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Quadratzahl

Zahl, die durch die Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entsteht
16 Kugeln bilden ein Quadrat.

Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die durch die Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entsteht. Beispielsweise ist eine Quadratzahl. Die ersten Quadratzahlen sind

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (Folge A000290 in OEIS)

Bei einigen Autoren ist die Null keine Quadratzahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.

Die Bezeichnung Quadratzahl leitet sich von der geometrischen Figur des Quadrats her. Die Anzahl der Steine, die man zum Legen eines Quadrats benötigt, ist immer eine Quadratzahl. So lässt sich beispielsweise ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 mit Hilfe von 16 Steinen legen.

Aufgrund dieser Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zählen die Quadratzahlen zu den figurierten Zahlen, zu denen auch die Dreieckszahlen und Kubikzahlen gehören. Diese Begriffe waren schon den griechischen Mathematikern der Antike bekannt.[1]

Inhaltsverzeichnis

EigenschaftenBearbeiten

Eine Quadratzahl   ist genau dann eine gerade Zahl, wenn ihre Basis   gerade ist.

Formeln zum Generieren von QuadratzahlenBearbeiten

Jede Quadratzahl   ist die Summe der ersten   ungeraden natürlichen Zahlen.

 

Diese Gesetzmäßigkeit, in englischsprachiger Literatur auch als Odd Number Theorem bekannt,[2] wird durch die folgenden Bilder veranschaulicht.

       
       

Von links nach rechts sind hier die ersten vier Quadratzahlen durch die entsprechende Anzahl an Kugeln dargestellt. Die blauen Kugeln zeigen jeweils den Unterschied zur vorhergehenden Quadratzahl an. Da von links nach rechts immer eine Reihe und eine Zeile hinzukommt, erhöht sich die Anzahl der blauen Kugeln jeweils um 2. Beginnend mit der 1 ganz links durchlaufen so die blauen Kugeln alle ungeraden Zahlen.

Das Bildungsgesetz

 

lässt sich induktiv beweisen. Der Induktionsanfang

 

folgt aus dem offensichtlichen   und

 

Aus der Induktionsvoraussetzung

 

folgt wegen der binomischen Formel   und

 

sofort die Induktionsbehauptung

 

Jede Quadratzahl   ist auch die zweifache Summe der ersten   natürlichen Zahlen plus der Zahl  .

 

Trick zum Berechnen des Quadrats einer Zahl mit Einerziffer 5Bearbeiten

Das Quadrat von Zahlen, die auf 5 enden (die sich also in der Form   mit einer natürlichen Zahl   darstellen lassen), lässt sich leicht im Kopf berechnen. Man multipliziert die Zahl ohne die Einerziffer 5 (z. B. bei 65 die 6) mit ihrem Nachfolger (hier 6 + 1 = 7) und hängt an das Produkt (hier 6 · 7 = 42) die Ziffern 2 und 5 an (Endergebnis 4225).

 
 
 
 
 

Beweis:  

Beziehungen zu anderen figurierten ZahlenBearbeiten

DreieckszahlenBearbeiten

 
10 + 15 = 25

Jede Quadratzahl lässt sich als Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen darstellen. Das nebenstehende Bild zeigt beispielhaft, wie sich die Quadratzahl 25 als Summe der Dreieckszahlen   und   ergibt.

Dieses Phänomen lässt sich auch durch eine Formel beschreiben.

 

Zentrierte QuadratzahlenBearbeiten

Neben dem den Quadratzahlen zugrundeliegenden Muster gibt es noch ein zweites Muster, um ein Quadrat zu legen. Dabei werden um einen Stein in der Mitte des Quadrats weitere Quadrate gelegt. Die für diese Muster notwendige Anzahl an Steinen entspricht jeweils einer zentrierten Quadratzahl. Jede zentrierte Quadratzahl ist die Summe zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen, wie sich an deren geometrischem Muster erkennen lässt.

 

Die Formel   für zentrierte Quadratzahlen lässt sich mit Hilfe der binomischen Formel   so umstellen, dass die beiden Quadratzahlen sichtbar werden:

 

PyramidenzahlenBearbeiten

Die Summe der ersten   Quadratzahlen ergibt die  -te Pyramidenzahl:

 

Das folgende Bild veranschaulicht diese Beziehung am Beispiel der vierten Pyramidenzahl.

 

Endziffern von QuadratzahlenBearbeiten

Quadratzahlen enden nie mit einer der Ziffern 2, 3, 7 oder 8, da kein Quadrat einer einstelligen Zahl mit einer dieser Ziffern endet.

Ist   die letzte Ziffer einer beliebigen Zahl  , dann gilt für deren Quadrat

 

Die letzte Ziffer von   ist somit identisch mit der letzten Ziffer von  . Unter den ersten Quadratzahlen 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 und 81 findet sich jedoch keine Zahl, die auf 2, 3, 7 oder 8 endet.

Restklassen von QuadratzahlenBearbeiten

Die vorherige Aussage über mögliche Endziffern von Quadratzahlen bedeutet, dass 0, 1, 4, 5, 6, 9 die möglichen Restklassen der Quadratzahlen modulo 10 repräsentieren. Auch für andere Zahlen   sind die Restklassen der Quadratzahlen modulo   immer nur ein Teil der insgesamt möglichen Restklassen. Für   sind beispielsweise die möglichen Restklassen der Quadratzahlen 0, 1, 3, 4, 5 und 9, insbesondere sind 0, 1 die Restklassen der Quadratzahlen modulo 3 sowie modulo 4, bzw. 0, 1, 4 die Restklassen der Quadratzahlen modulo 8. Daraus folgt bspw., dass 3 keine Restklasse der Summe genau zweier Quadratzahlen modulo 4 bzw. 7 keine Restklasse der Summe genau dreier Quadratzahlen modulo 8 ist.

In der elementaren Zahlentheorie spielen Untersuchungen über quadratische Reste eine wichtige Rolle.

TeileranzahlBearbeiten

Nur Quadratzahlen haben eine ungerade Anzahl von Teilern. Beweis: Sei  ,   und  . Es ist  , denn  .   enthält alle Teiler von  , also ist die Anzahl der Teiler von   gleich  . Ist   eine Quadratzahl, so ist  . Andernfalls ist  .

Reihe der KehrwerteBearbeiten

Die Summe der Kehrwerte aller Quadratzahlen ist

 .

Es war lange Zeit nicht bekannt, ob diese Reihe konvergiert, und wenn ja, gegen welchen Grenzwert. Erst Leonhard Euler fand im Jahr 1735 den Wert der Reihe.

Summen aufeinanderfolgender QuadratzahlenBearbeiten

Es gibt einige merkwürdige Beziehungen für die Summe aufeinanderfolgender Quadratzahlen:

 

oder allgemein

 

Manche Primzahlen lassen sich als Summe von zwei, drei oder gar sechs aufeinanderfolgenden Quadraten schreiben (andere Anzahlen an Summanden sind nicht möglich):

  • n=2:
 
 
 
 
(Folge A027861 in OEIS, Folge A027862 in OEIS)
  • n=3:
 
 
 
 
(Folge A027863 in OEIS, Folge A027864 in OEIS)
  • n=6:
 
 
 
 
(Folge A027866 in OEIS, Folge A027867 in OEIS)

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Square numbers – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Quadratzahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Helmuth Gericke: Mathematik in Antike, Orient und Abendland. Marix Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-937715-71-1, S. 142–143.
  2. Eric W. Weisstein: Odd Number Theorem. In: MathWorld (englisch).