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Drei (abhängige) geometrische brownsche Bewegungen mit Drift μ=0,8 und Volatilität σ=0,4 (blau), σ=0,25 (rot) und σ=0,1 (gelb)

Die geometrische brownsche Bewegung ist ein stochastischer Prozess, der sich vom Wiener-Prozess (auch brownsche Bewegung genannt) ableitet. Sie findet vor allem in der Finanzmathematik Verwendung.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Standard-brownsche-Bewegung, d. h. ein Wiener-Prozess. So ist

 

eine geometrische brownsche Bewegung.

HerleitungBearbeiten

 
Drei unabhängige geometrische brownsche Bewegungen mit Volatilität 0,2 und Drift 0,7 (grün), 0,2 (blau) und −0,7 (rot)

Die geometrische brownsche Bewegung ist die Lösung der stochastischen Differentialgleichung

 

Der Parameter   heißt dabei Drift und beschreibt die deterministische Tendenz des Prozesses. Ist  , so wächst der Wert von   in Erwartung, ist er negativ, fällt   tendenziell. Für   ist   ein Martingal.

Der Parameter   beschreibt die Volatilität und steuert den Einfluss des Zufalls auf den Prozess  . Ist  , so verschwindet der Diffusionsterm in der obigen Differentialgleichung, übrig bleibt die gewöhnliche Differentialgleichung

 ,

die die Exponentialfunktion   als Lösung besitzt. Deshalb kann man die geometrische brownsche Bewegung als stochastisches Pendant zur Exponentialfunktion auffassen.

Die stochastische Differentialgleichung der geometrischen brownschen Bewegung kann mit dem Exponentialansatz   gelöst werden. Mit Hilfe der Itō-Formel ergibt sich für  :

 

Einsetzen der Differentialgleichung liefert

 

also

 

Exponentiation ergibt die in der Definition angegebene Formel.

Eine andere Möglichkeit, die Lösung zu bestimmen, ist die Verwendung des stochastischen Exponentials: Mit   gilt  .

EigenschaftenBearbeiten

  • Erwartungswert: für alle   gilt:  
  • Kovarianz: Für alle   gilt:  
Insbesondere gilt also  .
  • Die geometrische brownsche Bewegung hat unabhängige multiplikative Zuwächse, d. h., für alle   sind
  unabhängig.

AnwendungBearbeiten

Im Black-Scholes-Modell, dem einfachsten und am weitesten verbreiteten (zeitstetigen) finanzmathematischen Modell zur Bewertung von Optionen, wird die geometrische brownsche Bewegung als Näherung für den Preisprozess eines Basiswertes (zum Beispiel einer Aktie) herangezogen. Dazu führte die vereinfachende Annahme, dass die prozentuale Rendite über disjunkte Zeitintervalle unabhängig und normalverteilt ist. µ spielt hier die Rolle des risikofreien Zinssatzes, σ repräsentiert das Schwankungsrisiko an der Börse. Die oben erwähnte Martingaleigenschaft spielt hier eine zentrale Rolle.

LiteraturBearbeiten

  • Bernt Øksendal: Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer, 2003, ISBN 3-540-04758-1.
  • Steven E. Shreve: Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer, 2004, ISBN 0-387-40101-6.

WeblinksBearbeiten

  Commons: Geometrische brownsche Bewegung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien