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Eine absolute konvergente Reihe ist ein Begriff aus der Analysis. Es handelt sich um eine Verschärfung des Begriffs der konvergenten Reihe. Für die absolut konvergenten Reihen bleiben manche Eigenschaften endlicher Summen gültig, die für die größere Menge der konvergenten Reihen im Allgemeinen falsch sind.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Eine reellwertige oder komplexwertige Reihe   heißt absolut konvergent, wenn die Reihe der Absolutbeträge

 

konvergiert.

Diese Definition wird auch auf normierte Räume verallgemeinert: Eine Reihe in einem normierten Raum heißt absolut konvergent, wenn die Reihe der Normen konvergiert.

BeispieleBearbeiten

  • Konvergente Reihen, deren Summanden fast alle nicht negativ sind, sind absolut konvergent.
  • Die Reihe
 
ist wegen
 
absolut konvergent.
 
ist für jedes komplexe   absolut konvergent.
 
ist konvergent gegen  . Sie ist aber nicht absolut konvergent, denn beim Nachprüfen der definierenden Eigenschaft erhält man
 ,
also die gewöhnliche harmonische Reihe. Diese ist bestimmt divergent gegen  .

EigenschaftenBearbeiten

Jede absolut konvergente Reihe ist (unbedingt) konvergent. Das gilt sowohl für reellwertige wie für komplexwertige Reihen. Allgemeiner: In endlich-dimensionalen Räumen ist unbedingt konvergent gleichbedeutend mit absolut konvergent.

Es gibt aber Reihen, die konvergent, aber nicht absolut konvergent sind, sie gelten als bedingt konvergent. In unendlich-dimensionalen Räumen gibt es sogar unbedingt konvergente Reihen, die nicht absolut konvergieren.

Manche Konvergenzkriterien für Reihen, so das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium, bedingen die absolute Konvergenz.

UmordnungenBearbeiten

Eine wesentliche Eigenschaft absolut konvergenter Reihen ist, dass man wie bei endlichen Summen die Summanden beliebig vertauschen kann: Jede Umordnung einer absolut konvergenten Reihe  , d. h. jede Reihe, die durch Umordnung der Reihenglieder von   entsteht, ist konvergent und konvergiert gegen den gleichen Grenzwert wie  . Dies ist genau umgekehrt zu konvergenten, aber nicht absolut konvergenten Reihen  : Dort existiert stets eine Umordnung von  , die divergiert.

Ist die Reihe   reellwertig, so gilt die folgende, noch schärfere Aussage (Riemannscher Umordnungssatz): Zu jeder vorgegebenen Zahl   existiert eine Umordnung der Reihe  , die gegen   (uneigentlich) konvergiert. Die Begründung ist leicht anzugeben, wir beschränken uns auf den Fall  . Man ordnet die Summanden in zwei Folgen

 

an (Summanden, die gleich null sind, werden weggelassen). Nun addiert man so lange Folgenglieder aus  , bis   überschritten wird, dann (negative) Folgenglieder aus  , bis   wieder unterschritten wird, dann wieder aus   usw. Das Verfahren ist durchführbar, weil   und   divergieren (ansonsten wäre die ursprüngliche Reihe absolut konvergent), und die umgeordnete Reihe konvergiert gegen  .

VerallgemeinerungenBearbeiten

Der Begriff der absoluten Konvergenz lässt sich auf normierte Räume verallgemeinern. Gegeben sei eine Folge   von Elementen eines normierten Raumes  . Die entsprechende Reihe   wird durch

 

definiert. Die Reihe heißt absolut konvergent, wenn   konvergiert.

Ist   ein Banachraum, also vollständig, so ist jede absolut konvergente Reihe auch konvergent. Tatsächlich gilt hiervon auch die Umkehrung: Ist   ein normierter Vektorraum und jede absolut konvergente Reihe konvergent, so ist   vollständig, also ein Banachraum.

In beliebigen vollständigen metrischen Räumen gilt ein verwandtes Resultat. Eine Folge   ist zumindest dann konvergent, wenn die Summe

 

konvergiert. Da in obigem Beispiel ja  , ergibt sich die absolute Konvergenz daraus als Spezialfall.

LiteraturBearbeiten

  • Avner Friedman: Foundations of Modern Analysis. Dover, New York 1970. ISBN 0-486-64062-0.
  • Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Auflage, Springer Verlag 1964, ISBN 3-540-03138-3.

WeblinksBearbeiten