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Beim eindimensionalen Random Walk geht man in jedem Schritt (x-Achse) mit Wahrscheinlichkeit 1/2 nach oben oder unten (y-Achse), fünf mögliche Pfade sind dargestellt. Ist die Position auf der y-Achse zum Zeitpunkt n, so erhält man ein Martingal .

Als Martingal bezeichnet man in der Wahrscheinlichkeitstheorie einen stochastischen Prozess, der über den bedingten Erwartungswert definiert wird und sich dadurch auszeichnet, dass er im Mittel fair ist. Martingale entstehen auf natürliche Weise aus der Modellierung von fairen Glücksspielen. Sie wurden von Paul Lévy in die Mathematik eingeführt.

Eng verwandt mit den Martingalen sind die Supermartingale, dies sind stochastische Prozesse, bei denen im Mittel ein Verlust auftritt, und Submartingale, dies sind stochastische Prozesse, bei denen im Mittel ein Gewinn auftritt.

DefinitionBearbeiten

Diskreter FallBearbeiten

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum   sowie eine Filtrierung  . Gegeben sei ein stochastischer Prozess   auf  , für den gilt:

  • Der Prozess ist ein integrierbarer Prozess, das heißt es ist   für alle  .
  • Der Prozess ist adaptiert an  , das heißt   ist  -messbar für alle  .

Dann heißt   ein Martingal (bezüglich  ), wenn

 

gilt.

Dabei bezeichnet   den bedingten Erwartungswert der Zufallsvariablen  , gegeben die σ-Algebra  .

Allgemeiner FallBearbeiten

Sind ein Wahrscheinlichkeitsraum   sowie eine beliebige, geordnete Indexmenge   (meist  ) und eine Filtrierung   gegeben, so heißt ein integrierbarer, an   adaptierter Prozess   ein Martingal (bezüglich  ), wenn für alle   gilt

 .

Supermartingale und SubmartingaleBearbeiten

Ein integrierbarer und an   adaptierter diskreter stochastischer Prozess heißt Submartingal, wenn

 ,

und Supermartingal, wenn

 

gilt. Im stetigen Falle definiert man analog ein Submartingal über

 .

und ein Supermartingal über

 .

Submartingale sind also im Gegensatz zu Martingalen tendenziell steigend, Supermartingale tendenziell fallend.

BemerkungBearbeiten

Die Eigenschaft, ein (Sub-/Super-)Martingal zu sein, kommt nicht stochastischen Prozessen allein zu, sondern immer einem stochastischen Prozess in Kombination mit einer Filtrierung. Daher sollte die Filtrierung immer mit angegeben werden. Manche Autoren geben keine Filtrierung mit an, wenn sie die von dem Prozess selbst erzeugte Filtrierung verwenden, die durch   gegeben ist. Wenn   ein Martingal bezüglich einer Filtrierung   ist, dann ist es auch ein Martingal bezüglich  .

Motivierendes BeispielBearbeiten

Der Begriff des Martingals lässt sich als Formalisierung und Verallgemeinerung eines fairen Glücksspiels auffassen. Sei dazu   das Startkapital des Spielers. Dieses wird in vielen Fällen eine Konstante sein, aber auch ein zufälliges Startkapital ist denkbar. Der zufällige Gewinn im ersten Spiel werde mit   bezeichnet. Er kann positiv, null oder negativ (also ein Verlust) sein. Das Kapital des Spielers nach dem ersten Spiel beträgt   und allgemein nach dem  -ten Spiel

 

wenn   den Gewinn im  -ten Spiel bezeichnet. Bei einem fairen Glücksspiel ist der Erwartungswert jedes Gewinns gleich null, d. h., es gilt   für alle  .

Der Spielverlauf werde nun bis zum Zeitpunkt   einschließlich beobachtet, d. h. die Kapitalstände   seien bekannt. Falls nun der Gewinn im nächsten, also im  -ten, Spiel unabhängig vom bisherigen Spielverlauf ist, dann berechnet sich das erwartete Gesamtkapital   nach dem nächsten Spiel unter Berücksichtigung aller zur Verfügung stehenden Informationen mit Hilfe der Rechenregeln für bedingte Erwartungswerte als

 

Damit ist gezeigt, dass sich das Kapital eines Spielers, der an einem fairen Glücksspiel teilnimmt, als Martingal modellieren lässt.

Bei realen Glücksspielen, wie beispielsweise beim Roulette, ist jedoch wegen des Bankvorteils der erwartete Gewinn bei jedem Spiel im Allgemeinen negativ, also  . Dann ergibt sich analog zur obigen Rechnung

 

Aus Sicht des Spielers handelt es sich in diesem Fall um ein Supermartingal (Merkspruch: „Supermartingale sind super für die Spielbank“).

BeispieleBearbeiten

Von einer Filtrierung erzeugtes MartingalBearbeiten

Ist   ein Wahrscheinlichkeitsraum,   eine Filtration und   eine P-integrierbare Zufallsvariable auf  . Dann wird durch

 

ein Martingal (bezüglich  ) definiert.

Um zu zeigen, dass es sich um ein Martingal handelt, rechnet man die Definition nach:

 .

Somit handelt es sich um ein Martingal. Dabei ist die erste Umformung das Einsetzen der Definition, die zweite eine Anwendung der Turmregel des bedingten Erwartungswertes und die dritte wieder Einsetzen der Definition.

Doob-MartingalBearbeiten

Ein Spezialfall des obigen Martingals sind Doob-Martingale: Ist eine P-integrierbare Zufallsvariable   gegeben und wird die Filtrierung durch eine Folge von Zufallsvariablen   erzeugt, also

 ,

so heißt das Martingal, welches durch

 

definiert wird, ein Doob-Martingal (benannt nach Joseph L. Doob).

Beispiele für zeitstetige MartingaleBearbeiten

 
Wiener-Prozess als Beispiel für ein Martingal
  • Ein Wiener-Prozess   ist ein Martingal, ebenso sind für einen Wiener-Prozess   die Prozesse   und die geometrische brownsche Bewegung ohne Drift   Martingale.
  • Ein Poisson-Prozess mit Rate  , der um seine Drift bereinigt wird, also  , ist ein Martingal.
  • Nach dem Lemma von Itō gilt: Jedes Itō-Integral (mit beschränktem Integranden) ist ein Martingal. Nach dem Itoschen Martingaldarstellungssatz lässt sich umgekehrt jedes Martingal (sogar jedes lokale Martingal) bezüglich einer von einer Brownschen Bewegung erzeugten Filtration als Ito-Integral bezüglich ebendieser Brown'schen Bewegung darstellen.
  • Jedes stetige Martingal ist entweder von unendlicher Variation oder konstant.
  • Jedes gestoppte Martingal ist wieder ein Martingal.
 
Gestoppte Brownsche Bewegung als Beispiel für ein Martingal

EigenschaftenBearbeiten

RechenregelnBearbeiten

  •   ist genau dann ein Submartingal, wenn   ein Supermartingal ist
  • Sind   (Sub-)Supermartingale und ist  , dann ist auch   ein (Sub-)Supermartingal.
  • Sind   Martingale, so ist auch   ein Martingal für  .
  • Sind   Supermartingale, dann ist auch
 
ein Supermartingal.
  • Sind   Submartingale, dann ist auch
 
ein Submartingal.
  • Ist   eine konvexe Funktion und   ein Martingal und gilt  , so ist   ein Submartingal.

Einfluss der FiltrierungBearbeiten

Sind zwei Filtrierungen   gegeben und ist   kleiner als   in dem Sinne, dass für jedes   gilt  , so ist jedes  -Martingal auch ein  -Martingal.

Quadratische Variation und ExponentialmartingalBearbeiten

Ist die quadratische Variation   eines stetigen beschränkten Martingals   (oder eines mit endlichen exponentiellen Momenten) endlich, so ist der stochastische Prozess

 

ebenfalls ein Martingal.

Ebenso ist das sogenannte Exponentialmartingal von  , gegeben durch

 

ein Martingal. Dies folgt aus dem Kazamaki-Kriterium.

Wichtige Aussagen über MartingaleBearbeiten

UngleichungenBearbeiten

Die wichtigsten Ungleichungen im Bezug auf Martingale sind die Doobsche Maximalungleichung und die Aufkreuzungsungleichung. Die Doobsche Maximalungleichung liefert eine Abschätzung dafür, welcher Maximalwert eines Martingals bis zu einem gegebenen Zeitpunkt nicht überschritten wird. Die Aufkreuzungsungleichung liefert eine Aussage darüber, wie oft ein Submartingal ein vorgegebenes Intervall von unten nach oben durchquert.

Kombination mit StoppzeitenBearbeiten

Das Optional Stopping Theorem und das Optional Sampling Theorem kombinieren Stoppzeiten mit Martingalen und beschäftigen sich mit den Eigenschaften und Erwartungswerten der gestoppten Prozesse. Mit diesen Ergebnissen kann man zeigen, dass keine Abbruchstrategie für ein faires Spiel existiert, die für den Spieler vorteilhaft ist.

MartingaltransformationBearbeiten

Ein Martingal und ein vorhersagbarer, lokal beschränkter Prozess lassen sich mittels des diskreten stochastischen Integrals zu einem neuen Martingal kombinieren. Man nennt diesen Prozess dann die Martingaltransformierte des ursprünglichen Martingals. Die Martingaltransformierte ist wieder ein Martingal. Dies hat weitreichende Folgen für die Existenz von Spielstrategien in fairen Spielen, die dem Spieler im Mittel Gewinn bringen. Modelliert das Martingal das faire Spiel und der vorhersagbare, lokal beschränkte Prozess die Spielstrategie, so folgert aus der Martingaltransformation, dass es keine Spielstrategie gibt, die dem Spieler im Allgemeinen einen Vorteil bringt.

Doob-ZerlegungBearbeiten

Die Doob-Zerlegung erlaubt für jeden adaptierten integrierbaren stochastischen Prozess eine Zerlegung in ein Martingal und einen vorhersagbaren Prozess.

MartingalkonvergenzsatzBearbeiten

Der Martingalkonvergenzsatz liefert für Zufallsvariablen, die ein Martingal bilden, Kriterien unter denen sie fast sicher oder im p-ten Mittel konvergieren.

Abgeleitete ProzessklassenBearbeiten

Lokale MartingaleBearbeiten

Lokale Martingale sind Prozesse, für die eine monoton wachsende Folge von Stoppzeiten existiert, so dass für jede Stoppzeit der gestoppte Prozess ein Martingal ist.

SemimartingaleBearbeiten

Semimartingale sind eine Klasse von adaptierten Prozessen mit Càdlàg-Pfaden (Die Pfade sind rechtsseitig stetig und die linksseitigen Limites existieren), die sich in ein lokales Martingal, ein Prozess mit lokal endlicher Variation und einen fast sicher endlichen Anteil zerlegen lassen.

RückwärtsmartingaleBearbeiten

Rückwärtsmartingale sind Martingale, bei denen die Indexmenge umgekehrt wird. Sie laufen quasi "falschherum" bzw. von hinten nach vorne.

Herkunft des WortesBearbeiten

Die Martingale ist eine seit dem 18. Jahrhundert bekannte Strategie im Glücksspiel, bei der nach einem verlorenen Spiel der Einsatz erhöht, im einfachsten Fall verdoppelt wird, so dass im hypothetischen Falle unerschöpflichen Vermögens, unerschöpflicher Zeit, und der Nichtexistenz eines Höchsteinsatzes sicherer Gewinn einträte.[1]

Da die Martingale das bekannteste Spielsystem war und ist, wurde der Begriff auch als Synonym für „Spielsystem“ gebraucht und fand so Eingang in die mathematische Literatur.[2]

Das Wort „Martingale“ selbst stammt aus dem Provenzalischen und leitet sich von der französischen Stadt Martigues im Département Bouches-du-Rhône am Rande der Camargue ab, deren Einwohner früher als etwas naiv galten. Der provenzalische Ausdruck jouga a la martegalo bedeutet so viel wie sehr waghalsig zu spielen.

Der „Martingal“ genannte Hilfszügel soll ebenfalls nach der Stadt Martigues benannt sein, hierbei handelt es sich um einen optionalen Teil der Pferdeausrüstung, der das Pferd daran hindern soll, den Kopf nach oben zu reißen und zu steigen. Dass dieser Hilfszügel ebenfalls Martingal genannt wird, war den Pionieren der Martingaltheorie nicht bekannt[2] – und hat mit der mathematischen Begriffsbildung nichts zu tun.

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

Historische Literatur
  • Paul Lévy: Calcul de probabilités. Gauthier-Villars, Paris 1925.
  • J. L. Doob: Stochastic Processes. Wiley, New York 1953.
Einführungen
Diskrete Martingale
  • Harald Luschgy: Martingale in diskreter Zeit. Theorie und Anwendungen. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-29960-5.
  • J. Neveu: Discrete-Parameter Martingales. North-Holland, Amsterdam 1975.
  • Y. S. Chow und H. Teicher: Probability Theory: Independence, Interchangeability, Martingales. Springer, New York 1997.
Stetige Martingale
  • C. Dellacherie, P.-A. Meyer: Probabilités et potentiel I-IV, Hermann Paris, 1975–1987. (Englische Übersetzung bei North Holland.)
Anwendungen
  • R. Bouss: Optimierung des Kreditgeschäftes mit Martingalen. Haupt, Bern 2003.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. H. Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. de Gruyter, Berlin 1991, S. 144.
  2. a b The Origins of the Word "Martingale" auf jehps.net, S. 1 f.