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Arithmetisches Mittel

Begriff der Mathematik

Das Arithmetische Mittel, auch arithmetischer Mittelwert genannt (umgangssprachlich auch als Durchschnitt bezeichnet) ist ein Begriff in der Statistik. Es ist ein Lageparameter. Man berechnet diesen Mittelwert wie folgt:
Summe der betrachteten Zahlen geteilt durch ihre Anzahl.
Das arithmetische Mittel einer Stichprobe wird auch empirischer Mittelwert genannt.[1]

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Die Hälfte der Summe zweier Größen   und   ist gegeben durch:

 .

Da die Größen   eine arithmetische Folge bilden, wird die Merkmalssumme der Merkmalsausprägungen   dividiert durch die Anzahl der Merkmalsträger  

 

als „arithmetisches Mittel“   (lies:   quer) bezeichnet. Wird das arithmetische Mittel nicht gewichtet (siehe auch Abschnitt Gewichtetes arithmetisches Mittel), dann wird es auch als einfaches arithmetisches mittel oder ungewichtetes arithmetisches Mittel bezeichnet.

Zum Beispiel ist das arithmetische Mittel der beiden Zahlen   und  :

 .

Das arithmetische Mittel beschreibt das Zentrum einer Verteilung durch einen numerischen Wert und stellt somit einen Lageparameter dar. Das arithmetische Mittel ist sinnvoll für beliebige metrische Merkmale definiert. Im Allgemeinen ist es für qualitative Merkmale nicht geeignet, jedoch liefert es für dichotome Merkmale mit zwei Kategorien   und   eine sinnvolle Interpretation. In diesem Fall ist das arithmetische Mittel identisch mit der relativen Häufigkeit  .[2] Gelegentlich wird zur Bezeichnung des arithmetischen Mittels auch das Durchschnittszeichen ø verwendet. Das arithmetische Mittel ist im Gegensatz zum empirischen Median sehr anfällig gegenüber Ausreißern (siehe Median). Das arithmetische Mittel kann als „Mittelpunkt“ der Messwerte interpretiert werden. Es gibt jedoch keine Auskunft darüber, wie stark die Messwerte um das arithmetische Mittel streuen. Dieses Problem kann mit der Einführung der „mittleren quadratischen Abweichung“ vom arithmetischen Mittel, der empirischen Varianz, behoben werden.

Definition für HäufigkeitsdatenBearbeiten

Für Häufigkeitsdaten mit den Ausprägungen   und den dazugehörigen relativen Häufigkeiten   ergibt sich das arithmetische Mittel als[3]

 .

Arithmetisches Mittel bei SchichtenbildungBearbeiten

Bei Vorliegen einer geschichteten Stichprobe, deren arithmetischen Mittel in Schichten bekannt sind, lässt sich das arithmetische Mittel für die Gesamterhebung berechnen. Es sei eine Erhebungsgesamtheit   mit   Merkmalsträgern in   Schichten   mit der jeweiligen Anzahl an Merkmalsträgern   und arithmetischen Mitteln   eingeteilt. Das arithmetische Mittel   in   ist dann definiert durch[3]

 .

EigenschaftenBearbeiten

ErsatzwerteigenschaftBearbeiten

Direkt aus der Definition des arithmetischen Mittels folgt, dass

 .

Wenn man das arithmetische Mittel mit dem Stichprobenumfang   multipliziert, dann erhält man die Merkmalssumme.[4] Diese Rechenregel wird als Ersatzwerteigenschaft oder Hochrechnungseigenschaft bezeichnet und oft bei mathematischen Beweisen verwendet. Sie kann wie folgt interpretiert werden: Die Summe aller   Einzelwerte kann man sich ersetzt denken durch   gleiche Werte von der Größe des arithmetischen Mittels.

SchwerpunkteigenschaftBearbeiten

Die Abweichungen   der Messwerte   vom Mittwert  

 

werden auch als „scheinbare Fehler“ bezeichnet. Die Schwerpunkteigenschaft (auch Nulleigenschaft genannt) besagt, dass die Summe der scheinbaren Fehler bzw. die Summe der Abweichungen aller beobachteten Messwerte vom arithmetischen Mittel gleich Null ist, also

  beziehungsweise im Häufigkeitsfall  .

Dies lässt sich mithilfe der Ersatzwerteigenschaft wie folgt zeigen:

 

Die Schwerpunkteigenschaft spielt für das Konzept der Freiheitsgrade eine große Rolle. Aufgrund der Schwerpunkteigenschaft des arithmetischen Mittels   ist die letzte Abweichung   bereits durch die ersten   bestimmt. Folglich variieren nur   Abweichungen frei und man mittelt deshalb, z. B. bei der empirischen Varianz, indem man durch die Anzahl der Freiheitsgrade   dividiert.[5]

OptimalitätseigenschaftBearbeiten

In der Statistik ist man oft daran interessiert die Summe der quadratischen Abweichungen   zu minimieren. Wenn man das Zentrum durch einen Wert   auf der horizontalen Achse festlegen will, der die Summe der quadratischen Abweichungen

 

zwischen Daten   und Zentrum   minimiert, dann ist   der minimierende Wert. Daraus ergibt sich die folgende Optimalitätseigenschaft (auch Minimierungseigenschaft genannt):

 , für alle  [6] oder anders ausgedrückt  [7]

Die Summe der Quadrate der Abweichungen aller Daten vom Mittelwert ist kleiner als die Summe der Quadrate der Abweichungen von einem beliebigen anderem Wert. Dieses Resultat kann durch einfaches Ableiten der Funktion   nach   gezeigt werden:

 .

Dies ist ein Minimum, da ebenfalls die hinreichende Bedingung für ein Minimum erfüllt ist.

Lineare TransformationseigenschaftBearbeiten

Je nach Skalenniveau ist das arithmetische Mittel äquivariant gegenüber speziellen Transformationen. Es gilt für die lineare Transformation[6]

 ,

da

 .

DreiecksungleichungenBearbeiten

Für das arithmetische Mittel gilt die folgende Dreiecksungleichung: Das arithmetische Mittel von   positiven Merkmalsausprägungen   ist größer oder gleich dem geometrischen Mittel dieser Merkmalsausprägungen, also

 .

Die Gleichheit ist nur gegeben, wenn alle Merkmalsausprägungen gleich sind. Weiterhin gilt für den Absolutbetrag des arithmetischen Mittels mehrerer Merkmalsausprägungen, dass er kleiner oder gleich dem quadratischen Mittel ist

 .[8]

BeispieleBearbeiten

Einfache BeispieleBearbeiten

  • Das arithmetische Mittel aus 50 und 100 ist  
  • Das arithmetische Mittel aus 8, 5 und −1 ist  

AnwendungsbeispielBearbeiten

Ein Auto fährt eine Stunde lang 100 km/h und die darauf folgende Stunde 200 km/h. Mit welcher konstanten Geschwindigkeit muss ein anderes Auto fahren, um denselben Weg ebenfalls in zwei Stunden zurückzulegen?

Der Weg  , den das erste Auto insgesamt zurückgelegt hat, beträgt

 

und der des zweiten Autos

 

wobei   die Geschwindigkeit des zweiten Autos ist. Aus   ergibt sich

 

und damit

 

Gewichtetes arithmetisches MittelBearbeiten

Es lässt sich auch ein gewichtetes arithmetisches Mittel definieren (auch als gewogenes arithmetisches Mittel bezeichnet). Es erweitert den Anwendungsbereich des einfachen arithmetischen Mittels auf Werte mit unterschiedlicher Gewichtung. Ein Beispiel ist die Berechnung einer Schulnote, in die mündliche und schriftliche Leistungen unterschiedlich stark einfließen. Bei Anwendung der Richmannsche Mischungsregel zur Bestimmung der Mischtemperatur zweier Körper aus gleichem Material wird ebenfalls ein gewichtetes arithmetisches Mittel berechnet.

Deskriptive StatistikBearbeiten

Das gewichtete Mittel wird beispielsweise verwendet, wenn man Mittelwerte  ,   aus   Stichproben der gleichen Grundgesamtheit mit verschiedenen Stichprobenumfängen   miteinander kombinieren will:

 .

WahrscheinlichkeitsrechnungBearbeiten

StichprobenmittelBearbeiten

Die konkreten Merkmalausprägungen   lassen sich als Realisationen von Zufallsvariablen   auffassen. Jeder  -Wert stellt somit nach der Ziehung der Stichprobe eine Realisierung der jeweiligen Zufallsvariablen   dar. Das arithmetische Mittel dieser Zufallsvariablen

 

wird auch als Stichprobenmittel bezeichnet und ist ebenfalls eine Zufallsvariable.

Unabhängig verteilte ZufallsvariablenBearbeiten

Sind die   unabhängig verteilte Zufallsvariablen (d. h.   ist eine Zufallsvariable mit den Zufallsvariablen   und   ist eine Zufallsvariable mit den Zufallsvariablen  ) mit gemeinsamem Erwartungswert   aber unterschiedlichen Varianzen  , so hat der gewichtete Mittelwert ebenfalls Erwartungswert   und seine Varianz beträgt

 .

Wählt man  , so vereinfacht sich die Varianz zu

 .

Aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgt

 .

Die Wahl der Gewichte   oder eine Wahl proportional dazu minimiert also die Varianz   des gewichteten Mittels. Mit dieser Formel lassen sich die Gewichte   abhängig von der Varianz des jeweiligen Wertes, der dementsprechend den Mittelwert mehr oder weniger stark beeinflusst, zweckmäßig wählen.

Unabhängig und identisch verteilte ZufallsvariablenBearbeiten

Sind   Zufallsvariablen, die unabhängig und identisch verteilt mit Erwartungswert   und Varianz   sind, so hat der Stichprobenmittelwert   ebenfalls den Erwartungswert  , aber die kleinere Varianz  . Hat also eine Zufallsvariable endlichen Erwartungswert und endliche Varianz, so folgt aus der Tschebyscheff-Ungleichung, dass das arithmetische Mittel einer Stichprobe gegen den Erwartungswert der Zufallsvariablen stochastisch konvergiert. Das arithmetische Mittel ist daher nach vielen Kriterien eine geeignete Schätzung für den Erwartungswert der Verteilung, aus der die Stichprobe stammt.

Sind die   speziell Stichprobenmittelwerte vom Umfang   aus derselben Grundgesamtheit, so hat   die Varianz  , also ist die Wahl   optimal.

Gewichtetes arithmetisches Mittel als ErwartungswertBearbeiten

Im Falle einer diskreten Zufallsvariable   mit abzählbar endlichem Träger ergibt sich der Erwartungswert der Zufallsvariable   als

 .

Hierbei ist   die Wahrscheinlichkeit, dass   den Wert   annimmt. Dieser Erwartungswert kann als ein gewichtetes Mittel der Werte   mit den Wahrscheinlichkeiten   interpretiert werden. Bei Gleichverteilung gilt   und somit wird   zum arithmetischen Mittel der Werte  [9]

 .

BeispieleBearbeiten

Das arithmetische Mittel   der   Zahlen 1, 2 und 3 beträgt 2, das arithmetische Mittel   der   Zahlen 4 und 5 beträgt 4,5. Das arithmetische Mittel aller 5 Zahlen ergibt sich als mit dem Stichprobenumfang gewichteter Mittelwert der Teilmittelwerte:

 

Liegen die Beobachtungen als klassierte Häufigkeit vor, kann man das arithmetische Mittel näherungsweise als gewichtetes Mittel bestimmen, wobei die Klassenmitten als Wert und der Klassenumfang als Gewicht zu wählen sind. Sind beispielsweise in einer Schulklasse ein Kind in der Gewichtsklasse 20 bis 25 kg, 7 Kinder in der Gewichtsklasse 25 bis 30 kg, 8 Kinder in der Gewichtsklasse 30 bis 35 kg und 4 Kinder in der Gewichtsklasse 35 bis 40 kg, so lässt sich das Durchschnittsgewicht als

 

abschätzen. Um die Güte dieser Schätzung zu ermitteln, muss man dann den minimal / maximal möglichen Mittelwert ermitteln, indem man pro Intervall die kleinsten / größten Werte zugrunde legt. Damit ergibt sich dann, dass der tatsächliche Mittelwert zwischen 28,75 kg und 33,75 kg liegt. Der Fehler der Schätzung 31,25 beträgt also maximal ±2,5 kg oder ±8 %.

Weiteres Beispiel: Ein Bauer stellt im Nebenerwerb 100 kg Butter her. 10 kg kann er für 10 €/kg verkaufen, weitere 10 kg für 6 €/kg und den Rest muss er für 3 €/kg abgeben. Zu welchem (gewichtetem) Durchschnittspreis hat er seine Butter verkauft? Lösung: (10 kg · 10 €/kg + 10 kg · 6 €/kg + 80 kg · 3 €/kg) / (10 kg + 10 kg + 80 kg) = 400 € / 100 kg = 4 €/kg. Der mit der jeweils verkauften Menge gewichtete Durchschnittspreis entspricht also dem fixen Preis, zu dem die Gesamtmenge verkauft werden müsste, um den gleichen Erlös zu erzielen wie beim Verkauf von Teilmengen zu wechselnden Preisen.

Der Mittelwert einer FunktionBearbeiten

Als Mittelwert der Riemann-integrierbaren Funktion   wird die Zahl

 

definiert.

Die Bezeichnung Mittelwert ist insofern gerechtfertigt, als für eine äquidistante Zerlegung   des Intervalls mit der Schrittweite   das arithmetische Mittel

 

gegen   konvergiert, vgl.[10]

Ist   stetig, so besagt der Mittelwertsatz der Integralrechnung, dass es ein   gibt mit  , die Funktion nimmt also an mindestens einer Stelle ihren Mittelwert an.

Der Mittelwert der Funktion   mit dem Gewicht   (wobei   für alle  ) ist

 .

Für Lebesgue-Integrale im Maßraum   mit einem endlichen Maß   lässt sich der Mittelwert einer Lebesgue-integrierbaren Funktion als

 

definieren. Handelt es sich um einen Wahrscheinlichkeitsraum, gilt also  , so nimmt der Mittelwert die Form

 

an; das entspricht genau dem Erwartungswert von  .

Der Mittelwert einer Funktion hat in Physik und Technik erhebliche Bedeutung insbesondere bei periodischen Funktionen der Zeit, siehe Gleichwert.

Quasi-arithmetischer Mittelwert (f-Mittel)Bearbeiten

Sei   eine auf einem reellen Intervall   streng monotone stetige (und daher invertierbare) Funktion und seien

 

Gewichtsfaktoren. Dann ist für   das mit den Gewichten   gewichtete quasi-arithmetische Mittel definiert als

 .

Offensichtlich gilt

 

Für   erhält man das arithmetische, für   das geometrische Mittel, und für   das  -Potenzmittel.

Dieser Mittelwert lässt sich auf das gewichtete quasi-arithmetische Mittel einer Funktion   verallgemeinern, wobei   in einem die Bildmenge von   umfassenden Intervall streng monoton und stetig sei:

 

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Karl Bosch: Elementare Einführung in die angewandte Statistik. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, S. 13.
  2. Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, und Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 49.
  3. a b Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, und Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 50.
  4. Horst Degen, Peter Lorscheid: Statistik-Lehrbuch: mit Wirtschafts- und Bevölkerungsstatistik. S. 42.
  5. Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, und Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 65.
  6. a b Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, und Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 54.
  7.   bezeichnet analog zu  (Argument des Maximums) das Argument des Minimums
  8. I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew u. a.: Taschenbuch der Mathematik. 2. Auflage. 1995, S. 19 ff.
  9. I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew u. a.: Taschenbuch der Mathematik. 2. Auflage. 1995, S. 629.
  10. H. Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. 8. Auflage. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6.