Quadratzahl

Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die durch die Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entsteht. Beispielsweise ist $144=12\cdot 12$ eine Quadratzahl. Die ersten Quadratzahlen sind

16 Kugeln bilden ein Quadrat.

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (Folge A000290 in OEIS)

Bei einigen Autoren ist die Null keine Quadratzahl, sodass die Zahlenfolge dann erst mit der Eins beginnt.

Die Bezeichnung Quadratzahl leitet sich von der geometrischen Figur des Quadrats her. Die Anzahl der Steine, die man zum Legen eines Quadrats benötigt, ist immer eine Quadratzahl. So lässt sich beispielsweise ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 mit Hilfe von 16 Steinen legen.

Aufgrund dieser Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zählen die Quadratzahlen zu den figurierten Zahlen, zu denen auch die Dreieckszahlen und Kubikzahlen gehören. Diese Begriffe waren schon den griechischen Mathematikern der Antike bekannt.^[1]

EigenschaftenBearbeiten

Eine Quadratzahl $a^{2}$ ist genau dann eine gerade Zahl, wenn ihre Basis $a$ gerade ist.

Formeln zum Generieren von QuadratzahlenBearbeiten

Jede Quadratzahl $n^{2}$ ist die Summe der ersten $n$ ungeraden natürlichen Zahlen.

{\begin{aligned}&1&=1&=1^{2}\\&1+3&=4&=2^{2}\\&1+3+5&=9&=3^{2}\\&1+3+5+7&=16&=4^{2}\\&&\vdots &\end{aligned}}

Diese Gesetzmäßigkeit, in englischsprachiger Literatur auch als Odd Number Theorem bekannt,^[2] wird durch die folgenden Bilder veranschaulicht.


$0+\color {blue}1\color {black}=1$	$1+\color {blue}3\color {black}=4$	$4+\color {blue}5\color {black}=9$	$9+\color {blue}7\color {black}=16$

Von links nach rechts sind hier die ersten vier Quadratzahlen durch die entsprechende Anzahl an Kugeln dargestellt. Die blauen Kugeln zeigen jeweils den Unterschied zur vorhergehenden Quadratzahl an. Da von links nach rechts immer eine Reihe und eine Spalte hinzukommt, erhöht sich die Anzahl der blauen Kugeln jeweils um 2. Beginnend mit der 1 ganz links durchlaufen so die blauen Kugeln alle ungeraden Zahlen.

Das Bildungsgesetz

\forall n\in \mathbb {N} \colon n^{2}=\sum _{i=1}^{n}(2i-1)=1+3+5+\dotsb +(2n-1)

lässt sich induktiv beweisen. Der Induktionsanfang

1^{2}=\sum _{i=1}^{n}(2i-1)

folgt aus dem offensichtlichen $1^{2}=1$ und

\sum _{i=1}^{1}(2i-1)=2\cdot 1-1=1.

Aus der Induktionsvoraussetzung

n^{2}=\sum _{i=1}^{n}(2i-1)

folgt wegen der binomischen Formel $(n+1)^{2}=n^{2}+2n+1$ und

\sum _{i=1}^{n+1}(2i-1)=\sum _{i=1}^{n}(2i-1)+2(n+1)-1=\sum _{i=1}^{n}(2i-1)+2n+1

sofort die Induktionsbehauptung

(n+1)^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(2i-1).

Außerdem ist jede Quadratzahl $n^{2}$ die zweifache Summe der ersten $n-1$ natürlichen Zahlen $2\cdot {\tfrac {(n-1)\cdot n}{2}}=n^{2}-n$ plus der Zahl $n$ , zum Beispiel:

{\begin{aligned}&1&=1&=1^{2}\\&2\cdot 1+2&=4&=2^{2}\\&2\cdot (1+2)+3&=9&=3^{2}\\&2\cdot (1+2+3)+4&=16&=4^{2}\\&&\vdots &\end{aligned}}

Dies lässt sich auch leicht geometrisch veranschaulichen: In dem aus $n^{2}$ Kugeln gelegten Quadrat liegen auf einer der Diagonalen $n$ Kugeln, diesseits und jenseits von ihr je $1+2+3+\dotsb +(n-1)$ .

Trick zum Berechnen des Quadrats einer Zahl mit Einerziffer 5Bearbeiten

Das Quadrat von Zahlen, die auf 5 enden (die sich also in der Form $10\cdot k+5$ mit einer natürlichen Zahl $k$ darstellen lassen), lässt sich leicht im Kopf berechnen. Man multipliziert die Zahl ohne die Einerziffer 5 (z. B. bei 65 die 6) mit ihrem Nachfolger (hier 6 + 1 = 7) und hängt an das Produkt (hier 6 · 7 = 42) die Ziffern 2 und 5 an (Endergebnis 4225).

{\underline {1}}5^{2}={\underline {2}}25

{\underline {2}}5^{2}={\underline {6}}25

{\underline {3}}5^{2}={\underline {12}}25

{\underline {4}}5^{2}=[4\cdot (4+1)]25={\underline {20}}25

[a]5^{2}=[a\cdot (a+1)]25

Beweis: $(10\cdot k+5)^{2}=100k^{2}+100k+25=k(k+1)\cdot 10^{2}+25$

Beziehungen zu anderen figurierten ZahlenBearbeiten

DreieckszahlenBearbeiten

10 + 15 = 25

Jede Quadratzahl lässt sich als Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen darstellen. Das nebenstehende Bild zeigt beispielhaft, wie sich die Quadratzahl 25 als Summe der Dreieckszahlen $\Delta _{4}=10$ und $\Delta _{5}=15$ ergibt.

Dieses Phänomen lässt sich auch durch eine Formel beschreiben.

{\begin{aligned}n^{2}&={\frac {n(n-1)}{2}}+{\frac {(n+1)n}{2}}\\&=\Delta _{n-1}+\Delta _{n}\\\end{aligned}}

Jede ungerade Quadratzahl lässt sich als Nachfolger einer 8-fachen Dreieckszahl darstellen.

(2n+1)^{2}=8\Delta _{n+1}+1

Zentrierte QuadratzahlenBearbeiten

Neben dem den Quadratzahlen zugrundeliegenden Muster gibt es noch ein zweites Muster, um ein Quadrat zu legen. Dabei werden um einen Stein in der Mitte des Quadrats weitere Quadrate gelegt. Die für diese Muster notwendige Anzahl an Steinen entspricht jeweils einer zentrierten Quadratzahl. Jede zentrierte Quadratzahl ist die Summe zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen, wie sich an deren geometrischem Muster erkennen lässt.

Der Term $2n^{2}+2n+1$ für zentrierte Quadratzahlen lässt sich mit Hilfe der binomischen Formel $(n+1)^{2}=n^{2}+2n+1$ so umstellen, dass die beiden Quadratzahlen sichtbar werden:

{\begin{aligned}2n^{2}+2n+1&=n^{2}+(n^{2}+2n+1)\\&=n^{2}+(n+1)^{2}\end{aligned}}

PyramidenzahlenBearbeiten

Die Summe der ersten $n$ Quadratzahlen ergibt die $n$ -te Pyramidenzahl:

\sum _{i=1}^{n}i^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\dotsb +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

Das folgende Bild veranschaulicht diese Beziehung am Beispiel der vierten Pyramidenzahl.

Endziffern von QuadratzahlenBearbeiten

Quadratzahlen enden nie mit einer der Ziffern 2, 3, 7 oder 8, da kein Quadrat einer einstelligen Zahl mit einer dieser Ziffern endet.

Ist $y$ die letzte Ziffer einer beliebigen Zahl $a=10\cdot x+y$ , dann gilt für deren Quadrat

a^{2}=100\cdot x^{2}+20\cdot xy+y^{2}.

Die letzte Ziffer von $a^{2}$ ist somit identisch mit der letzten Ziffer von $y^{2}$ . Unter den zehn Quadraten 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 und 81 aller Ziffern findet sich jedoch keines, das auf 2, 3, 7 oder 8 endet.

Symmetrie in den beiden Endziffern um die Basis 25Bearbeiten

Die Quadratzahlen sind um die Basis 25 herum in den beiden Endziffern symmetrisch:

{\begin{aligned}&24^{2}=576;&26^{2}&=676.\\&23^{2}=529;&27^{2}&=729.\\&22^{2}=484;&28^{2}&=784.\\&21^{2}=441;&29^{2}&=841.\\&\vdots &\vdots &\end{aligned}}

Das erklärt sich wie folgt: Für jede natürliche Zahl $a$ gilt:

(25+a)^{2}-(25-a)^{2}=25^{2}+50a+a^{2}-(25^{2}-50a+a^{2})=25^{2}+50a+a^{2}-25^{2}+50a-a^{2}=100a.

Da die Differenz also ein Vielfaches von $100$ ist, sind die beiden Endziffern gleich.

Restklassen von QuadratzahlenBearbeiten

Die vorherige Aussage über mögliche Endziffern von Quadratzahlen bedeutet, dass 0, 1, 4, 5, 6, 9 die möglichen Restklassen der Quadratzahlen modulo 10 repräsentieren. Auch für andere Zahlen $n$ sind die Restklassen der Quadratzahlen modulo $n$ immer nur ein Teil der insgesamt möglichen Restklassen. Für $n=11$ sind beispielsweise die möglichen Restklassen der Quadratzahlen 0, 1, 3, 4, 5 und 9. Insbesondere sind 0, 1 die Restklassen sowohl der Quadrate modulo 3 als auch modulo 4, und 0, 1, 4 sind die Restklassen der Quadrate modulo 8. Daraus folgt beispielsweise sowohl, dass 3 keine Restklasse der Summe zweier Quadratzahlen modulo 4 ist, als auch, dass 7 keine Restklasse der Summe dreier Quadratzahlen modulo 8 ist.

In der elementaren Zahlentheorie spielen Untersuchungen über quadratische Reste eine wichtige Rolle.

TeileranzahlBearbeiten

Nur Quadratzahlen haben eine ungerade Anzahl von Teilern. Beweis: Sei $n\in \mathbb {N}$ , $A=\{d\in \mathbb {N} \mid d^{2}\leq n,d|n\}$ und $B=\{d\in \mathbb {N} \mid n\leq d^{2},d|n\}$ . Es ist $|A|=|B|$ , denn $\textstyle B=\{{\frac {n}{d}}\mid d\in A\}$ . $A\cup B$ enthält alle Teiler von $n$ , also ist die Anzahl der Teiler von $n$ gleich $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=2|A|-|A\cap B|$ . Ist $n$ eine Quadratzahl, so ist $A\cap B=\{{\sqrt {n}}\}$ . Andernfalls ist $A\cap B=\emptyset$ .

Reihe der KehrwerteBearbeiten

Die Summe der Kehrwerte aller Quadratzahlen ist

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dotsb ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

.

Es war lange Zeit nicht bekannt, ob diese Reihe konvergiert, und wenn ja, gegen welchen Grenzwert. Erst Leonhard Euler fand im Jahr 1735 den Wert der Reihe.

Summen zweier aufeinanderfolgender QuadratzahlenBearbeiten

Mit der Dreieckszahl gilt die Identität: $n^{2}+(n+1)^{2}=4\cdot \Delta _{n}+1$ .

Summen aufeinanderfolgender QuadratzahlenBearbeiten

Es gibt einige merkwürdige Beziehungen für die Summe aufeinanderfolgender Quadratzahlen:

{\begin{aligned}3^{2}+4^{2}&=5^{2}\\10^{2}+11^{2}+12^{2}&=13^{2}+14^{2}\\21^{2}+22^{2}+23^{2}+24^{2}&=25^{2}+26^{2}+27^{2}\\36^{2}+37^{2}+38^{2}+39^{2}+40^{2}&=41^{2}+42^{2}+43^{2}+44^{2}\end{aligned}}

oder allgemein

\sum _{k=2n^{2}+n}^{2n^{2}+2n}k^{2}=\sum _{k=2n^{2}+2n+1}^{2n^{2}+3n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\cdot (12n^{2}+12n+1)

Manche Primzahlen lassen sich als Summe von zwei, drei oder gar sechs aufeinanderfolgenden Quadraten schreiben (andere Anzahlen an Summanden sind nicht möglich):