Cauchy-Produktformel

Die Cauchy-Produktformel, auch Cauchy-Produkt oder Cauchy-Faltung, benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy gestattet die Multiplikation unendlicher Reihen. Dabei handelt es sich um eine diskrete Faltung.

DefinitionBearbeiten

Sind   und   zwei absolut konvergente Reihen, dann ist die Reihe

  mit  

ebenfalls eine absolut konvergente Reihe und es gilt

 

Die Reihe   wird Cauchy-Produkt der Reihen   und   genannt. Die Koeffizienten   können als diskrete Faltung der Vektoren   und   aufgefasst werden.

Schreibt man diese Formel aus, so erhält man:

 

Bricht man diese Reihe bei einem gewissen Wert von   ab, so erhält man eine Näherung für das gesuchte Produkt.

Speziell für die Multiplikation von Potenzreihen gilt

 

BeispieleBearbeiten

Anwendung auf die ExponentialfunktionBearbeiten

Als Anwendungsbeispiel soll gezeigt werden, wie sich die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion aus der Cauchy-Produktformel herleiten lässt. Die Exponentialfunktion   konvergiert bekanntlich absolut. Daher kann man das Produkt   mittels des Cauchy-Produktes berechnen und erhält

 

Nach Definition des Binomialkoeffizienten   kann man das weiter umformen als

 

wobei das vorletzte Gleichheitszeichen durch den binomischen Lehrsatz gerechtfertigt ist.

Eine divergente ReiheBearbeiten

Es soll das Cauchy-Produkt

 

einer nur bedingt konvergenten Reihe mit sich selbst gebildet werden.

Hier gilt

 

Mit der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel   angewendet auf die Wurzel im Nenner folgt

 

Da die   somit keine Nullfolge bilden, divergiert die Reihe  

Berechnung der inversen PotenzreiheBearbeiten

Mit Hilfe der Cauchy-Produktformel kann die Inverse einer Potenzreihe mit reellen oder komplexen Koeffizienten berechnet werden. Wir setzen hierfür   und  . Die Koeffizienten   berechnen wir mithilfe von:

 ,

wobei wir im letzten Schritt die Cauchy-Produktformel verwendet haben. Mit einem Koeffizientenvergleich folgt daraus:

 
 
 
 
 

Zur Vereinfachung und o. B. d. A. setzen wir   und finden  .

VerallgemeinerungenBearbeiten

Nach dem Satz von Mertens ist es schon ausreichend zu fordern, dass mindestens eine der beiden konvergenten Reihen absolut konvergiert, damit ihr Cauchy-Produkt konvergiert (nicht notwendigerweise absolut) und sein Wert das Produkt der gegebenen Reihenwerte ist.

Konvergieren beide Reihen nur bedingt, so kann es sein, dass ihr Cauchy-Produkt nicht konvergiert, wie obiges Beispiel zeigt. Wenn in diesem Fall jedoch das Cauchy-Produkt konvergiert, dann stimmt sein Wert nach einem Satz von Abel mit dem Produkt der beiden Reihenwerte überein.

LiteraturBearbeiten