Quadratzahl

Zahl, die durch die Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entsteht

Eine Quadratzahl oder Viereckszahl ist eine Zahl, die durch Quadrieren einer ganzen Zahl, also die Multiplikation einer solchen mit sich selbst, entsteht. Beispielsweise ist eine Quadratzahl. Die ersten Quadratzahlen sind

16 Kugeln bilden ein Quadrat.
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (Folge A000290 in OEIS)

Einige Mathematiker sehen die Null nicht als Quadratzahl; sie beginnen diese Zahlenfolge mit der Eins.

Die Bezeichnung Quadratzahl leitet sich von der geometrischen Figur des Quadrats her. Die Anzahl der Steine, die man zum Legen eines Quadrats benötigt, ist immer eine Quadratzahl. So lässt sich beispielsweise mit 16 Steinen ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 legen.

Aufgrund ihrer Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zählen die Quadratzahlen zu den figurierten Zahlen, zu denen auch die Dreieckszahlen und Kubikzahlen gehören. Diese Begriffe waren schon den griechischen Mathematikern der Antike bekannt.[1]

Die Quadratzahlen zählen – ebenso wie die Dreieckszahlen – insbesondere auch zu den Polygonalzahlen.[2]

Eigenschaften Bearbeiten

Eine Quadratzahl   ist genau dann eine gerade Zahl, wenn ihre Basis   gerade ist.

Rekursion Bearbeiten

Bezeichnet man die Folge der Quadratzahlen mit  , so hat man die folgende Rekursionsvorschrift:[2]

 

Formeln zum Generieren von Quadratzahlen Bearbeiten

Jede Quadratzahl   ist die Summe der ersten   ungeraden natürlichen Zahlen.

 

Diese Gesetzmäßigkeit, in englischsprachiger Literatur auch als Odd Number Theorem bekannt,[3] wird durch die folgenden Bilder veranschaulicht.

       
       

Von links nach rechts sind hier die ersten vier Quadratzahlen durch die entsprechende Anzahl an Kugeln dargestellt. Die blauen Kugeln zeigen jeweils den Unterschied zur vorhergehenden Quadratzahl an. Da von links nach rechts immer eine Reihe und eine Spalte hinzukommt, erhöht sich die Anzahl der blauen Kugeln jeweils um 2. Beginnend mit der 1 ganz links durchlaufen so die blauen Kugeln alle ungeraden Zahlen.

Das Bildungsgesetz

 

lässt sich induktiv beweisen. Der Induktionsanfang

 

folgt aus dem offensichtlichen   und

 

Aus der Induktionsvoraussetzung

 

folgt wegen der binomischen Formel   und

 

sofort die Induktionsbehauptung

 

Außerdem ist jede Quadratzahl   die doppelte Summe der ersten   natürlichen Zahlen plus der Zahl  :

 

Beispiele:

 

Dies lässt sich auch leicht geometrisch veranschaulichen: In dem aus   Kugeln gelegten Quadrat liegen auf einer der Diagonalen   Kugeln, diesseits und jenseits von ihr je  .

Geometrische Generierung Bearbeiten

In der Kubikzahl   ist die Basis   eine reelle Zahl und der Exponent   eine positive ganze Zahl. Aus diesem Grund ist der Potenzwert von   auf einer Zahlengeraden als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar.

Es ist zu unterscheiden, ob die Basis   größer oder kleiner als die Zahl   ist. Im Folgenden werden beide Möglichkeiten beschrieben.

Vorgehensweise für Basis > 1 Bearbeiten

  1. Ziehe auf der Zahlengeraden einen Kreisbogen mit Mittelpunkt   und der Basis   als Radius.
  2. Bestimme den Abstand mit der Länge   zum Punkt   und errichte eine Senkrechte zur Zahlengeraden im Punkt  , bis sie den Kreisbogen in   schneidet.
  3. Errichte eine Senkrechte zur Basis   im Punkt  , bis sie die Zahlengerade in   schneidet.

Vorgehensweise für Basis < 1 Bearbeiten

  1. Bestimme auf der Zahlengeraden die Basis   als Strecke   mit  .
  2. Bestimme auf der Zahlengeraden ab   die Strecke   mit der Länge   und konstruiere einen Halbkreis um  .
  3. Ziehe einen Kreisbogen um   mit dem Radius  , bis er den Halbkreis in   schneidet.
  4. Das abschließende Lot von   auf die Zahlengerade liefert als Fußpunkt die Quadratzahl  .

Trick zum Berechnen des Quadrats einer Zahl mit Einerziffer 5 Bearbeiten

Das Quadrat von Zahlen, die auf 5 enden (die sich also in der Form   mit einer natürlichen Zahl   darstellen lassen), lässt sich leicht im Kopf berechnen. Man multipliziert die Zahl ohne die Einerziffer 5 (z. B. bei 65 die 6) mit ihrem Nachfolger (hier 6 + 1 = 7) und hängt an das Produkt (hier 6 · 7 = 42) die Ziffern 2 und 5 an (Endergebnis 4225).

 
 
 
 
 

Beweis:  

Beziehungen zu anderen figurierten Zahlen Bearbeiten

Dreieckszahlen Bearbeiten

 
10 + 15 = 25

Jede Quadratzahl lässt sich als Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen darstellen. Das nebenstehende Bild zeigt beispielhaft, wie sich die Quadratzahl 25 als Summe der Dreieckszahlen   und   ergibt.

Dieses Phänomen lässt sich auch durch eine Formel beschreiben.

 

Jede ungerade Quadratzahl lässt sich als Nachfolger einer 8-fachen Dreieckszahl darstellen.

 

Zentrierte Quadratzahlen Bearbeiten

Neben dem den Quadratzahlen zugrundeliegenden Muster gibt es noch ein zweites Muster, um ein Quadrat zu legen. Dabei werden um einen Stein in der Mitte des Quadrats weitere Quadrate gelegt. Die für diese Muster notwendige Anzahl an Steinen entspricht jeweils einer zentrierten Quadratzahl. Jede zentrierte Quadratzahl ist die Summe zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen, wie sich an deren geometrischem Muster erkennen lässt.

 

Der Term   für zentrierte Quadratzahlen lässt sich mit Hilfe der binomischen Formel   so umstellen, dass die beiden Quadratzahlen sichtbar werden:

 

Pyramidenzahlen Bearbeiten

Die Summe der ersten   Quadratzahlen ergibt die  -te Pyramidenzahl:

 

Das folgende Bild veranschaulicht diese Beziehung am Beispiel der vierten Pyramidenzahl.

 

Endziffern von Quadratzahlen Bearbeiten

Quadratzahlen enden nie mit einer der Ziffern 2, 3, 7 oder 8, da kein Quadrat einer einstelligen Zahl mit einer dieser Ziffern endet.

Ist   die letzte Ziffer einer beliebigen Zahl  , dann gilt für deren Quadrat

 

Die letzte Ziffer von   ist somit identisch mit der letzten Ziffer von  . Unter den zehn Quadraten 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 und 81 aller Ziffern findet sich jedoch keines, das auf 2, 3, 7 oder 8 endet.

Symmetrie in den beiden Endziffern um die Basis 25 Bearbeiten

Die Quadratzahlen sind um die Basis 25 herum in den beiden Endziffern symmetrisch:

 

Das erklärt sich wie folgt: Für jede natürliche Zahl   gilt:

 

Da die Differenz also ein Vielfaches von   ist, sind die beiden Endziffern gleich.

Restklassen von Quadratzahlen Bearbeiten

Die vorherige Aussage über mögliche Endziffern von Quadratzahlen bedeutet, dass   die möglichen Restklassen der Quadratzahlen modulo   repräsentieren. Auch für andere Zahlen   sind die Restklassen der Quadratzahlen modulo   immer nur ein Teil der insgesamt möglichen Restklassen. Für   sind beispielsweise die möglichen Restklassen der Quadratzahlen  . Insbesondere sind   die Restklassen sowohl der Quadrate modulo   als auch modulo   und   sind die Restklassen der Quadrate modulo  . Daraus folgt beispielsweise sowohl, dass   keine Restklasse der Summe zweier Quadratzahlen modulo   ist, als auch, dass   keine Restklasse der Summe dreier Quadratzahlen modulo   ist.

In der elementaren Zahlentheorie spielen Untersuchungen über quadratische Reste eine wichtige Rolle.

Teileranzahl Bearbeiten

Nur Quadratzahlen haben eine ungerade Anzahl von Teilern. Beweis: Sei  ,   und  . Es ist  , denn  .   enthält alle Teiler von  , also ist die Anzahl der Teiler von   gleich  . Ist   eine Quadratzahl, so ist  . Andernfalls ist  .

Reihe der Kehrwerte Bearbeiten

Die Summe der Kehrwerte aller Quadratzahlen ist

 .

Es war lange Zeit nicht bekannt, ob diese Reihe konvergiert, und wenn ja, gegen welchen Grenzwert. Erst Leonhard Euler fand im Jahr 1735 den Wert der Reihe.

Summen zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen Bearbeiten

Mit der Dreieckszahl gilt die Identität:  .

Summen aufeinanderfolgender Quadratzahlen Bearbeiten

Es gibt einige merkwürdige Beziehungen für die Summe aufeinanderfolgender Quadratzahlen:

 

oder allgemein

 

Manche Primzahlen lassen sich als Summe von zwei, drei oder gar sechs aufeinanderfolgenden Quadraten schreiben (andere Anzahlen an Summanden sind nicht möglich):

  •  :
 
 
 
 
(Folge A027861 in OEIS, Folge A027862 in OEIS)
  •  :
 
 
 
 
(Folge A027863 in OEIS, Folge A027864 in OEIS)
  •  :
 
 
 
 
(Folge A027866 in OEIS, Folge A027867 in OEIS)

Literatur Bearbeiten

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Commons: Square numbers – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Quadratzahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Helmuth Gericke: Mathematik in Antike, Orient und Abendland. Marix Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-937715-71-1, S. 142–143.
  2. a b Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Elemente der Arithmetik und Algebra, 2016, S. 90ff.
  3. Eric W. Weisstein: Odd Number Theorem. In: MathWorld (englisch).