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Geometrische Folge

Mathematische Folge von Zahlen

Eine geometrische Folge ist eine regelmäßige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist.

Inhaltsverzeichnis

NamensherkunftBearbeiten

Die Bezeichnung „geometrische Folge“ leitet sich aus dem geometrischen Mittel ab. Jedes Glied einer geometrischen Folge ist nämlich das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder.

Die Summierung der Folgenglieder ergibt die geometrische Reihe.

Mathematische FormulierungBearbeiten

Das  -te Glied   einer geometrischen Folge mit dem Quotienten   berechnet sich aus der Formel[1]

 ,

wenn das Anfangsglied mit   bezeichnet wird, oder

 ,

wenn das Anfangsglied mit   bezeichnet wird.

Die Glieder einer geometrischen Folge lassen sich auch aus dem jeweils vorhergehenden Glied berechnen, dazu dient die folgende rekursive Formel:

 .

Bemerkung: Jede geometrische Folge lässt sich mit einer solchen Funktionsvorschrift beschreiben, aber eine solche Funktionsvorschrift beschreibt nicht immer eine geometrische Folge. So kann das Anfangsglied   einer geometrischen Folge nicht   sein, denn wegen des Verbots der Division durch   existiert der Quotient   der ersten beiden Folgenglieder nicht für  . Mit der gleichen Argumentation sind Dupel

 , wobei  ,   beliebig wählbar

der einzige Typ geometrischer Folgen, die (überhaupt irgend)ein Folgenglied   haben, oder für die   ist. Insbesondere gibt es keine unendlichen geometrischen Folgen mit   oder mit  .

ZahlenbeispieleBearbeiten

Beispiel 1Bearbeiten

Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied   und dem Quotienten   sind

 

wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt ergibt sich

 

Beispiel 2Bearbeiten

Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied   und dem Quotienten   sind

 

wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt ergibt sich

 

AnwendungsbeispieleBearbeiten

Die geometrische Folge beschreibt Wachstumsprozesse, bei denen sich die Messgröße zum Zeitpunkt   aus der Messgröße zum Zeitpunkt   durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor   ergibt. Beispiele:

ZinseszinsBearbeiten

Hauptartikel: Zinseszins

Bei einem Zinssatz von 5 Prozent vermehrt sich das Kapital jedes Jahr um den Faktor 1,05. Es handelt sich also um eine geometrische Folge mit dem Verhältnis  . Die Zahl   heißt hier Zinsfaktor. Bei einem Startkapital von 1000 Euro ergibt sich

  • nach einem Jahr ein Kapital von
 
  • nach zwei Jahren ein Kapital von
 
  • nach drei Jahren ein Kapital
 

und so weiter.

Gleichstufige StimmungBearbeiten

Hauptartikel: Gleichstufige Stimmung

Es gibt mehrere Arten, wie ein Musikinstrument gestimmt werden kann. Eine davon ist die gleichstufige Stimmung. Bei ihr ist das Frequenzverhältnis zwischen zwei benachbarten Tönen immer konstant. Bei zwölf Tönen in der Oktave lautet die Folge hier:

 ,

wobei   beispielsweise die Frequenz des Kammertons, und   die Halbtonschrittentfernung zum Kammerton ist.   ist dann die Frequenz des gesuchten Tones mit Halbtonabstand   zum "Ursprungston"  .

Der Wachstumsfaktor ist also  .

Konvergenz geometrischer FolgenBearbeiten

Eine unendliche geometrische Folge   ist genau dann eine Nullfolge, wenn der Betrag   des reellen (oder komplexen) Quotienten   benachbarter Folgegelieder kleiner als 1 ist.


A. Behauptung:   ist mindestens dann eine Nullfolge, wenn   ist.

Beweis: Sei   vorgegeben. Behauptet ist die Existenz eines   mit der Eigenschaft, dass für alle   gilt:  .  

Wegen   und   existiert

 .

Hierbei ist   der natürliche Logarithmus.

Wegen   kehrt sich für alle   nach Multiplikation mit   das Ungleichheitszeichen um:

 ;

für   ist  ; Exponenzieren (zur Basis  ) verändert das Ungleichheitszeichen nicht:

 ;

wegen   bleibt das Ungleichheitszeichen nach Multiplikation mit dem Nenner unverändert; mit  :

 ; damit (1), q. e. d.


B. Behauptung:   ist höchstens dann eine Nullfolge, wenn   ist.     ist keine Nullfolge, wenn   ist.

Beweis:   ist (bereits) dann keine Nullfolge, wenn ein   so wählbar ist, dass für alle   gilt:  .

Multiplikation der Bedingung   mit   ergibt (wegen   ohne Umkehrung des Ungleichheitszeichens):

 , damit:

 .  .

Ein   mit   sei gewählt. Mit (2) gilt dann auch für alle  :  , q. e. d.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

QuellenverzeichnisBearbeiten

  1. Folgen und Reihen. Abgerufen am 14. März 2010.