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Eulersche Zahl

Basis des natürlichen Logarithmus

Die Eulersche Zahl, mit dem Symbol bezeichnet, ist eine Konstante, die in der gesamten Analysis und allen damit verbundenen Teilgebieten der Mathematik, besonders in der Differential- und Integralrechnung, eine zentrale Rolle spielt. Ihr numerischer Wert beträgt [1] Die Zahl ist eine transzendente und somit auch irrationale reelle Zahl. Sie ist die Basis des natürlichen Logarithmus und der (natürlichen) Exponentialfunktion. In der angewandten Mathematik spielt die Exponentialfunktion und somit eine bedeutende Rolle bei der Beschreibung von Vorgängen wie dem radioaktiven Zerfall und dem natürlichen Wachstum. Es gibt zahlreiche äquivalente Definitionen von , die bekannteste lautet:

Sie wurde nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler benannt,[2] der zahlreiche Eigenschaften von beschrieb. Gelegentlich wird sie auch nach dem schottischen Mathematiker John Napier als Napiers Konstante bezeichnet. Sie gehört zu den wichtigsten Konstanten der Mathematik.

DefinitionBearbeiten

Die Zahl   wurde von Leonhard Euler als der Grenzwert der folgenden unendlichen Reihe definiert:[3]

 

Für   ist dabei   die Fakultät von  , also im Falle   das Produkt   der natürlichen Zahlen von   bis  , während   definiert ist.

Wie schon Euler bewies, erhält man die Eulersche Zahl   ebenfalls als funktionalen Grenzwert:[4]

 ,

was insbesondere bedeutet, dass er sich auch als Grenzwert der Folge   mit   ergibt:

 .

Dem liegt zugrunde, dass

 

gilt,   also der Funktionswert der Exponentialfunktion (oder auch „ -Funktion“) an der Stelle   ist. Die obige Reihendarstellung von   ergibt sich in diesem Zusammenhang dadurch, dass man die Taylorreihe der Exponentialfunktion um die Entwicklungsstelle   an der Stelle   auswertet.

Ein alternativer Zugang zur Definition der Eulerschen Zahl ist derjenige über Intervallschachtelungen, etwa in der Weise, wie es in Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen von Konrad Knopp dargestellt wird. Danach gilt für alle  :[5]

 .

Herkunft des Symbols eBearbeiten

Als frühestes Dokument, das die Verwendung des Buchstabens   für diese Zahl durch Leonhard Euler aufweist, gilt ein Brief Eulers an Christian Goldbach vom 25. November 1731. Als nächste gesicherte Quelle für die Verwendung dieses Buchstabens gilt Eulers Werk Mechanica sive motus scientia analytice exposita, II aus dem Jahre 1736.[5]

In der im Jahre 1748 erschienenen Introductio in Analysin Infinitorum greift Euler diese Bezeichnung wieder auf.[6]

Es gibt keine Hinweise darauf, dass diese Wahl des Buchstabens   in Anlehnung an seinen Namen geschah. Unklar ist auch, ob er dies in Anlehnung an die Exponentialfunktion oder aus praktischen Erwägungen der Abgrenzung zu den viel benutzten Buchstaben a, b, c oder d machte. Obwohl auch andere Bezeichnungen in Gebrauch waren, etwa c in d’Alemberts Histoire de l’Académie, hat sich   durchgesetzt.

Im Formelsatz wird   nach DIN 1338 und ISO 80000-2 nicht kursiv gesetzt, um die Zahl von einer Variablen zu unterscheiden.[7] Allerdings ist auch die kursive Schreibweise verbreitet.

EigenschaftenBearbeiten

Die Eulersche Zahl   ist eine transzendente (Beweis nach Charles Hermite, 1873) und damit irrationale Zahl (Beweis). Sie lässt sich also (wie auch die Kreiszahl   nach Ferdinand von Lindemann 1882) weder als Bruch zweier natürlicher Zahlen noch als Lösung einer algebraischen Gleichung darstellen und besitzt folglich eine unendliche nichtperiodische Dezimalbruchentwicklung. Das Irrationalitätsmaß von   ist 2 und somit so klein wie möglich für eine irrationale Zahl, insbesondere ist   nicht liouvillesch. Es ist nicht bekannt, ob   zu irgendeiner Basis normal ist.[8]

In der Eulerschen Identität

 

werden fundamentale mathematische Konstanten in Zusammenhang gesetzt: Die ganze Zahl 1, die Eulersche Zahl  , die imaginäre Einheit   der komplexen Zahlen und die Kreiszahl  .

Die Eulersche Zahl   ist die durch

 

eindeutig bestimmte positive reelle Zahl  .

Sie tritt auch in der asymptotischen Abschätzung der Fakultät auf (siehe Stirlingformel):[9]

 

Es gilt mit der Cauchy-Produktformel der jeweils absolut konvergenten Reihen:

  mit der Produktreihe  .

Geometrische InterpretationBearbeiten

Eine geometrische Interpretation der Eulerschen Zahl liefert die Integralrechnung. Danach ist   diejenige eindeutig bestimmte Zahl  , für die der Inhalt der Fläche unterhalb des Funktionsgraphen der reellen Kehrwertfunktion   im Intervall   exakt gleich   ist:[10]

 

Weitere Darstellungen für die Eulersche ZahlBearbeiten

Die Eulersche Zahl lässt sich auch durch

 

oder durch den Grenzwert des Quotienten aus Fakultät und Subfakultät beschreiben:

 

Eine Verbindung zur Verteilung der Primzahlen wird über die Formeln

 
 

deutlich, wobei   die Primzahlfunktion und das Symbol   das Primorial der Zahl   bedeutet.

Auch eher von exotischem Reiz als von praktischer Bedeutung ist die catalansche Darstellung

 

KettenbruchentwicklungenBearbeiten

Im Zusammenhang mit der Zahl   gibt es spätestens seit dem Erscheinen von Leonhard Eulers Introductio in Analysin Infinitorum im Jahre 1748 eine große Anzahl Kettenbruchentwicklungen für   und aus   ableitbare Größen.

So hat Euler die folgende klassische Identität für   gefunden:

 

Die Identität (1) weist offenbar ein regelmäßiges Muster auf, das sich bis ins Unendliche fortsetzt. Sie gibt einen regulären Kettenbruch wieder, der von Euler aus dem folgenden abgeleitet wurde:[11]

 

Letzterer Kettenbruch ist seinerseits ein Spezialfall des folgenden mit  :

       

Eine andere klassische Kettenbruchentwicklung, die jedoch nicht regelmäßig ist, stammt ebenfalls von Euler:[12]

 [13]

Auf Euler und Ernesto Cesàro geht eine weitere Kettenbruchentwicklung der Eulerschen Zahl zurück, die von anderem Muster als in (1) ist:[14]

 

Im Zusammenhang mit der Eulerschen Zahl existiert darüber hinaus eine große Anzahl von allgemeinen kettenbruchtheoretischen Funktionalgleichungen. So nennt Oskar Perron als eine von mehreren die folgende allgemein gültige Darstellung der  -Funktion:[14]

       

Ein weiteres Beispiel hierfür ist die von Johann Heinrich Lambert stammende Entwicklung des Tangens hyperbolicus, die zu den lambertschen Kettenbrüchen gerechnet wird:[15][16]

       

Erst 2019 wurde mit Hilfe eines Computerprogrammes, das nach Srinivasa Ramanujan als Ramanujan-Maschine benannt wurde, letztlich basierend auf einer Trial-and-error-Methode, durch ein Team um Gal Raayoni am Technion eine weitere und bisher unbekannte Kettenbruchentwicklung für die Eulersche Zahl gefunden. Gegenüber allen bisher bekannten Kettenbruchentwicklungen, die alle von einer beliebigen ganzzahligen Zahl, die kleiner als die Eulersche Zahl ist, aufsteigen, handelt es sich hier erstmals um einen, der von der ganzen Zahl 3, einer ganzen Zahl, die größer ist als die Eulersche Zahl, absteigt.[17] Allein die Auffindung eines (einzigen) solchen absteigenden Kettenbruchs von einer ganzen Zahl größer als die Eulersche Zahl (3 > e) legt die Vermutung nahe, dass es unendlich viele solcher absteigenden Kettenbrüche von ganzen Zahlen n mit n > e gibt, die ebenfalls auf die Eulersche Zahl führen.

 

Anschauliche Interpretationen der Eulerschen ZahlBearbeiten

ZinseszinsrechnungBearbeiten

Das folgende Beispiel macht die Berechnung der Eulerschen Zahl nicht nur anschaulicher, sondern es beschreibt auch die Geschichte der Entdeckung der Eulerschen Zahl: Ihre ersten Stellen wurden von Jakob I Bernoulli bei der Untersuchung der Zinseszinsrechnung gefunden.

Den Grenzwert der ersten Formel kann man folgendermaßen deuten: Jemand zahlt am 1. Januar einen Euro auf der Bank ein. Die Bank garantiert ihm eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz   pro Jahr. Wie groß ist sein Guthaben am 1. Januar des nächsten Jahres, wenn er die Zinsen zu gleichen Bedingungen anlegt?

Nach der Zinseszinsformel wird aus dem Startkapital   nach   Verzinsungen mit Zinssatz   das Kapital

 

In diesem Beispiel sind   und  , wenn der Zinszuschlag jährlich erfolgt, oder  , wenn der Zinszuschlag  -mal im Jahr erfolgt, also bei unterjähriger Verzinsung.

Bei jährlichem Zuschlag wäre

 

Bei halbjährlichem Zuschlag hat man  ,

 

also schon etwas mehr. Bei täglicher Verzinsung   erhält man

 

Wenn die Verzinsung kontinuierlich in jedem Augenblick erfolgt, wird   unendlich groß, und man bekommt die oben angegebene erste Formel für  .

WahrscheinlichkeitsrechnungBearbeiten

  ist auch häufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie anzutreffen: Beispielsweise sei angenommen, dass ein Bäcker für jedes Brötchen eine Rosine in den Teig gibt und diesen gut durchknetet. Danach enthält statistisch gesehen jedes  -te Brötchen keine Rosine. Die Wahrscheinlichkeit  , dass bei   Brötchen keine der   Rosinen in einem fest gewählten ist, ergibt im Grenzwert für   (37%-Regel):

 

Charakterisierung der Eulerschen Zahl nach SteinerBearbeiten

Im vierzigsten Band von Crelles Journal aus dem Jahre 1850 gibt der Schweizer Mathematiker Jakob Steiner eine Charakterisierung der Eulerschen Zahl  , wonach   als Lösung einer Extremwertaufgabe verstanden werden kann. Steiner zeigte nämlich, dass die Zahl   charakterisierbar ist als diejenige eindeutig bestimmte positive reelle Zahl, die beim Wurzelziehen mit sich selbst die größte Wurzel liefert. Wörtlich schreibt Steiner: „Wird jede Zahl durch sich selbst radicirt, so gewährt die Zahl e die allergrößte Wurzel.“[18]

Steiner behandelt hier die Frage, ob für die Funktion

 

das globale Maximum existiert und wie es zu bestimmen ist. Seine Aussage ist, dass es existiert und dass es angenommen wird in und nur in  .

In seinem Buch Triumph der Mathematik gibt Heinrich Dörrie eine elementare Lösung dieser Extremwertaufgabe. Sein Ansatz geht von der folgenden wahren Aussage über die reelle Exponentialfunktion aus:

 

Nach der Substitution   folgt für alle reellen Zahlen  

 

mittels einfacher Umformungen weiter

 

und schließlich für alle positiven   durch Radizieren

 [19][20]

BruchnäherungenBearbeiten

Für die Zahl   und daraus abgeleitete Größen gibt es verschiedene näherungsweise Darstellungen mittels Brüchen. So fand Charles Hermite die folgenden Bruchnäherungen:

 
 

Hier weicht der erstgenannte Bruch um weniger als 0,0003 Prozent von   ab.[21]

Die optimale Bruchnäherung im dreistelligen Zahlenbereich, also die optimale Bruchnäherung   mit  , ist

 .[22]

Diese Näherung ist jedoch nicht die beste Bruchnäherung im Sinne der Forderung, dass der Nenner höchstens dreistellig sein soll. Die in diesem Sinne beste Bruchnäherung ergibt sich als 9. Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung der Eulerschen Zahl:

 

Aus den Näherungsbrüchen der zu   gehörenden Kettenbruchentwicklungen (s. o.) ergeben sich Bruchnäherungen beliebiger Genauigkeit für   und daraus abgeleitete Größen. Mit diesen findet man sehr effizient beste Bruchnäherungen der Eulerschen Zahl in beliebigen Zahlenbereichen. So erhält etwa im fünfstelligen Zahlenbereich die beste Bruchnäherung

 ,

die zeigt, dass die von Charles Hermite für die Eulersche Zahl im fünfstelligen Zahlenbereich gefundene Bruchnäherung noch nicht optimal war.

In gleicher Weise hat etwa C. D. Olds gezeigt, dass durch die Näherung

 

für die Eulersche Zahl eine weitere Verbesserung, nämlich

 ,

zu erzielen ist.[23]

Insgesamt beginnt die Folge der besten Näherungsbrüche der Eulerschen Zahl, die sich aus ihrer regelmäßigen Kettenbruchdarstellung ergeben, folgendermaßen:[24]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Berechnung der NachkommastellenBearbeiten

Zur Berechnung der Nachkommastellen wird meist die Reihendarstellung

 

ausgewertet, die schnell konvergiert. Wichtig bei der Implementierung ist dabei Langzahlarithmetik, damit die Rundungsfehler nicht das Ergebnis verfälschen. Ein Verfahren, das ebenfalls auf dieser Formel beruht, aber ohne aufwendige Implementierung auskommt, ist der Tröpfelalgorithmus zur Berechnung der Nachkommastellen von  , den A. H. J. Sale fand.[25]

Entwicklung der Anzahl der bekannten Nachkommastellen von eBearbeiten

Datum Anzahl Mathematiker
1748 23 Leonhard Euler[26]
1853 137 William Shanks
1871 205 William Shanks
1884 346 J. Marcus Boorman
1946 808 ?
1949 2.010 John von Neumann (berechnet auf dem ENIAC)
1961 100.265 Daniel Shanks und John Wrench
1981 116.000 Steve Wozniak (berechnet mithilfe eines Apple II)
1994 10.000.000 Robert Nemiroff und Jerry Bonnell
Mai 1997 18.199.978 Patrick Demichel
August 1997 20.000.000 Birger Seifert
September 1997 50.000.817 Patrick Demichel
Februar 1999 200.000.579 Sebastian Wedeniwski
Oktober 1999 869.894.101 Sebastian Wedeniwski
21. November 1999 1.250.000.000 Xavier Gourdon
10. Juli 2000 2.147.483.648 Shigeru Kondo und Xavier Gourdon
16. Juli 2000 3.221.225.472 Colin Martin und Xavier Gourdon
2. August 2000 6.442.450.944 Shigeru Kondo und Xavier Gourdon
16. August 2000 12.884.901.000 Shigeru Kondo und Xavier Gourdon
21. August 2003 25.100.000.000 Shigeru Kondo und Xavier Gourdon
18. September 2003 50.100.000.000 Shigeru Kondo und Xavier Gourdon
27. April 2007 100.000.000.000 Shigeru Kondo und Steve Pagliarulo
6. Mai 2009 200.000.000.000 Shigeru Kondo und Steve Pagliarulo
20. Februar 2010 500.000.000.000 Alexander Yee[27]
5. Juli 2010 1.000.000.000.000 Shigeru Kondo[27]
24. Juni 2015 1.400.000.000.000 Ellie Hebert[27]
14. Februar 2016 1.500.000.000.000 Ron Watkins[27]
29. Mai 2016 2.500.000.000.000 „yoyo“ – unverifizierte Kalkulation[27]
29. August 2016 5.000.000.000.000 Ron Watkins[27]
3. Januar 2019 8.000.000.000.000 Gerald Hofmann[28]
8. Februar 2019 12.000.000.000.000 Jochen Berg – unverifizierte Kalkulation[29]

LiteraturBearbeiten

  • Brian J. McCartin: e: The Master of All. Mathematical Intelligencer, Band 28, 2006, Nr. 2, S. 10–21. Der Artikel erhielt den Chauvenet-Preis. mathdl.maa.org
  • Heinrich Dörrie: Triumph der Mathematik. Hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur. 5. Auflage. Physica-Verlag, Würzburg 1958.
  • Leonhard Euler: Einleitung in die Analysis des Unendlichen. Erster Teil der Introductio in Analysin Infinitorum. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1983, ISBN 3-540-12218-4 (MR0715928 – Reprint der Ausgabe Berlin 1885).
  • Ernst Hairer, Gerhard Wanner: Analysis in historischer Entwicklung. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-13766-2.
  • Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin / Göttingen / Heidelberg / New York 1964, ISBN 3-540-03138-3 (MR0183997).
  • Eli Maor: e: the Story of a Number. Princeton University Press, Princeton 1994, ISBN 978-0-691-14134-3.
  • Eli Maor: Die Zahl e: Geschichte und Geschichten. Birkhäuser Verlag, Basel (u. a.) 1996, ISBN 3-7643-5093-8.
  • C. D. Olds: The simple continued fraction expansion of e. In: American Mathematical Monthly. Band 77, 1971, S. 968–974.
  • Oskar Perron: Irrationalzahlen. Nachdruck der 2., durchgesehenen Auflage (Berlin, 1939). 4. durchgesehene und ergänzte. Walter de Gruyter Verlag, Berlin 2011, ISBN 978-3-11-083604-2, doi:10.1515/9783110836042.fm.
  • Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen – Band II: Analytisch-funktionentheoretische Kettenbrüche. Reprografischer Nachdruck der dritten, verbesserten und durchgesehenen Auflage, Stuttgart 1957. 4. durchgesehene und ergänzte. Teubner Verlag, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02022-X.
  • J. Steiner: Über das größte Product der Theile oder Summanden jeder Zahl. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 40, 1850, S. 208 (gdz.sub.uni-goettingen.de).
  • David Wells: Das Lexikon der Zahlen. Aus dem Englischen von Dr. Klaus Volkert. Originaltitel: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Fischer Taschenbuch Verlag, Frankfurt/Main 1990, ISBN 3-596-10135-2.

WeblinksBearbeiten

Einzelnachweise und FußnotenBearbeiten

  1. Folge A001113 in OEIS
  2. Man beachte: Die Eulersche Zahl ist nicht identisch mit der Euler-Mascheroni-Konstante  , die in manchen Quellen den ähnlich klingenden Namen Eulersche Konstante hat.
  3. Euler: Einleitung … (§ 122). S. 226–227.
  4. Euler: Einleitung … (§§ 123,125). S. 91–94.
  5. a b Knopp: Theorie und Anwendung… (§ 9). S. 84.
  6. Euler: Einleitung … (§ 122). S. 91. Euler schreibt (gemäß der Übersetzung von Hermann Maser) dazu: „Wir werden nun in der Folge der Kürze wegen für diese Zahl   stets den Buchstaben   gebrauchen, so dass also   die Basis der natürlichen oder hyperbolischen Logarithmen bedeutet, […], oder es soll   stets die Summe der unendlichen Reihe   bezeichnen.“
  7. Hans F. Ebel, Claus Bliefert, Walter Greulich: Schreiben und Publizieren in den Naturwissenschaften. 5. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim, ISBN 3-527-66027-5.
  8. Richard George Stoneham: A general arithmetic construction of transcendental non-Liouville normal numbers from rational fractions. (PDF; 692 kB) In: Acta Arithmetica, 16, 1970, S. 239–253.
  9. Die Stirling-Formel. (PDF; 76 kB) In: James Stirling: Methodus Differentialis. 1730, S. 1.
  10. Ernst Hairer, Gerhard Wanner: Analysis in historischer Entwicklung. 2011, S. 41.
  11. Perron: Irrationalzahlen. S. 115.
  12. Euler, S. 305.
  13. Folge A073333 in OEIS
  14. a b Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Band II, S. 19.
  15. Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Band II, S. 157.
  16. Man beachte die Verbindung zu Identität (3)!
  17. Gal Raayoni et al: The Ramanujan Machine: Automatically Generated Conjectures on Fundamental Constants. arxiv:1907.00205, revidierte Fassung vom 23. Juli 2019 abgerufen am 28. Juli 2019.
  18. Über das größte Product der Theile oder Summanden jeder Zahl. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 40, 1850, S. 208.
  19. Dörrie, S. 358.
  20. Man kann diese Aufgabe auch mit den bei der Kurvendiskussion in der Differentialrechnung angewandten Methoden lösen.
  21. Maor, S. 185.
  22. Wells, S. 46.
  23. Olds: The simple continued fraction expansion of e. In: Amer. Math. Monthly. 1971, S. 973.
  24. Siehe: Folge A007676 in OEIS (Zähler) / Folge A0A007677 in OEIS (Nenner).
  25. A. H. J. Sale: The Calculation of e to Many Significant Digits. In: The Computer Journal. Band 11, Nr. 2, August 1968, S. 229–230, doi:10.1093/comjnl/11.2.229.
  26. Leonhardo Eulero: Introductio in analysin infinitorum. Band 1, Marcus-Michaelis Bousquet und socii, Lausannæ 1748 (lateinisch; „2,71828182845904523536028“ auf books.google.de S. 90).
  27. a b c d e f numberworld.org
  28. Alexander J. Yee: e. 16. Februar 2019, abgerufen am 21. Oktober 2019 (englisch).
  29. Alexander J. Yee: eulersche. 8. Februar 2019, abgerufen am 11. Februar 2019 (englisch).