Exponentialansatz

Begriff aus der Mathematik

Unter dem Exponentialansatz versteht man in der Mathematik einen Ansatz zur Lösung einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, deren Inhomogenität von exponentieller Struktur ist. Die Idee ist, dass dann auch eine partikuläre Lösung von ähnlicher Gestalt wie die Inhomogenität existiert. Durch einen solchen Lösungsansatz wird die Differentialgleichung auf ein lineares Gleichungssystem zurückgeführt. Die Idee für diesen Ansatz geht auf Leonhard Euler zurück.

FormulierungBearbeiten

Gegeben sei eine lineare Differentialgleichung

 

mit konstanten Koeffizienten  , worin die Inhomogenität die Struktur

 

besitzt. Weiter bezeichne   die Nullstellenordnung von   bezüglich des charakteristischen Polynoms der zugehörigen homogenen Gleichung

 

Dann existiert eine spezielle Lösung   der Form

 

BeispielBearbeiten

Man betrachte die lineare Differentialgleichung

 

Nun ist   Nullstelle erster Ordnung des Polynoms  . Also existiert nach obigem Satz eine spezielle Lösung der Gestalt

 

Aus

 

und

 

erhält man von der Differentialgleichung

 

Koeffizientenvergleich liefert die bestimmenden Gleichungen

 

welches   und   impliziert. Also ist

 

eine spezielle Lösung obiger inhomogener Differentialgleichung.

LiteraturBearbeiten

  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 5. Auflage. Teubner-Verlag 1988, ISBN 3-519-42221-2, S. 413–428.