten

Betrachtet man als Beispiel einen Wahrscheinlichkeitsraum   mit abzählbarer Grundmenge  , die standardmäßig mit der Potenzmenge als σ-Algebra ausgestattet ist, so wäre eine mögliche Filtrierung beispielsweise

 .

Sie modelliert die Informationen, dass man bis zum n-ten Zeitschritt sich bis zu n Schritte vom Ursprung entfernt hat und wäre beispielsweise die passende Filtrierung für einen einfachen symmetrischen Random Walk.

Spezielle FiltrierungenBearbeiten

Erzeugte FiltrierungBearbeiten

Ist   ein stochastischer Prozess, so wird das durch   erzeugte System als erzeugte Filtrierung, kanonische Filtrierung oder natürliche Filtrierung des Prozesses bezeichnet (  bezeichnet dabei den σ-Algebren-Operator). Es ist also zu jedem Zeitpunkt   die vollständige Information über den vergangenen Verlauf des Prozesses bis einschließlich zum Zeitpunkt   vorhanden.

Filtrierung der vollständigen InformationBearbeiten

Durch die Festlegung   für alle   wird die Filtrierung der vollständigen Information definiert. Hier ist also zu jedem Zeitpunkt   die vollständige Information vorhanden.

Stetige FiltrierungenBearbeiten

Definiert man für eine Filtrierung  

 

sowie   und  , so gilt

 .

Ist

  •  , so heißt die Filtrierung eine rechtsstetige Filtrierung oder rechtsseitig stetig,
  •  , so heißt die Filtrierung eine linksstetige Filtrierung oder linksseitig stetig,
  •   linksseitig und rechtsseitig stetig, so spricht man von einer stetigen Filtrierung.

Filtrierung von StoppzeitenBearbeiten

Eine Stoppzeit   bezüglich einer beliebigen Filtrierung   erzeugt in Analogie zur natürlichen Filtrierung eine σ-Algebra, die sogenannte σ-Algebra der τ-Vergangenheit

  mit  .

Sei nun   eine geordnete Familie von Stoppzeiten mit   für alle   mit  , dann ist die Familie   eine Filtrierung, diese ist beim Studium von Stoppzeiten stochastischer Prozesse von Bedeutung. In Analogie erzeugt man die rechtsstetige Version der Filtrierung  , wobei:

  und  .

Es gilt immer  .

Augmentierte FiltrationBearbeiten

Eine augmentierte Filtration[2] ist das Pendant einer Vervollständigung eines Maßraumes für Filtrationen. Ist   ein Wahrscheinlichkeitsraum und   eine Filtration, so definiert man

 

als Mengensystem der (nicht notwendigerweise  -messbaren) Teilmengen von  -Nullmengen. Die augmentierte Filtration  (von   bezüglich  ) wird dann definiert als

 

und

 .

Standardfiltration und die üblichen BedingungenBearbeiten

Eine Filtration   heißt eine Standardfiltration[3], wenn sie mit ihrer augmentierten Filtration übereinstimmt und rechtsstetig ist, also wenn

 

gilt. Man sagt dann auch, dass die üblichen Bedingungen gelten.[4]

Von jeder beliebigen Filtration kann zu einer Standardfiltration übergegangen werden, indem man zuerst zur rechtsstetigen und dann zur augmentierten Filtration übergeht.

Verwendung des BegriffesBearbeiten

Der Begriff der Filtrierung ist unerlässlich, um, ausgehend vom Begriff des stochastischen Prozesses, wichtige Begriffe wie Martingale oder Stoppzeiten einzuführen.

Als Menge   wird wie bei stochastischen Prozessen meist   oder   gewählt und   als Zeitpunkt interpretiert.

σ-Algebren modellieren verfügbare Information. Die Mengen der σ-Algebra   geben zu jedem Zeitpunkt   an, wie viele Informationen zur Zeit bekannt sind. Für jedes Ereignis   bedeutet   übersetzt, dass zum Zeitpunkt   die Frage „ist  ?“ eindeutig mit „ja“ oder „nein“ beantwortet werden kann. Dass die Filtrierung stets aufsteigend geordnet ist, bedeutet demnach, dass eine einmal erlangte Information nicht mehr verloren geht.

Ist ein stochastischer Prozess   an eine Filtrierung   adaptiert, bedeutet dies also, dass der Verlauf der Funktion   im Intervall   zum Zeitpunkt   (für beliebiges, aber unbekanntes   und in Hinsicht auf die durch Ereignisse   formulierbaren Fragen) bekannt ist.

Der Begriff wird aufgrund seiner Bedeutung in den meisten fortgeschrittenen Lehrbüchern über stochastische Prozesse definiert. In einigen Lehrbüchern, zum Beispiel im Buch Probability von Albert N. Schirjajew, wird der Begriff aus didaktischen Gründen zunächst umfassend für Prozesse mit diskreten Werten in diskreter Zeit eingeführt.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 195.
  2. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 390.
  3. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 390.
  4. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 482.