Optional Sampling Theorem

Das Optional Sampling Theorem (englisch) ist eine auf Joseph L. Doob zurückgehende wahrscheinlichkeitstheoretische Aussage. Eine populäre Version dieses Theorems besagt, dass es bei einem fairen, sich wiederholenden Spiel keine Abbruchstrategie gibt, mit der man seinen Gesamtgewinn verbessern kann.

AusgangssituationBearbeiten

Man betrachtet eine Menge   möglicher Zeitpunkte und eine Grundmenge   möglicher Ergebnisse. Zu jedem Zeitpunkt   liegt eine σ-Algebra   auf   vor, die für den Informationsstand zu diesem Zeitpunkt steht. Da die verfügbare Information im Zeitverlauf steigt, gelte   für  , das heißt   ist eine Filtrierung auf  . In Anwendungen liegt ein Wahrscheinlichkeitsraum   vor und es ist  .

Zu jedem Zeitpunkt   gebe es eine  -messbare Zufallsgröße  , das heißt, es liegt ein adaptierter stochastischer Prozess   vor,   kann zum Beispiel für die Auszahlung eines Spiels zum Zeitpunkt   stehen. Weiter wird vorausgesetzt, dass   ein Martingal ist; die definierende Bedingung   für   drückt die Fairness des Spiels aus: die Prognose über die Auszahlung zum Zeitpunkt   unter der bei   vorliegenden Information ist genau die bei   gemachte Beobachtung  . Insbesondere stimmt der Erwartungswert   zum Zeitpunkt   mit dem anfänglichen Erwartungswert   überein.

Eine Stoppzeit ist eine Abbildung   mit  . Dahinter steckt der Gedanke, den Prozess zum Zeitpunkt   abzubrechen, was dann zum Ergebnis   führt, wobei   geeignet zu definieren ist. Ob man zum Zeitpunkt   abbricht, darf nur von den bis   vorliegenden Informationen abhängen, was die an   gestellte Messbarkeitsbedingung erklärt.

Es stellt sich nun die Frage, ob man durch Wahl einer geeigneten Stoppzeit ein besseres Ergebnis als   erhalten kann. Das Optional Sampling Theorem sagt aus, dass dies unter geeigneten Voraussetzungen nicht der Fall ist.

Diskrete VersionBearbeiten

Betrachtet man eine diskrete Abfolge von Zeitpunkten, so kann man dies durch   modellieren. Die diskrete Version des Optional Sampling Theorems sagt aus:

  • Sind   eine Filtrierung und   ein adaptiertes Martingal auf   und ist   eine Stoppzeit mit  ,   und  , so gilt

 .

Die an   gestellten, technischen Voraussetzungen sind insbesondere für den realistischen Fall beschränkter Stoppzeiten erfüllt (man kann nicht ewig warten!).

Die Stopp-Strategie, beim Roulette immer auf rot zu setzen, mit einem Euro beginnend jedes Mal den Einsatz zu verdoppeln und beim ersten Auftreten von rot abzubrechen, erfüllt nicht diese technischen Bedingungen. Man hat hier allerdings die unrealistische Situation einer unbeschränkten Stoppzeit mit exponentiell wachsenden Einsätzen (am „Ende“ gewinnt man insgesamt einen Euro).

Die folgende Verschärfung für beschränkte Stoppzeiten wird ebenfalls als Optional Sampling Theorem bezeichnet:

  • Sind   eine Filtrierung und   ein adaptiertes Submartingal auf   und sind   beschränkte Stoppzeiten mit  , so gilt

 .

Dabei ist   die sogenannte σ-Algebra der σ-Vergangenheit. Setzt man speziell  , so ist sicher   und es folgt   und nach Anwendung des Erwartungswerts  . Im Falle von Martingalen kann man dieses Argument auch auf   anwenden, und man erhält die Aussage des erstgenannten Satzes für beschränkte Stoppzeiten.

  • Sind   eine Filtrierung und   ein adaptiertes Martingal auf   und sind   beschränkte Stoppzeiten mit  , so gilt

 .

Das ergibt sich sofort aus obiger Ungleichung, denn ist   ein Martingal, so sind   und   Submartingale.

Kontinuierliche VersionBearbeiten

Im zeitkontinuierlichen Fall, der durch   modelliert wird, sind weitere technische Voraussetzungen zu stellen, die es erlauben, den Beweis auf den diskreten Fall zurückzuführen. Analog zum diskreten Fall gelten die folgenden beiden Sätze, die ebenfalls als Optional Sampling Theorem bezeichnet werden.

  • Sind   eine Filtrierung und   ein adaptiertes Martingal mit rechtsseitig stetigen Pfaden auf   und ist   eine Stoppzeit mit  ,   und  , so gilt

 .

  • Sind   eine Filtrierung und   ein adaptiertes Submartingal mit rechtsseitig stetigen Pfaden auf   und sind   beschränkte Stoppzeiten mit  , so gilt

 .

  • Sind   eine Filtrierung und   ein adaptiertes Martingal mit rechtsseitig stetigen Pfaden auf   und sind   beschränkte Stoppzeiten mit  , so gilt

 .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten