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In der Mathematik bezeichnet man als Exponentialfunktion eine Funktion der Form mit einer reellen Zahl als Basis (Grundzahl). In der gebräuchlichsten Form sind dabei für den Exponenten die reellen Zahlen zugelassen. Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen, bei denen die Basis die unabhängige Größe (Variable) und der Exponent fest vorgegeben ist, ist bei Exponentialfunktionen der Exponent (auch Hochzahl) des Potenzausdrucks die Variable und die Basis fest vorgegeben. Darauf bezieht sich auch die Namensgebung. Exponentialfunktionen haben in den Naturwissenschaften, z. B. bei der mathematischen Beschreibung von Wachstumsvorgängen, eine herausragende Bedeutung (siehe exponentielles Wachstum).

Als die Exponentialfunktion im engeren Sinne (präziser eigentlich natürliche Exponentialfunktion) bezeichnet man die e-Funktion, also die Exponentialfunktion mit der eulerschen Zahl als Basis; gebräuchlich hierfür ist auch die Schreibweise . Diese Funktion hat gegenüber den anderen Exponentialfunktionen besondere Eigenschaften. Unter Verwendung des natürlichen Logarithmus lässt sich mit der Gleichung jede Exponentialfunktion auf eine solche zur Basis zurückführen. Deshalb befasst sich dieser Artikel im Wesentlichen mit der Exponentialfunktion zur Basis .

Bisweilen unterscheidet man im Deutschen auch zwischen exponentiellen Funktionen (allgemein) und der Exponentialfunktion (zur Basis e).

Graph der Exponentialfunktion (rot) mit der Tangente (hellblau gestrichelte Linie) durch den Punkt 0/1

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Die Exponentialfunktion zu der Basis   kann auf den reellen Zahlen auf verschiedene Weisen definiert werden.

Eine Möglichkeit ist die Definition als Potenzreihe, die sogenannte Exponentialreihe

 ,

wobei   die Fakultät von   bezeichnet.

Eine weitere Möglichkeit ist die Definition als Grenzwert einer Folge mit  :

 

Beide Arten sind auch zur Definition der komplexen Exponentialfunktion   auf den komplexen Zahlen geeignet (s. weiter unten).

Die reelle Exponentialfunktion   ist positiv, stetig, streng monoton wachsend und surjektiv. Dabei bezeichnet   die Menge der positiven reellen Zahlen.

Sie ist folglich bijektiv. Deshalb existiert ihre Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus  .

Daraus erklärt sich auch die Bezeichnung Antilogarithmus für die Exponentialfunktion.

Konvergenz der Reihe, StetigkeitBearbeiten

 
Die Exponentialfunktion ist an der Stelle 0 stetig.

Die punktweise Konvergenz der für die Definition der Exponentialfunktion verwendeten Reihe

 

lässt sich für alle reellen und komplexen   einfach mit dem Quotientenkriterium zeigen; daraus folgt sogar absolute Konvergenz. Der Konvergenzradius der Potenzreihe ist also unendlich. Da Potenzreihen an jedem inneren Punkt ihres Konvergenzbereiches analytisch sind[1], ist die Exponentialfunktion also in jedem reellen und komplexen Punkt trivialerweise auch stetig[2].

RechenregelnBearbeiten

Da die Exponentialfunktion die Funktionalgleichung   erfüllt, kann man mit ihrer Hilfe das Potenzieren auf reelle und komplexe Exponenten verallgemeinern, indem man definiert:

 

für alle   und alle reellen oder komplexen  .

Generell gilt diese Umformung von   auch für beliebige andere Werte   als neue Basis:

 

Solche Funktionen heißen exponentielle Funktionen und „verwandeln“ Multiplikation in Addition. Genauer zeigen das die folgenden Gesetze:

  und  
 
 
 
 
 

Diese Gesetze gelten für alle positiven reellen   und   und alle reellen   und  . Ausdrücke mit Brüchen und Wurzeln können oft mit Hilfe der Exponentialfunktion vereinfacht werden:

 
 

Siehe auch Rechenregeln für Logarithmus.

Ableitung: die Bedeutung der „natürlichen“ ExponentialfunktionBearbeiten

Die große Bedeutung der e-Funktion, eben die Exponentialfunktion mit Basis  , beruht auf der Tatsache, dass ihre Ableitung wieder die e-Funktion ergibt:

 

Wenn man zusätzlich

 

fordert, ist die e-Funktion sogar die einzige Funktion  , die dies leistet. Somit kann man die e-Funktion auch als Lösung dieser Differentialgleichung mit dieser Anfangsbedingung definieren.

Allgemeiner folgt für reelles   aus

 

und der Kettenregel die Ableitung beliebiger Exponentialfunktionen:

 

In dieser Formel kann der natürliche Logarithmus nicht durch einen Logarithmus zu einer anderen Basis ersetzt werden; die Zahl e kommt also in der Differentialrechnung auf „natürliche“ Weise ins Spiel.

Exponentialfunktion auf den komplexen ZahlenBearbeiten

 
Farbcodierte Darstellung der komplexen Exponen­tial­funktion. Dunkle Farben bedeuten betrags­mäßig kleine Funk­tions­werte, helle/aus­geb­lichene Farben bedeuten große Funk­tions­werte. Die Grund­farbe stellt das Argument des Funk­tions­werts dar. Dies ist der Winkel, den der Funk­tions­wert relativ zur reellen Achse hat (Blick­punkt im Koor­dinaten­ursprung). Positiv reelle Werte erscheinen rot, negativ reelle Werte türkis. Die sich wieder­holen­den Farb­bänder lassen deutlich erkennen, dass die Funktion in imagi­närer Richtung perio­disch ist.
 
Realanteil der komplexen Exponentialfunktion
 
Imaginäranteil der komplexen Exponentialfunktion

Mit Hilfe der Reihendarstellung

 

lässt sich die Exponentialfunktion für komplexe Zahlen   definieren. Die Reihe konvergiert für alle   absolut.

Die Exponentialfunktion behält für alle komplexen Zahlen  ,   folgende wichtige Eigenschaften:

 
 
 
 

Die Exponentialfunktion ist somit ein surjektiver, aber nicht injektiver Gruppenhomomorphismus von der abelschen Gruppe   auf die abelsche Gruppe  , also von der additiven auf die multiplikative Gruppe des Körpers  .

In   hat die Exponentialfunktion eine wesentliche Singularität, ansonsten ist sie holomorph, d. h., sie ist eine ganze Funktion. Die komplexe Exponentialfunktion ist periodisch mit der komplexen Periode 2πi, es gilt also

 

Beschränkt man ihren Definitionsbereich auf einen Streifen

 

mit  , dann besitzt sie eine wohldefinierte Umkehrfunktion, den komplexen Logarithmus.

Die Exponentialfunktion kann zur Definition der trigonometrischen Funktionen für komplexe Zahlen verwendet werden:

 
 

Dies ist äquivalent zur eulerschen Formel

 .

Daraus abgeleitet ergibt sich speziell die Gleichung

 

der in Physik und Technik wichtigen komplexen Exponentialschwingung mit der Kreisfrequenz   und der Frequenz  .

Ebenso kann die Exponentialfunktion zur Definition der hyperbolischen Funktionen verwendet werden:

 
 
 

Man kann auch im Komplexen eine allgemeine Potenz definieren:

  mit  .

Die Werte der Potenzfunktion sind dabei abhängig von der Wahl des Einblättrigkeitsbereichs des Logarithmus, siehe auch Riemannsche Fläche. Dessen Mehrdeutigkeit wird ja durch die Periodizität seiner Umkehrfunktion, eben der Exponentialfunktion, verursacht. Deren grundlegende Gleichung

 

entspringt der Periodizität der Exponentialfunktion   mit reellem Argument  . Deren Periodenlänge ist genau der Kreisumfang   des Einheitskreises, den die Sinus- und Kosinusfunktionen wegen der Eulerschen Formel beschreiben. Die Exponential-, die Sinus- und die Kosinusfunktion sind nämlich nur Teile derselben (auf komplexe Zahlen verallgemeinerten) Exponentialfunktion, was im Reellen nicht offensichtlich ist.

Exponentialfunktion auf beliebigen BanachalgebrenBearbeiten

Die Exponentialfunktion lässt sich auf Banachalgebren, zum Beispiel Matrix-Algebren mit einer Operatornorm, verallgemeinern. Sie ist dort ebenfalls über die Reihe

 

definiert, die für alle beschränkten Argumente aus der jeweils betrachteten Banachalgebra absolut konvergiert.

Die wesentliche Eigenschaft der reellen (und komplexen) Exponentialfunktion

 

ist in dieser Allgemeinheit allerdings nur noch gültig für Werte   und  , die kommutieren, also für Werte mit   (dies ist in den reellen oder komplexen Zahlen natürlich immer erfüllt, da die Multiplikation dort kommutativ ist). Einige Rechenregeln dieser Art für die Exponentiale von linearen Operatoren auf einem Banachraum liefern die Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln.

Eine wichtige Anwendung dieser verallgemeinerten Exponentialfunktion findet sich beim Lösen von linearen Differentialgleichungssystemen der Form   mit konstanten Koeffizienten. In diesem Fall ist die Banachalgebra die Menge der  -Matrizen mit komplexen Einträgen. Mittels der jordanschen Normalform lässt sich eine Basis bzw. Ähnlichkeitstransformation finden, in welcher die Exponentialmatrix eine endliche Berechnungsvorschrift hat. Genauer gesagt, man findet eine reguläre Matrix  , so dass  , wobei   eine Diagonalmatrix und   eine nilpotente Matrix sind, welche miteinander kommutieren. Es gilt damit

 

Das Exponential einer Diagonalmatrix ist die Diagonalmatrix der Exponentiale, das Exponential der nilpotenten Matrix ist ein matrixwertiges Polynom mit einem Grad, der kleiner als die Dimension   der Matrix   ist.

Numerische BerechnungsmöglichkeitenBearbeiten

Als fundamentale Funktion der Analysis wurde viel über Möglichkeiten zur effizienten Berechnung der Exponentialfunktion bis zu einer gewünschten Genauigkeit nachgedacht. Dabei wird stets die Berechnung auf die Auswertung der Exponentialfunktion in einer kleinen Umgebung der Null reduziert und mit dem Anfang der Potenzreihe gearbeitet. In der Analyse ist die durch die Reduktion notwendige Arbeitsgenauigkeit gegen die Anzahl der notwendigen Multiplikationen von Hochpräzisionsdaten abzuwägen.

Der Rest der  -ten Partialsumme hat eine einfache Abschätzung gegen die geometrische Reihe, welche auf

  bei   für alle   mit   führt.

Die einfachste Reduktion benutzt die Identität   , d. h. zu gegebenem   wird   bestimmt, wobei   nach den Genauigkeitsbetrachtungen gewählt wird. Damit wird nun, in einer gewissen Arbeitsgenauigkeit,   berechnet und  -fach quadriert:  .   wird nun auf die gewünschte Genauigkeit reduziert und als   zurückgegeben.

Effizientere Verfahren setzen voraus, dass  , besser zusätzlich   und   (Arnold Schönhage) in beliebiger (nach Spezifikation auftretender) Arbeitsgenauigkeit verfügbar sind. Dann können die Identitäten

  oder  

benutzt werden, um   auf ein   aus dem Intervall   oder einem wesentlich kleineren Intervall zu transformieren und damit das aufwändigere Quadrieren zu reduzieren oder ganz zu vermeiden.

Hintergründe und BeweiseBearbeiten

MotivationBearbeiten

Auf die Exponentialfunktion stößt man, wenn man versucht, das Potenzieren auf beliebige reelle Exponenten zu verallgemeinern. Man geht dabei von der Rechenregel   aus und sucht daher eine Lösung der Funktionalgleichung   mit  . Nimmt man nun zunächst einmal an, dass eine Lösung tatsächlich existiert, und berechnet deren Ableitung, so stößt man auf den Ausdruck

 

Was bedeutet nun  ? Nennt man diesen Grenzwert  , so gilt für die durch

 

definierte Zahl   (bzw.  ,   muss dann also der Logarithmus zur Basis   sein) nach der Kettenregel formal

 

  erfüllt dann vermutlich

 

Wie kann man diese Zahl   berechnen? Setzt man rein formal   und löst die Gleichung

 , dann erhält man  . Für die Zahl
 

ist also zu vermuten, dass

 

gilt.

Für   erhält man mit   auch rein formal die Darstellung

 

also die eine Definition der Exponentialfunktion.

Alternativ kann man auch versuchen, die Funktion

 

in eine Taylorreihe zu entwickeln. Da per Induktion auch

 

gelten muss, also  , erhält man für die Taylorreihe an der Stelle  

 

also genau die andere Definition der Exponentialfunktion. Im Weiteren ist dann zu zeigen, dass die so definierte Exponentialfunktion tatsächlich die gewünschten Eigenschaften hat.

Konvergenz der FolgendarstellungBearbeiten

Die für die Definition der Exponentialfunktion verwendete Folge

 

ist für reelle   punktweise konvergent, da sie erstens ab einem gewissen Index monoton steigend und zweitens nach oben beschränkt ist.

Beweis der MonotonieBearbeiten

Aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel folgt für  

 

die Folge ist daher für fast alle   monoton steigend.

Beweis der BeschränktheitBearbeiten

Aus der Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel folgt für  

 

Für   und   ist die Folge daher für alle   beschränkt:

 

Für   und   gilt offensichtlich die Schranke

 

FunktionalgleichungBearbeiten

Da   und   konvergieren, konvergiert auch deren Produkt

 

Ist nun  , so liefert die bernoullische Ungleichung für hinreichend große  

 ;

für   erhält man aus der einfach zu zeigenden Ungleichung   für   und ebenfalls der bernoullischen Ungleichung für hinreichend große  

 

die Exponentialfunktion erfüllt also tatsächlich die Funktionalgleichung  .

UngleichungenBearbeiten

Abschätzung nach untenBearbeiten

Für reelle   lässt sich die Exponentialfunktion mit

 

nach unten abschätzen. Der Beweis ergibt sich aus der Definition

 

und der Tatsache, dass   für hinreichend große  . Da die Folge monoton wachsend ist, ist der Grenzwert daher echt größer Null.

Diese Abschätzung lässt sich zur wichtigen Ungleichung

 

verschärfen. Für   folgt sie aus  , für   ergibt sich der Beweis beispielsweise, indem man die bernoullische Ungleichung auf die Definition

 

anwendet. Eine Anwendung dieser Ungleichung ist der Polya-Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel. Allerdings erleichtert die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die Untersuchung der Folge   sehr; um daher einen Zirkelschluss zu vermeiden, benötigt der Polya-Beweis Herleitungen der Exponentialfunktion, die ohne Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel auskommen.

Abschätzung nach obenBearbeiten

Setzt man in der Abschätzung   nach unten   statt   ein und verwendet  , so erhält man durch Umstellen der Ungleichung die für alle   gültige Abschätzung nach oben  .

Ableitung der ExponentialfunktionBearbeiten

Die wichtigste Anwendung dieser beiden Abschätzungen ist die Berechnung der Ableitung der Exponentialfunktion an der Stelle 0:

 

Gemeinsam mit der Funktionalgleichung   folgt daraus die Ableitung der Exponentialfunktion für beliebige reelle Zahlen:

 

Wachstum der e-Funktion im Vergleich zu PolynomfunktionenBearbeiten

Oft wird die Aussage benötigt, dass die Exponentialfunktion wesentlich stärker wächst als jede Potenzfunktion, d. h.

 

Für   ist dies klar, für   kann entweder induktiv die Regel von de l’Hospital benutzt werden, oder auch elegant abgeschätzt werden:

Zunächst gilt

 

Wegen   gilt

 

Dies konvergiert gegen   und somit der obige Grenzwert gegen 0.

BasiswechselBearbeiten

Wie bereits zuvor erwähnt, gilt

 

Beweis: Nach Definition des Logarithmus ist   äquivalent zu  , woraus die Identität   folgt. Ersetzen von   durch   liefert

 

wobei im zweiten Schritt die Logarithmus-Rechenregel für Potenzen angewendet wurde.

Die Differentialgleichung der ExponentialfunktionBearbeiten

Will man die einfache Differentialgleichung:   lösen und setzt noch   voraus, so erhält man daraus eine Definition von  .

UmkehrfunktionBearbeiten

Setzt man   nicht voraus, so benutzt man die Umkehrfunktion   von

 

Denn  , und nach den Eigenschaften der Logarithmusfunktion ist

 

und man kann die Umkehrfunktion bilden und erhält

 

Da die untere Grenze gleich 1 ist, ist   und bei der Umkehrfunktion   nach Eigenschaft der Umkehrfunktion:  .

DifferentialgleichungBearbeiten

 
Die Differentialgleichung y = y′ beschreibt den Zusammen­hang einer Größe y mit ihrem Wachstum y′ : beide sind gleich groß. Daher wächst y umso schneller, je größer es bereits ist. Die Grafik zeigt exempla­risch vier Lösungen dieser Diffe­ren­tial­gleichung, wobei die Exponen­tial­funktion ex rot dar­ge­stellt ist.

Erweitert man die Differentialgleichung auf   für   und löst sie, so erhält man für   die Form

 

Speziell für   ist

 

Ist dann   eine Lösung und  , dann ist

 

und nach Voraussetzung

 

Für beliebiges   führen wir

 

ein. Es ergibt sich

 

und nach Voraussetzung wieder

 

BeispieleBearbeiten

Man besitzt nun ein mächtiges Instrument zur Beschreibung von Vorgängen in der Physik und Chemie, wo man mittels eines Ansatzes vom Typ   ein die Exponentialfunktion enthaltendes Ergebnis der Form   erhält.

PhysikBearbeiten

Als Beispiele für das häufige Auftreten der Exponentialfunktion in der Physik seien genannt:

ChemieBearbeiten

Als ein Beispiel in der Chemie sei hier eine einfache chemische Reaktion skizziert. Es wird angenommen, dass wir die Lösung eines Stoffes vorliegen haben, etwa Rohrzucker in Wasser. Der Rohrzucker werde nun durch einen Katalysator zu Invertzucker umgewandelt (hydrolysiert). Bei dieser einfachen chemischen Reaktion wird man das Geschwindigkeitsgesetz (unter Vernachlässigung der Rückreaktion) wie folgt formulieren:

Die Reaktionsgeschwindigkeit als Funktion der Zeit ist proportional zur noch vorhandenen Menge der sich umwandelnden Substanz.

Bezeichnen wir die Menge des zur Zeit   noch nicht umgewandelten Rohrzuckers mit  , so ist die Reaktionsgeschwindigkeit  , und nach dem oben formulierten Geschwindigkeitsgesetz gilt die Gleichung

 

mit einer reaktionsspezifischen Geschwindigkeitskonstante  . Aus diesem Momentangesetz erhält man nach obiger Differentialgleichung ein Integralgesetz, welches uns die Menge   des übriggebliebenen Rohrzuckers als Funktion der Zeit liefert:

 

wobei die Konstante   die zur Zeit   vorhandene Menge bezeichnet. Die chemische Reaktion nähert sich also asymptotisch ihrem Endzustand   an, der völligen Umwandlung von Rohrzucker in Invertzucker. (Die Vernachlässigung der Rückreaktion ist hier akzeptabel, da das chemische Gleichgewicht der Rohrzucker-Hydrolyse sehr stark auf Seiten des Invertzuckers liegt).

BiologieBearbeiten

exponentielles Wachstum einer Population von z. B. Mikroorganismen.

Siehe auch: r-Strategie

StochastikBearbeiten

Gleiche Anzahl von Münzen und Empfängern

Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, zufällig keine, eine oder mehr Münzen zu erhalten, wenn   Münzen zufällig auf   Empfänger verteilt werden und   sehr groß ist?

Die Definitionsformel für die Exponentialfunktion

 ,

die daraus abgeleitete Näherungsformel

 

und die eulersche Zahl   erlauben eine einfache Abschätzung.

Die Wahrscheinlichkeit, bei der ersten Verteilung eine Münze zu erhalten, beträgt   und  , keine Münze zu erhalten. Die Wahrscheinlichkeit, zweimal keine Münze zu erhalten, beträgt:  . Folglich ist die Wahrscheinlichkeit,  -mal erfolglos zu sein:

 

Die Wahrscheinlichkeit, nur einmal Erfolg zu haben, ist das Produkt aus Misserfolgen, Erfolg und der Kombinationsmöglichkeiten  , wann sich der Erfolg einstellt (beim ersten Mal, oder zweiten oder dritten …):

 

Die Wahrscheinlichkeit, mehr als eine Münze zu erhalten, lautet entsprechend:

 
Mehr Münzen als Empfänger

Wie viele Münzen   müssen es sein, um die Wahrscheinlichkeit  , keine zu erhalten, zu verringern, beispielsweise auf 0,1 statt 0,37? Aus obiger Näherungsformel folgt:

 

Oder anders gefragt: Wie viele Münzen   müssen es mehr sein als Empfänger  ?

 

Damit im Mittel nur 10 % der Empfänger leer ausgehen, ist die 2,3-fache Menge an Münzen erforderlich, bei 1 % fast die 5-fache Anzahl.

 
Logarithmische Darstellung des Nominalwerts des Euro

WirtschaftBearbeiten

  • Stetige Verzinsung
  • Die Stückelung folgt üblicherweise einer exponentiellen Gesetzmäßigkeit beim Anstieg des Wertes. Am Beispiel des Euro ist zu den Punkten für jede Münze oder Banknote eine Ausgleichsgerade dargestellt. Die geringen Abweichungen von dieser Geraden folgen aus der Forderung nach „runden“ Zahlen, die mit nur einer signifikanten Stelle exakt anzugeben sind (nicht zu verwechseln mit glatten Zahlen).

VerallgemeinerungenBearbeiten

Wenn   eine Größe ist, deren Potenzen   für beliebiges nicht-negatives ganzzahliges   existieren, und wenn der Grenzwert existiert, ist es sinnvoll, die abstrakte Größe   durch die oben angegebene Exponentialreihe zu definieren. Ähnliches gilt für Operatoren  , die, einschließlich ihrer Potenzen, eine lineare Abbildung eines Definitionsbereichs   eines abstrakten Raumes   (mit Elementen  ) in einen Wertebereich   der reellen Zahlen ergeben: Hier ist es sogar für alle reellen   sinnvoll, in ganz   (genauer: im zugehörigen Abschlussbereich) Exponentialoperatoren   durch den Ausdruck   zu definieren, wobei die Konvergenz dieses Ausdrucks zunächst offenbleibt.

Iteration der Exponentiation führt auf die Verallgemeinerte Exponentialfunktion, die in der Gleitkomma-Arithmetik verwendet wird.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Christian Blatter, Analysis II. 1. Auflage, Springer Verlag 1974, ISBN 3-540-06914-3, Kap. 18, § 182, Potenzreihen
  2. Konrad Knopp. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Auflage, Springer Verlag 1964, ISBN 3-540-03138-3. S 175, 98 Satz 2 für den reellen und S 418 für den komplexen Fall

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten