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Cauchy-Folge

konzentrierte Fundamentalfolge
Beispiel einer Cauchy-Folge: der Abstand der Folgenglieder wird im Verlauf der Folge beliebig klein.
Beispiel einer Folge, die keine Cauchy-Folge ist: der Abstand der Folgenglieder wird im Verlauf der Folge nicht beliebig klein.

Eine Cauchy-Folge (bzw. Cauchyfolge), Cauchysche Folge oder Fundamentalfolge ist in der Mathematik eine Folge, bei der der Abstand der Folgenglieder im Verlauf der Folge beliebig klein wird. Cauchy-Folgen sind nach dem französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy benannt und von grundlegender Bedeutung für den Aufbau der Analysis.

Der Grenzwert einer Cauchy-Folge reeller Zahlen ist immer eine reelle Zahl. Der Grenzwert einer Cauchy-Folge rationaler Zahlen kann auch eine irrationale Zahl sein. Allgemein konvergieren genau dann alle Cauchy-Folgen von Elementen eines metrischen Raums, falls der Raum vollständig ist. Jeder unvollständige metrische Raum kann durch die Bildung von Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen vervollständigt werden.

Cauchy-Folgen von ZahlenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Eine Folge   rationaler oder reeller Zahlen heißt Cauchy-Folge oder Fundamentalfolge, wenn es zu jedem   einen Index   gibt, so dass ab diesem Index alle Folgenglieder weniger als   voneinander entfernt sind. Formal lässt sich diese Bedingung als

 

schreiben, wobei   den Betrag einer Zahl darstellt.

AnmerkungenBearbeiten

  • In der Definition kann   auch durch   und   auch durch   ersetzt werden.
  • Äquivalent zu dieser Definition kann man auch fordern, dass es zu jeder noch so kleinen positiven Zahl   ein Intervall der Länge   gibt, in dem fast alle Folgenglieder liegen.
  • Diese Definition entspricht weitgehend der Definition für konvergente Folgen, ohne jedoch den Begriff des Grenzwertes einer Folge zu benutzen. Cauchy-Folgen wurden daher früher auch als „in sich konvergente Folgen“ oder „konzentrierte Folgen“ bezeichnet.

BeispieleBearbeiten

  • Die Folge   ist eine Cauchy-Folge. Man kann nämlich zu einem beliebig vorgegebenen   ein   so wählen, dass   erfüllt ist. Sind nun   beliebig gewählt, dann gilt
 .
  • Die Folge   ist keine Cauchy-Folge. Sei dazu   gewählt und   eine beliebige natürliche Zahl. Dann kann man   und   wählen und es gilt immer[1]
 .

VollständigkeitBearbeiten

Es gibt Folgen rationaler Zahlen, deren Folgenglieder sich in der beschriebenen Weise häufen, ohne aber einen Grenzwert in der Menge der rationalen Zahlen zu haben. Ein Beispiel hierfür ist die Folge rationaler Zahlen mit der Bildungsvorschrift (siehe Heron-Verfahren)

 .

Diese Folge ist eine Cauchy-Folge, sie besitzt aber als Grenzwert die irrationale Zahl   und konvergiert daher innerhalb der Menge der rationalen Zahlen nicht. Die Problematik, dass in der Menge der rationalen Zahlen   viele Grenzwerte von Cauchy-Folgen nicht enthalten sind, führte zu der Idee der Vervollständigung des Zahlenbereichs auf die Menge   der reellen Zahlen.

Cauchy-Folgen in metrischen RäumenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Allgemeiner definiert man den Begriff der Cauchy-Folge für metrische Räume  , also beliebige Mengen  , auf denen eine Metrik   gegeben ist. Eine Folge   von Elementen in   heißt dann Cauchy-Folge, wenn

 

gilt.[2] Damit gibt es zu jedem reellen   einen Index  , so dass für alle natürlichen Zahlen   der Abstand der entsprechenden Folgenglieder   ist.

Eine dazu äquivalente geometrische Formulierung ist: Für jedes   gibt es einen Punkt   und einen Index  , so dass alle Folgenglieder ab   in der offenen Kugel   um den Punkt   mit Radius   liegen. Diese Version unterscheidet sich nur dadurch von der Konvergenzdefinition, dass hier der Mittelpunkt   vom Radius   abhängen darf, während bei der Konvergenz der Grenzwert   von   unabhängig sein muss.

VollständigkeitBearbeiten

Jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist auch eine Cauchy-Folge. Konvergiert nämlich eine Folge   gegen einen Grenzwert  , dann gibt es zu jedem   einen Index  , sodass   für alle   gilt. Mit der Dreiecksungleichung für metrische Räume folgt dann für alle  

 

und die Folge ist somit eine Cauchy-Folge. Die umgekehrte Richtung muss jedoch nicht notwendigerweise wahr sein, was letztendlich zur Einführung von vollständigen Räumen führte. In einem vollständigen Raum besitzt definitionsgemäß jede Cauchy-Folge einen Grenzwert und der Begriff der konvergenten Folge fällt mit dem Begriff der Cauchy-Folge zusammen. Jeder unvollständige metrische Raum kann jedoch durch die Bildung von Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen vervollständigt werden. Dabei werden zwei Cauchy-Folgen   und   von Elementen in   als äquivalent angesehen, wenn

 

oder, was dasselbe ist,

 .

Liegt der Grenzwert einer der beiden Folgen in  , dann auch der der anderen, und die beiden Grenzwerte sind gleich.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. Um einen Gegenbeweis zu führen, muss man die Definition umkehren:  .
  2. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 2005, S. 2.