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Nullfolge

Folge die gegen 0 konvergiert

In der Mathematik versteht man unter einer Nullfolge eine Folge (meist von reellen Zahlen), die gegen 0 konvergiert (sich annähert). Jede konvergente Folge kann als die Summe aus einer konstanten Zahl (nämlich ihrem Grenzwert) und einer Nullfolge dargestellt werden.

Zum Beispiel ist die Folge in den reellen Zahlen eine Nullfolge.

DefinitionBearbeiten

Sei   der Körper der reellen oder komplexen Zahlen. Eine Folge   heißt Nullfolge, falls

 

gilt. Die Menge aller Nullfolgen bildet den Folgenraum  , der mit der Supremumsnorm     ein Banachraum wird.

BeispieleBearbeiten

Beispiele für Nullfolgen   sind:

  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  .

VerallgemeinerungBearbeiten

Sei   eine metrisierbare topologische Gruppe, d. h. eine Gruppe, die mit einer Metrik so ausgestattet ist, dass die Gruppenverknüpfung und die Inversenbildung stetig sind (z. B. die additive Gruppe in einem bewerteten Körper oder normierten Vektorraum).

Eine Folge in   heißt genau dann Nullfolge, wenn sie gegen das neutrale Element konvergiert.

Die Eigenschaft einer Folge, Nullfolge zu sein, hängt natürlich von der Metrik ab: Die oben als Beispiel angegebene Folge   ist in   eine Nullfolge bezüglich der üblichen Betragsmetrik, jedoch divergiert sie sogar bezüglich des 2-adischen Betrages auf  .

Eine Folge in einem normierten Vektorraum ist genau dann eine Nullfolge bezüglich der durch die Norm induzierten Metrik, wenn die Folge der Normen eine Nullfolge in   ist.

Siehe auchBearbeiten

QuellenBearbeiten

WeblinksBearbeiten

 Wiktionary: Nullfolge – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen