Variation (Mathematik)

Maß für das lokale Schwingungsverhalten einer Funktion

In der Mathematik, vor allem der Variationsrechnung und der Theorie der stochastischen Prozesse, ist die Variation (auch totale Variation genannt) einer Funktion ein Maß für das lokale Schwingungsverhalten der Funktion. Bei den stochastischen Prozessen ist die Variation von besonderer Bedeutung, da sie die Klasse der zeitstetigen Prozesse in zwei fundamental verschiedene Unterklassen unterteilt: jene mit endlicher und solche mit unendlicher Variation.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Funktion auf dem reellen Intervall  . Die Variation   von   ist definiert durch

 ,

also durch die kleinste obere Schranke (Supremum), die alle Summen majorisiert, die sich durch eine beliebig feine Unterteilung   des Intervalls   ergeben. (Falls sich keine reelle Zahl finden lässt, die alle Summen majorisiert, so wird das Supremum auf plus unendlich gesetzt.)

Für stückweise monotone, stetige Funktionen gilt der folgende Satz:

Ist   in den Intervallen   mit   jeweils monoton steigend oder fallend, so gilt für die Variation von   die Gleichung

 .

Obige Definition der Variation lässt sich auf Funktionen übertragen, die auf unbeschränkten Intervallen definiert sind, und auf solche, die Werte in den komplexen Zahlen oder in normierten Vektorräumen annehmen.

Beispiel einer stetigen Funktion mit unendlicher VariationBearbeiten

Wir wollen zeigen, dass für die auf dem Einheitsintervall   stetige Funktion

 

  gilt. Für jedes   seien

 

Dann ist

 

was wegen der Divergenz der harmonischen Reihe für   gegen unendlich strebt.

Anwendung in der VariationsrechnungBearbeiten

In der Variationsrechnung begegnet man häufig Optimierungsproblemen der folgenden Art:

 ,

wobei   eine vorgegebene Menge von Funktionen ist, etwa alle zweimal stetig differenzierbaren Funktionen mit zusätzlichen Eigenschaften wie

 

Ähnliche Probleme führen beispielsweise zur Definition der Splines.

Ein weiterer Grund für die Verbreitung der Variation in Optimierungsproblemen ist die folgende Feststellung: Beschreibt die Funktion   den Verlauf eines Objekts in einem eindimensionalen Raum im Laufe der Zeit, dann gibt   gerade die im Zeitraum   zurückgelegte Strecke an.

Anwendung in der StochastikBearbeiten

In der Theorie der stochastischen Prozesse spielt der Begriff der Variation eine besondere Rolle: Eine wichtige Charakterisierung von Prozessen (neben der Einteilung in Klassen wie Markow-, Lévy- oder Gauß-Prozesse) besteht in ihrer Eigenschaft, über endlichen Intervallen fast sicher endliche oder unendliche Variation aufzuweisen:

  • Beispiel für einen Prozess fast sicher endlicher Variation: für einen Poisson-Prozess   mit Intensität   gilt wegen der Monotonie  ;
  • Beispiel für einen Prozess fast sicher unendlicher Variation: der Wiener-Prozess hingegen hat fast sicher unendliche Variation auf jedem Intervall  .

Für die Anwendung des Wiener-Prozesses in der Physik zur Erklärung der Brownschen Molekularbewegung hat diese Eigenschaft fatale Folgen: Ein Partikel, dessen Bewegung einem Wiener-Prozess folgt, würde in jedem Zeitintervall eine unendliche Strecke zurücklegen – im krassen Widerspruch zu den Gesetzen der Physik. Ein solches Teilchen hätte keine definierte Momentangeschwindigkeit (insbesondere nicht einmal eine Bewegungsrichtung) und erst recht keine definierte Beschleunigung, sodass es sinnlos ist, über auf das Teilchen wirkende Kräfte zu sprechen (vgl. Zweites newtonsches Gesetz).

Quadratische VariationBearbeiten

Eine weitere interessante Eigenschaft des Wiener-Prozesses hängt ebenfalls mit dessen Variation zusammen: Ersetzt man in der obigen Definition

  durch  ,

so gelangt man zum Begriff der quadratischen Variation   eines stochastischen Prozesses   auf dem Intervall   (für  ):

 

Ein wichtiges Resultat, das sich beispielsweise im Lemma von Itō niederschlägt, ist das folgende: Ist   ein (Standard-)Wiener-Prozess, so gilt für dessen quadratische Variation fast sicher

 .

Im Allgemeinen unterscheidet man zwei Formen der quadratischen Variation/Kovariation.

1. Es sei   ein  -Martingal. Dann heißt der eindeutig bestimmte, wachsende Prozess   aus der Doob-Meyer-Zerlegung von  ,   mit   Martingal und   vorhersehbarer wachsender Prozess, die vorhersehbare (predictable) quadratische Variation oder (angle) bracket von  . Schreibweise   oder kurz  .
Die vorhersehbare quadratische Kovariation für zwei  -Martingale   und   wird definiert als:
 .
2. Die quadratische Kovariation zweier Semimartingale   und   bzw. die quadratische Variation von  , wenn  , ist der folgende Prozess:
 .

Beziehung zwischen den beiden Definitionen:

Es seien   und   zwei Semimartingale. Dann gilt für alle  
 ,

wobei mit   und   die stetigen Martingalteile bezeichnet werden.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. 2. Auflage. Springer, Berlin 2003, ISBN 978-3-540-00313-7.
  • Jean Jacod and Albert N. Shiryaev: Limit Theorems for Stochastic Processes. Springer, 1987, ISBN 3-540-17882-1.