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Eine arithmetische Folge (auch: arithmetische Progression) ist eine regelmäßige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist. Eine einfache arithmetische Folge stellen die ungeraden natürlichen Zahlen dar:

BerechnungBearbeiten

Es gilt:

  (rekursive Formel).

Das  -te Glied   einer arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied   und der Differenz   berechnet sich aus

  (explizite Formel)

oder in ausgeschriebener Form:

 

BeispielBearbeiten

Die arithmetische Folge mit dem Anfangsglied   und der Differenz   lautet

 

Wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt, ergibt sich

 

Zum Beispiel das 6. Glied   lässt sich explizit berechnen als

 .

NamensherkunftBearbeiten

Die Bezeichnung „arithmetische Folge“ leitet sich aus dem arithmetischen Mittel ab. Jedes Glied einer arithmetischen Folge   mit   ist das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder.[1][2] Unter Zuhilfenahme von   folgert man schnell, dass

 

erfüllt ist. Die Summierung der Folgenglieder ergibt die arithmetische Reihe.

DifferenzenfolgeBearbeiten

Die Folge der Differenzen zweier aufeinanderfolgender Glieder nennt man Differenzenfolge.

Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenzenfolge konstant: für jedes   gilt:   .

Ungerade ZahlenBearbeiten

Die Differenz zweier aufeinanderfolgender ungerader natürlicher Zahlen ist immer 2. Also ergibt sich als Differenzenfolge die Folge, die nur aus Zweien besteht:

               
             

PrimzahlfolgeBearbeiten

Beispiel einer arithmetischen Progression von Primzahlen mit dem konstanten Abstand 210:[3]

                   
                 

Die Folge endet nach 10 Gliedern (AP-10). Die Differenz selbst ist ein Primorial (210 = 2·3·5·7). Terence Tao und Ben Green bewiesen, dass es beliebig lange derartige arithmetische Progressionen von Primzahlen geben muss.[4] Die bislang (2015) längsten bekannten dieser Folgen bestehen aus 26 Elementen (AP-26).[5]

Arithmetische Folgen höherer OrdnungBearbeiten

Folgen, die sich auf eine arithmetische Folge zurückführen lassen, nennt man arithmetische Folgen höherer Ordnung. Es handelt sich dabei genau um diejenigen Folgen, die sich durch eine Polynomfunktion beschreiben lassen; die Ordnung ist dabei der Grad des Polynoms.

BerechnungBearbeiten

Formeln zur Berechnung von Partialsummen arithmetischer Folgen allgemeiner Ordnung:

  •  
  •  
  •  

Im allgemeinen Fall gilt die Faulhabersche Formel:

  •  .

Dabei bezeichnet   die  -te Bernoulli-Zahl.

TetraederzahlenBearbeiten

Folge:                  
1. Differenzenfolge:                
2. Differenzenfolge:              
3. Differenzenfolge:            

Die Folge der Tetraederzahlen ist eine arithmetische Folge 3. Ordnung. Die Polynomfunktion, welche die Folge beschreibt, lautet:

 .

Der größte Exponent bestimmt den Grad der Polynomfunktion, und das ist in diesem Fall die drei.

Wie man der Tabelle entnehmen kann, ist die Folge der Dreieckszahlen (1. Differenzenfolge) eine arithmetische Folge 2. Ordnung.

QuadratzahlenBearbeiten

Folge:                  
1. Differenzenfolge:                
2. Differenzenfolge:              

Auch bei der Folge der Quadratzahlen handelt es sich also um eine arithmetische Folge 2. Ordnung.

Mehrdimensionale arithmetische FolgenBearbeiten

Die mehrdimensionale Verallgemeinerung besteht in Folgen der Form

 

mit  ,   und Konstanten   und entsprechend in mehr als zwei „Dimensionen“.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Reinhold Pfeiffer: Grundlagen der Finanzmathematik: mit Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, arithmetischen und geometrischen Folgen. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-87946-2, S. 77.
  2. Stasys Jukna: Crashkurs Mathematik: für Informatiker. Springer-Verlag, 2008, ISBN 978-3-8351-0216-3, S. 197.
  3. Eric W. Weisstein: Prime Arithmetic Progressionl. In: MathWorld (englisch).
  4. Ben Green; Terence Tao: The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions. In: Annals of Mathematics 167 (2008), Nr. 2, S. 481–547. Vgl. David Conlon; Jacob Fox; Yufei Zhao: The Green–Tao theorem. An exposition. In: EMS Surveys in Mathematical Sciences 1 (2014), Nr. 2, S. 249–282.
  5. Bisher sind vier solche Folgen bekannt: 43142746595714191 + 23681770·23#·n, für 0 ≤ n ≤ 25, wobei 23# = 223092870 (Benoãt Perichon am 12. April 2010), 3486107472997423 + 1666981·23#·n, für 0 ≤ n ≤ 25 (James Fry am 16. März 2012), 136926916457315893 + 44121555·23#·n, für 0 ≤ n ≤ 25 (Bryan Little am 23. Februar 2014) und 161004359399459161 + 47715109·23#·n, für 0 ≤ n ≤ 25 (Bryan Little am 19. Februar 2015).