Primorial

Funktional aus der Primzahltheorie

Mit Primorial (von engl. primorial), oder Primfakultät, bezeichnet man das Produkt aller Primzahlen, die eine bestimmte Zahl nicht übersteigen. Die Begriffe sind eng mit der Fakultät verwandt und kommen vor allem in dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie zum Einsatz.

Der Name Primorial ist das eingedeutschte englische Wort primorial. Das Produkt der Primzahlen kleiner gleich wird allerdings im Deutschen selten Primorial, noch seltener Primfakultät genannt. Meist wird es umschrieben als „Produkt der Primzahlen kleiner gleich n“.

DefinitionBearbeiten

Für eine natürliche Zahl   ist die Primfakultät   definiert als das Produkt aller Primzahlen kleiner gleich  :

 .

Manchmal unterscheidet man den Spezialfall, in dem   Primzahl ist, und definiert nur für diesen analog das Primorial, das für nicht-prime   undefiniert bleibt.

Im Fall   liegt das leere Produkt vor, der Wert der Primfakultät und des Primorials beträgt dann 1. Für Argumente  , die keine Primzahlen sind, besitzt das Primorial keine Werte. Die Primfakultät liefert für diese   den Wert, den die nächstkleinere Primzahl liefern würde. Im praktischen Gebrauch werden jedoch beide Begriffe meist als Synonym verwendet.

BeispielBearbeiten

Um den Wert des Primorials   zu berechnen, bestimmt man zunächst alle Primzahlen kleiner gleich 7. Diese sind 2, 3, 5 und 7. Das Produkt dieser vier Primzahlen liefert  . Für 9 könnte man dagegen kein Primorial, wohl aber die Primfakultät berechnen – da 9 keine Primzahl ist und die nächstkleinere Primzahl die 7 und die nächstgrößere Primzahl die 11 ist, gilt  .

EigenschaftenBearbeiten

 
Vergleich der Fakultät (gelb) und der Primfakultät (rot)
  • Es seien   und   zwei benachbarte Primzahlen. Dann gilt für jede natürliche Zahl   mit  :
 
  • Für das Primorial kennt man folgende Abschätzung[1]
 .
  • Ferner gilt:
 
Für   sind die Werte kleiner als  ,[2] aber mit größeren   überschreiten die Werte der Funktion die Schranke   und oszillieren später unendlich oft um  .
  • Ist   die  -te Primzahl, dann hat   genau   Teiler. Zum Beispiel hat die Zahl   2 Teiler,   hat 4 Teiler,   hat 8 und   hat bereits   Teiler, denn 97 ist die 25. Primzahl.
 
Die Engel-Entwicklung (eine spezielle Stammbruch-Entwicklung) dieser Zahl bildet die Folge der Primzahlen (Siehe Folge A064648 in OEIS)
  • Nach dem Satz von Euklid wird   benutzt, um die Unendlichkeit aller Primzahlen zu beweisen.

Tabelle mit BeispielwertenBearbeiten

n n#
2 2
3 6
5 30
7 210
11 2.310
13 30.030
17 510.510
19 9.699.690
23 223.092.870
29 6.469.693.230
31 200.560.490.130
37 7.420.738.134.810
41 304.250.263.527.210
43 13.082.761.331.670.030
47 614.889.782.588.491.410
53 32.589.158.477.190.044.730
59 1.922.760.350.154.212.639.070
61 117.288.381.359.406.970.983.270
67 7.858.321.551.080.267.055.879.090
71 557.940.830.126.698.960.967.415.390
73 40.729.680.599.249.024.150.621.323.470
79 3.217.644.767.340.672.907.899.084.554.130
83 267.064.515.689.275.851.355.624.017.992.790
89 23.768.741.896.345.550.770.650.537.601.358.310
97 2.305.567.963.945.518.424.753.102.147.331.756.070

QuellenBearbeiten

  1. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1.
    Theorem 415, S. 341
  2. L. Schoenfeld: Sharper bounds for the Chebyshev functions   and  . II. Math. Comp. Bd. 34, Nr. 134 (1976) 337–360; dort S. 359.
    Zitiert in: G. Robin: Estimation de la fonction de Tchebychef   sur le  -ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction  , nombre de diviseurs premiers de  . Acta Arithm. XLII (1983) 367–389 (PDF 731KB); dort S. 371

WeblinksBearbeiten