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Die punktweise Konvergenz ist in der Analysis ein Konvergenzbegriff für Funktionenfolgen. Eine Funktionenfolge konvergiert punktweise gegen eine Funktion wenn für alle Stellen ("Punkte") aus dem gemeinsamen Definitionsbereich die Folge gegen konvergiert.

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DefinitionBearbeiten

Gegeben sei eine Funktionenfolge  ,  . Die Funktionenfolge heißt punktweise konvergent gegen eine Funktion  , wenn für alle   gilt

 .

Man schreibt dann

 

oder

 .

Formal konvergiert   also genau dann punktweise gegen  , wenn

 ,

das heißt, es muss für jedes   und für jedes   eine natürliche Zahl   geben, so dass für alle   gilt:  .

BeispielBearbeiten

Zum Beispiel konvergiert die Folge   mit

 

im Intervall   punktweise gegen die Funktion   mit

 

denn offenbar gilt

 

AbgrenzungBearbeiten

Es ist allerdings zu beachten, dass punktweise Konvergenz nicht gleichbedeutend mit gleichmäßiger Konvergenz ist, da z. B. das oben genannte Beispiel zwar punktweise, keineswegs aber gleichmäßig konvergiert (so ist jedes Glied der Folge überall stetig differenzierbar, die Grenzfunktion allerdings nicht einmal stetig): Gleichmäßige Konvergenz ist eine wesentlich stärkere Aussage.

Eine Abschwächung der punktweisen Konvergenz ist die punktweise Konvergenz μ-fast überall.

Für punktweise Konvergenz müssen die Werte der Funktionen   nicht unbedingt reelle Zahlen sein, sie können Elemente irgendeines topologischen Raumes sein.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten