Periodische Folge

Eine periodische Folge ist ein Begriff aus der Mathematik. Bei dieser bestimmten Klasse von Folgen wiederholen sich die Folgeglieder nach einer bestimmten Periodenlänge.

Definition

Eine Folge $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ heißt periodisch, wenn es natürliche Zahlen $d$ und $N$ gibt, so dass

$a_{n}=a_{n+d}$

für alle $n>N$ gilt. Im Fall $N=0$ heißt die Folge reinperiodisch oder streng periodisch. Die minimale Zahl $d$ mit obiger Eigenschaft wird Periodenlänge genannt.

Beispiel

Sei $a_{0}=1$ und $a_{n+1}=2a_{n}{\bmod {1}}00$ für $n\geq 0$, wobei ${}{\bmod {}}$ der Modulo-Operator ist.

Anschaulich ist $a_{n}$ die aus den letzten beiden Ziffern der Dezimaldarstellung von $2^{n}$ gebildete Zahl. Diese Folge beginnt mit den Werten

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, 4 …

Danach wiederholen sich diese Werte.

Betrachtet man ganz allgemein eine rekursiv definierte Folge, also eine Folge, die durch $a_{n+1}=f(a_{n})$ für eine feste Funktion $f$ definiert ist, und nimmt $f$ nur endlich viele Werte an, dann ist die Folge $a_{i}$ immer periodisch.

Periodische Ziffernfolgen

Es sei $b>1$ eine feste natürliche Zahl. Sind $p$ und $q$ natürliche Zahlen, so wird die Folge der Nachkommastellen der $b$-adischen Darstellung von ${\tfrac {p}{q}}$ nach dem obigen Prinzip schließlich periodisch, weil sie iterativ durch die Reste bei der Division bestimmt wird, und diese Reste können nur die endlich vielen Werte $0,1,\ldots ,b-1$ annehmen.

Also ist eine reelle Zahl genau dann rational, wenn sie eine periodische $b$-adische Darstellung hat. Bei $b=10$ ist das die Dezimalbruchdarstellung.