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Zwischenwertsatz

Der Zwischenwertsatz besagt, dass jede stetige Funktion, die auf dem Intervall [a,b] definiert ist, alle Zwischenwerte zwischen f(a) und f(b) mindestens einmal annimmt.
Zwischenwertsatz: Sei eine auf definierte stetige Funktion mit , dann gibt es mindestens ein mit

In der reellen Analysis ist der Zwischenwertsatz ein wichtiger Satz über den Wertebereich von stetigen Funktionen.

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion , die auf einem abgeschlossenen Intervall stetig ist, jeden Wert zwischen und annimmt. Haben insbesondere und verschiedene Vorzeichen, so garantiert der Zwischenwertsatz die Existenz von mindestens einer Nullstelle von im abgeschlossenen Intervall . Dieser Sonderfall ist als Nullstellensatz von Bolzano bekannt und nach Bernard Bolzano benannt. Andererseits kann der Zwischenwertsatz aber auch aus dem Nullstellensatz hergeleitet werden. Die beiden Formulierungen sind also äquivalent.

SatzBearbeiten

Formulierung und Intuition hinter dem Zwischenwertsatz

Es sei   eine stetige reelle Funktion, die auf einem abgeschlossenen Intervall definiert ist. Dann existiert zu jedem   (falls  ) bzw.   (falls  ) ein   mit  . Anders formuliert bedeutet dies mit   und  , dass  .

BeweisBearbeiten

Der Beweis setzt voraus, dass die Grenzen des betrachteten abgeschlossenen Intervalls   endlich sind (gleichbedeutend:   ist auch beschränkt und somit kompakt.). Tatsächlich gilt der Zwischenwertsatz auch für unbeschränkte abgeschlossene Intervalle; die dann zu beweisenden Behauptungen finden sich im Abschnitt Verallgemeinerung dieses Artikels.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gelte  , und es sei  . - Die Funktion

 

ist (als Komposition zweiter stetiger Funktionen) stetig auf  .

Wegen   ist  , wegen   ist  , insgesamt also  

Zum Beweis der Behauptung ist hinreichend zu zeigen, dass   eine Nullstelle   hat, denn  .

Zum Nachweis der Existenz von   dient eine Folge von Intervallen   mit folgenden (zu beweisenden) Eigenschaften:

  • Sämtliche Glieder   respektieren die Ungleichungskette (1) (und schließen daher   ein).  
  •   ist eine Intervallschachtelung (und definiert genau ein  ).  
  •   ist eine Nullstelle von  .  

Eine Intervallfolge   sei rekursiv definiert mit   für das erste Intervall.

  ist der Mittelpunkt des  -ten Intervalls.

Die Grenzen des jeweils folgenden Intervalls   seien

für  :   und
für  :  .

zu (i): Mit (1) ist   nicht positiv,   nicht negativ.

Beim Übergang von   zu   wird genau eine der Intervallgrenzen   (bzw.  ) genau dann durch eine neue Grenze   ersetzt, wenn auch   nicht positiv (bzw. nicht negativ) ist.
Also[1] gilt   für     bzw.  , q.e.d.

zu (ii): Im   folgenden Intervall   ist die ersetzende Grenze   größer als eine ersetzte untere Grenze  , aber kleiner als eine ersetzte obere Grenze  , indem   der Intervallmittelpunkt von   ist. Da der Übergang von   zu   den Intervalldurchmesser   halbiert, ist der Intervalldurchmesser fast aller Folgeglieder kleiner als ein beliebig vorgegebener. (  ist eine Nullfolge.)

Behauptung:   ist monoton steigend  .

Beweis: Für   ist nichts zu beweisen. Für   folgt aus  :  .

Behauptung:   ist monoton fallend  .

Beweis: Für   ist nichts zu beweisen. Für   folgt aus  :  .

Behauptung:  ,   ist eine Nullfolge.   - Beweis: Der Durchmesser des Intervalls   ist

für  :  ;
für  :  .
Insgesamt können alle   auch   geschrieben werden, und   ist wegen   eine (geometrische) Nullfolge.[2]

Mit (2), (3) und (4) ist   eine Intervallschachtelung, die genau eine Zahl   definiert.

Mit   liegt   im Intervall der Voraussetzung, q. e. d.

Bemerkung: Endlich viele Intervalle einer wie   konstruierten Intervallschachtelung liegen dem numerischen Verfahren Bisektion zugrunde.

zu (iii):   ist gemeinsamer Grenzwert der Folgen   und  ; wegen Stetigkeit von   ist   gemeinsamer Grenzwert der Folgen   und  . Die Beschränktheit der Folgen   und   bewirkt, dass   weder positiv noch negativ ist.

Aus (ii) folgt[3]

 ,

hieraus mit dem Folgenkriterium vermöge der Stetigkeit von   bei  :

 .

Mit (i) haben die Folgen   bzw.   eine obere bzw. unterer Schranke, die sich auf den jeweiligen Grenzwert fortsetzt:[4]

 , ebenso  , insgesamt also  , q. e. d.

BeispielBearbeiten

 
Die Funktion f nimmt den Wert u mit f(a) < u < f(b) an der Stelle c an.

Die Kosinus-Funktion   ist im Intervall   stetig, es ist   und  . Der Zwischenwertsatz besagt dann, dass der Kosinus mindestens eine Nullstelle im Intervall   hat. Tatsächlich gibt es in dem Intervall genau eine Nullstelle bei  .

VerallgemeinerungBearbeiten

Der Zwischenwertsatz ist ein Spezialfall des folgenden Satzes aus der Topologie: Das Bild einer zusammenhängenden Teilmenge eines topologischen Raumes bezüglich einer stetigen Abbildung ist wieder zusammenhängend.

Daraus ist wieder der Zwischenwertsatz zu erhalten, weil Stetigkeit einer Funktion im topologischen Sinne die im Zwischenwertsatz für reelle Funktionen geforderte einschließt, und weil eine Teilmenge der reellen Zahlen genau dann zusammenhängend ist, wenn sie ein Intervall ist. Anderes als hier im Abschnitt "Beweis" braucht das betrachtete Intervall bei diesem Aufbau nicht beschränkt zu sein.

Zwischenwertsatz für Ableitungen (Satz von Darboux)Bearbeiten

Eine zum obigen Zwischenwertsatz analoge Aussage gilt für Ableitungsfunktionen:[5][6]

Ist   eine auf dem Intervall   definierte differenzierbare Funktion mit  , so nimmt die Ableitungsfunktion   jeden Wert zwischen   und   an.

Man beachte, dass dies auch gilt, wenn die Ableitungsfunktion nicht stetig ist. Der Satz folgt aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Der Gedankengang entspricht einer vollständigen Induktion.
  2. Weiteres zur Konvergenz geometrischer Folgen hier.
  3. wegen der Konvergenz der Grenzfolgen einer Intervallschachtelung
  4. vgl. Aussage zum Grenzwert einer beschränkten konvergenten Folge
  5. Fichtenholz, S. 206
  6. Köhler, S. 196