Nullfolgenkriterium

mathematisches Konvergenzkriterium

Das Nullfolgenkriterium, auch Trivialkriterium oder Divergenzkriterium, ist in der Mathematik ein Konvergenzkriterium, nach dem eine Reihe divergiert, wenn die Folge ihrer Summanden keine Nullfolge ist. Das Nullfolgenkriterium bildet damit eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Reihe.

Kriterium

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Das Nullfolgenkriterium lautet:

Bildet die Folge der Summanden einer Reihe keine Nullfolge, dann divergiert die Reihe.

Gilt also für die Summanden   einer Reihe  

 

oder existiert dieser Grenzwert nicht, dann konvergiert die Reihe nicht. Im Gegensatz zu anderen Konvergenzkriterien kann mit dem Nullfolgenkriterium lediglich bewiesen werden, dass eine Reihe divergiert, aber nicht entschieden werden, ob sie konvergiert. Beispielsweise konvergiert die harmonische Reihe nicht, obwohl ihre Summanden eine Nullfolge bilden.

Beispiele

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Die Reihe

 

divergiert, denn

 .

Die alternierende Reihe

 

divergiert ebenfalls, denn der Grenzwert

 

existiert nicht.

Der Beweis des Nullfolgenkriteriums erfolgt typischerweise durch Kontraposition, das heißt durch Umkehrung der Aussage

Konvergiert eine Reihe, dann bildet die Folge der Summanden eine Nullfolge.

Eine Reihe konvergiert, wenn die Folge ihrer Partialsummen   mit

 

konvergiert, das heißt, es existiert ein Grenzwert  , sodass

 .

Durch Umstellung der Reihe und mit den Rechenregeln für Grenzwerte gilt dann

 

Nachdem die Folge der Summanden für jede konvergente Reihe eine Nullfolge bilden muss, divergiert eine Reihe, wenn dies nicht der Fall ist.

Alternativer Beweis über das Cauchy-Kriterium

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Das Trivialkriterium kann auch über das Cauchy-Kriterium bewiesen werden. Nach diesem Kriterium konvergiert eine Reihe genau dann, wenn es für alle   einen Mindestindex   gibt, so dass   für alle   ist. Wenn wir hier   setzen, folgt: Für alle   gibt es ein  , so dass für alle   die Ungleichung   erfüllt ist. Dies ist aber exakt die Definition dafür, dass die Folge   eine Nullfolge ist.

Siehe auch

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Literatur

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