Charakteristisches Polynom

Polynom zu einem Endomorphismus

Das charakteristische Polynom (CP) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Dieses Polynom, das für quadratische Matrizen und Endomorphismen von endlichdimensionalen Vektorräumen definiert ist, gibt Auskunft über einige Eigenschaften der Matrix oder linearen Abbildung.

Die Gleichung, in der das charakteristische Polynom gleich null gesetzt wird, wird manchmal Säkulargleichung genannt. Ihre Lösungen sind die Eigenwerte der Matrix bzw. der linearen Abbildung. Eine Matrix, in ihr charakteristisches Polynom eingesetzt, ergibt die Nullabbildung (Satz von Cayley-Hamilton).

DefinitionBearbeiten

Das charakteristische Polynom   einer quadratischen  -Matrix   mit Einträgen aus einem Körper   wird definiert durch:

 

Hierbei bezeichnet   die  -dimensionale Einheitsmatrix und   die Determinante. Die Unbestimmte   steht ebenfalls für ein Element von  .

Die Definition des charakteristischen Polynoms als   ist ebenfalls gebräuchlich. Für ungerades   unterscheidet sie sich durch den Faktor   von der obigen Definition, das heißt, das Polynom ist dann nicht mehr normiert.

Ist   ein  -dimensionaler  -Vektorraum und   ein Endomorphismus, dann ist das charakteristische Polynom   gegeben durch:

 

wobei   eine Darstellungsmatrix des Endomorphismus   bzgl. einer Basis ist. Das charakteristische Polynom von   hängt nicht von der gewählten Basis ab.

Das charakteristische Polynom ist ein normiertes Polynom  -ten Grades aus dem Polynomring  . Die Notation für das charakteristische Polynom ist sehr uneinheitlich, andere Varianten sind beispielsweise   oder bei Bourbaki  .

Zusammenhang mit EigenwertenBearbeiten

Das charakteristische Polynom spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Eigenwerte einer Matrix, denn die Eigenwerte sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Auch wenn man zum expliziten Berechnen des charakteristischen Polynoms immer eine Basis und damit eine Darstellungsmatrix auswählt, hängt das Polynom wie auch die Determinante nicht von dieser Wahl ab.

Um zu zeigen, dass die Eigenwerte gerade die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, geht man folgendermaßen vor:

Es sei   und   eine  -Matrix über  . Dann gelten die folgenden Äquivalenzen:

  ist ein Eigenwert von  .
  Es gibt ein   mit  .
  Es gibt ein   mit  .
  ist nicht invertierbar.
 
    ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms von  .

Formeln und AlgorithmenBearbeiten

Schreibt man das charakteristische Polynom in der Form

 

so ist stets   , mit   als der Spur, und   die Determinante von  .

Speziell für  -Matrizen hat das charakteristische Polynom also die besonders einfache Form

 

Für  -Matrizen ergibt sich die Form:

 

Hierbei ist   die  -Matrix, die man durch Streichen der  -ten Zeile und der  -ten Spalte erhält (ein Minor).

Die Koeffizienten von   lassen sich mit Hilfe von geeigneten Verfahren, wie z. B. dem Algorithmus von Faddejew-Leverrier oder dem Algorithmus von Samuelson-Berkowitz, auch systematisch ermitteln.

EigenschaftenBearbeiten

  • Die charakteristischen Polynome zweier ähnlicher Matrizen sind gleich. Die Umkehrung ist jedoch im Allgemeinen nicht richtig.
  • Die Matrix   und ihre Transponierte besitzen das gleiche charakteristische Polynom.
  • Nach dem Satz von Cayley-Hamilton ist eine Matrix Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms:
     .
  • Das Minimalpolynom einer linearen Abbildung teilt deren charakteristisches Polynom.
  • Ist   eine  -Matrix und   eine  -Matrix so gilt  .
Beweis:
Aus den Matrixgleichungen
 
 
sowie der Regel
 
folgt
 .

BeispielBearbeiten

Gesucht ist das charakteristische Polynom der Matrix

 

Gemäß der obigen Definition rechnet man wie folgt:

 

Damit sind 1, −1 und 4 die Nullstellen des charakteristischen Polynoms   und somit auch die Eigenwerte der Matrix  . Da jede Nullstelle die Multiplizität 1 hat, ist in diesem Beispiel das charakteristische Polynom zugleich das Minimalpolynom.

LiteraturBearbeiten

  • Oliver Deiser, Caroline Lasser: Erste Hilfe in Linearer Algebra: Überblick und Grundwissen mit vielen Abbildungen und Beispielen. Springer, 2015, ISBN 978-3-642-41627-9, S. 204 ff

WeblinksBearbeiten