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Das Intervallschachtelungsprinzip wird besonders in der Analysis in Beweisen benutzt und bildet in der numerischen Mathematik die Grundlage für einige Lösungsverfahren.

Das Prinzip ist Folgendes: Man fängt mit einem beschränkten Intervall an und wählt aus diesem Intervall ein abgeschlossenes Intervall, das komplett in dem vorherigen Intervall liegt, wählt dort wieder ein abgeschlossenes Intervall heraus und so weiter. Werden die Längen der Intervalle beliebig klein, konvergiert also ihre Länge gegen Null, so gibt es genau eine reelle Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist. Wegen dieser Eigenschaft können Intervallschachtelungen herangezogen werden, um mit ihnen die reellen Zahlen als Zahlbereichserweiterung der rationalen Zahlen zu konstruieren.[1]

Grundideen in Form des Arguments der vollständigen Teilung finden sich bereits bei Zenon von Elea und Aristoteles.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

 
die ersten 4 Glieder einer Intervallschachtelung

Seien   rationale oder reelle Zahlenfolgen,   monoton wachsend und   monoton fallend,   für alle  , und bilden die Differenzen   eine Nullfolge, also

 ,

dann wird die Folge   oder auch   der Intervalle   als Intervallschachtelung bezeichnet.[2]

Konstruktion der reellen ZahlenBearbeiten

Es gilt nun, dass es für jede Intervallschachtelung rationaler Zahlen höchstens eine rationale Zahl   gibt, die in allen Intervallen enthalten ist, die also   für alle   erfüllt.[3]

Es stimmt aber nicht, dass jede Intervallschachtelung rationaler Zahlen mindestens eine rationale Zahl   enthält; um eine solche Eigenschaft zu erhalten, muss man die Menge   der rationalen Zahlen zur Menge   der reellen Zahlen erweitern. Dies lässt sich beispielsweise mit Hilfe der Intervallschachtelungen durchführen. Dazu sagt man, jede Intervallschachtelung definiere eine wohlbestimmte reelle Zahl, also  .[4] Da Intervalle Mengen sind, kann zur Verdeutlichung des Schnitts aller Intervalle der Schachtelung auch geschrieben werden:  .

Die Gleichheit reeller Zahlen definiert man dann über die entsprechenden Intervallschachtelungen:   genau dann, wenn stets   und  .[5]

Auf analoge Weise lassen sich die Verknüpfungen reeller Zahlen als Verknüpfungen von Intervallschachtelungen definieren; beispielsweise ist die Summe zweier reeller Zahlen als

 

definiert.[6]

Dieses so definierte System hat nun die gewünschten Eigenschaften, insbesondere gilt nun, dass jede beliebige Intervallschachtelung rationaler Zahlen genau eine reelle Zahl enthält.[7]

Intervallschachtelungen sind aber nicht die einzige Möglichkeit zur Konstruktion der reellen Zahlen; insbesondere ist die Konstruktion als Äquivalenzklasse von Cauchy-Folgen weiter verbreitet. Weiterhin gibt es noch die Methode der Dedekindschen Schnitte.

Konvergenz der Grenzfolgen einer IntervallschachtelungBearbeiten

Sei   eine Intervallschachtelung, die die Zahl   definiert. Dann ist

 

Beweis: Sei ein beliebiges reelles   vorgegeben. Zum Nachweis der Konvergenz der Grenzfolgen   ist zu zeigen, dass nach Wahl eines geeignetes   für alle   beide Intervallgrenzen   in einer  -Umgebung von   liegen.

Da   eine Intervallschachtelung und daher  ,   eine Nullfolge ist, existiert ein   so, dass   für alle  .

Bildlich: Für alle   ist der Durchmesser der Intervalle der Schachtelung so klein, dass keine der Intervallgrenzen   mehr eine Grenze der  -Umgebung von   erreicht, wenn das betrachtete Intervall   enthalten soll.

Rechnung: Mit   ist  . Für   ist mit  :

  •  , wegen   ist insgesamt  ;
  •  , wegen   ist insgesamt  , q. e. d.

Weitere AnwendungenBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Konrad Knopp. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Auflage, Springer Verlag 1964, ISBN 3-540-03138-3.
  2. Konrad Knopp. ebenda, S. 21, Definition 11.
  3. Konrad Knopp. ebenda, S. 22, Satz 12.
  4. Konrad Knopp. ebenda, S. 27, Definition 13.
  5. Konrad Knopp. ebenda, S. 29, Definition 14B.
  6. Konrad Knopp. ebenda, S 31, Definition 16.
  7. Konrad Knopp. ebenda, S. 41, Satz 4.