Plemelj-Smithies-Formeln

Theorem aus der Funktionalanalysis nach Josip Plemelj und Frank Smithies

Die Plemelj-Smithies-Formeln (nach Josip Plemelj und Frank Smithies) sind Theoreme aus der Funktionalanalysis über die Darstellung von Operatordeterminanten wie der Fredholm-Determinante für Spurklasse-Operatoren und für den Spezialfall beschränkter linearer Operatoren mit endlichem Rang auf einem Banachraum . Die Theoreme geben eine explizite Formel zur Berechnung der Koeffizienten der Taylorentwicklung von an.

Sei   ein Operator der Spurklasse und  , dann ist die Determinante   eine ganze Funktion und es gilt

 

wobei sich die Koeffizienten   der Taylorentwicklung mit Hilfe von Determinanten

 

ausdrücken lassen.

Außerdem gilt für   und   hinreichend klein die folgende Formel:

 

Beweis-Skizze

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Die Idee besteht darin, den Beweis zunächst für den oben erwähnten Spezialfall von beschränkten Operatoren mit endlichem Rang durchzuführen und dann den Gültigkeitsbereich durch einen geeigneten Grenzübergang auf   fortzusetzen.

Lemma zur Verkettung der Exponentialfunktion mit einer speziellen analytischen Potenzreihe

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Als Vorbereitung benötigen wir noch folgendes Lemma (siehe Gohberg et al.[1] und Reed / Simon[2]):

Seien   und   Funktionen, die in einer Umgebung von   holomorph sind mit folgenden Taylorentwicklungen:

 

Sei weiterhin  . Dann ist   und für   gilt folgende Darstellung:

 

Begründung:

Da in einer Umgebung von 0 die Gleichung   gilt, kann man die Cauchy-Produktformel auf das Produkt der Potenzreihen von   und   anwenden:

 

Also

 

Die Aussage des Lemmas zeigt man nun durch Induktion über  . Mit der Annahme, dass die Aussage des Lemmas für   richtig ist, folgt die Gültigkeit für   durch den Laplaceschen Entwicklungssatz, da die Summenformel für   gerade der Entwicklung der Determinante für   nach der ersten Spalte entspricht.

Beweis für Operatoren mit endlichem Rang

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Mit Hilfe des obigen Lemmas können wir nun den Beweis für Operatoren mit endlichem Rang führen (vgl. Gohberg et al.[3] und Reed / Simon[4]):

Sei   ein Operator aus der Algebra der beschränkten linearen Operatoren mit endlichem Rang   auf einem Banachraum  .

Wenn wir die komplexen Eigenwerte von   mit   bezeichnen, dann lässt sich die Determinante für   folgendermaßen darstellen:

 

Durch Anwenden des obigen Lemmas auf die gerade hergeleitete Darstellung von   folgt unmittelbar die Gültigkeit der Plemlj-Smithies Formeln für Operatoren mit endlichem Rang.

Stetige Fortsetzung auf eingebettete Unteralgebren mit der Approximations-Eigenschaft

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Wir bezeichnen mit

  •   die Algebra aller beschränkten linearen Operatoren
  •   die Algebra aller beschränkten linearen Operatoren mit endlichem Rang

auf einem komplexen Banachraum  

Eine Unteralgebra   von   heißt stetig eingebettet in  , falls es eine Norm   auf   gibt, so dass

 

Zusätzlich fordern wir

 
  • Der Einfachheit halber nennen wir eine Unteralgebra   eine eingebettete Unteralgebra, wenn die Norm auf   die Bedingungen 1. und 2. erfüllt.
  • Falls zusätzlich   dicht in   bezüglich der Norm   liegt, so sagen wir, dass   die Approximationseigenschaft hat.

Man kann zunächst allgemein nachweisen, dass sich unter gewissen Voraussetzungen die Funktion   für eingebettete Unteralgebren   mit Approximationseigenschaft setig von   nach   fortsetzen lässt (siehe z. B. Gohberg et al.[5]).

Speziell lässt sich nun zeigen, dass

  • die Menge  der Operatoren der Spurklasse eine Unteralgebra von   mit der Approximationseigenschaft ist (vgl. Gohberg et al.[6])
  • sich   von   stetig nach   fortsetzen lässt vgl. Gohberg et al.[7]

Alternative Formulierung der Plemelj-Smithies-Formeln mit Hilfe von Bell-Polynomen

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Ein Spezialfall der Formel von Faà di Bruno besagt, dass sich die Exponentialfunktion einer formalen Potenzreihe mit Hilfe von vollständigen Bell-Polynomen ausdrücken lässt:

 

Wenn man dies anstelle des obigen Lemmas auf die Darstellung von   anwendet, so erhält man folgende alternative Darstellung für die Taylorkoeffizienten  :

 

Korollar: Charakteristisches Polynom einer endlich-dimensionalen Matrix

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Ein besonders einfaches Anwendungsbeispiel sind endlich-dimensionale Matrizen  , da man für diese mit Hilfe der Plemlj-Smithies-Formeln unmittelbar explizite Formeln für die Koeffienten   des durch

 

definierten charakteristischen Polynoms der Matrix ableiten kann:

 .

Da das charakteristische Polynom vom Grad   ist, muss   sein für  , d. h. die Laurententwicklung reduziert sich zu einer endlichen Summe von Termen, die Potenzen von   mit nicht-negativen Exponenten haben:

 .

Durch Koeffizientenvergleich erkennt man:

 .

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Chapter I, Lemma 7.1
  2. Michael Reed, Barry Simon : IV: Analysis of Operators, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press INC., Chapter XIII.17, Lemma 7
  3. Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Chapter I, Theorem 3.3
  4. Michael Reed, Barry Simon : IV: Analysis of Operators, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press INC., Chapter XIII.17, Lemma 6
  5. Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Chapter II, Theorem 2.1
  6. Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Chapter IV, Theorem 5.1
  7. Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Chapter IV, Theorem 5.2 und Vorbemerkungen auf p. 61

siehe auch: Fredholm-Determinante, Approximationseigenschaft, Banachalgebra, Spurklasse