PT1-Glied

nicht schwingfähiges Übertragungsglied in der Modelltheorie

Als PT1-Glied bezeichnet man ein LZI-Übertragungsglied in der Regelungstechnik, welches ein proportionales Übertragungsverhalten mit Verzögerung 1. Ordnung aufweist. Ein gebräuchliches Beispiel ist in der Elektrotechnik der Tiefpass (1. Ordnung), der beispielsweise durch ein RC-Glied realisiert werden kann.[1]

PT1-Glied im Strukturbild

Beispiel für eine Verzögerung 1. Ordnung wäre außerhalb der Regelungstechnik ein Reifen, dessen Seitenkraft verzögert auf eine Änderung des Schräglaufwinkels erfolgt.

ÜbertragungsfunktionBearbeiten

Das PT1-Glied wird durch die lineare Differentialgleichung wie folgt beschrieben:

 

Durch Laplace-Transformation erhält man die zugehörige komplexe Übertragungsfunktion:

 

Hierbei bezeichnet K, K > 0, die Übertragungskonstante bzw. den Verstärkungsfaktor und T , T > 0, die Zeitkonstante. Für T < 0 hätte das System ein exponentiell aufklingendes Verhalten.

BodediagrammBearbeiten

 
Bodediagramm eines PT1-Gliedes (K = 2, T = 1)

Beim PT1-Glied ist   der Frequenzgang. Daher gilt für den Amplituden- und Phasengang im Bodediagramm:[2]

 
 

AmplitudengangBearbeiten

Bezeichnet   die Knick- bzw. Eckkreisfrequenz, so lässt sich der Amplitudengang grob in zwei Bereiche einteilen:

 

bzw. logarithmiert, in Dezibel:

 

Für Kreisfrequenzen unterhalb der Eckkreisfrequenz liegt die Betragskennlinie des PT1-Gliedes parallel zur 0-dB-Linie im Abstand von KdB und für große Kreisfrequenzen fällt sie mit 20 dB/Dekade. Bei der Knickkreisfrequenz ω = ω0 schneiden sich die beiden Asymptoten. Der tatsächliche Wert des Amplitudenganges weicht dort um −3 dB von der asymptotischen Näherung ab. Bei ω = 0,5 ω0 bzw. ω = 2 ω0 beträgt die Abweichung nur noch −1 dB.

Die Eckkreisfrequenz berechnet sich aus der Polstelle der Übertragungsfunktion, also der Nullstelle des Nenners 1 + Ts. Die Polstelle ist   und heißt Eigenwert, dessen Betrag die Eckkreisfrequenz ω0 beschreibt.

PhasengangBearbeiten

Die Phasenverschiebung des PT1-Gliedes beträgt bei kleinen Kreisfrequenzen 0°, bei großen Kreisfrequenzen −90° und bei der Knickkreisfrequenz ω0 −45°.

Für die asymptotische Näherung zeichnet man eine Gerade, die eine Dekade vor der Knickkreisfrequenz bei 0° beginnt und eine Dekade nach der Knickkreisfrequenz bei −90° endet.

SprungantwortBearbeiten

 
Sprungantwort eines PT1-Gliedes (K = 2, T = 1)

Die Sprungantwort des PT1-Gliedes ergibt sich durch Integration der Impulsantwort. Im Bildbereich:

 

Durch die inverse Laplace-Transformation erhält man die Zeitfunktion:

 

Sie hat den Verlauf einer e-Funktion, die sich dem Endwert K annähert. Nach der Zeit t = T beträgt der Wert 0,63 K und nach t = 3 T bereits 0,95 K, es bleibt theoretisch aber immer eine minimale Abweichung vom Endwert erhalten. Die Tangente zum Zeitpunkt Null schneidet den Wert des Verstärkungsfaktors K nach der Zeit T.

OrtskurveBearbeiten

 
Ortskurve eines PT1-Gliedes (T = 1, K = 2)

Die Ortskurve ( ) des PT1-Gliedes verläuft vom Punkt K auf der positiven reellen Achse durch den vierten Quadranten für   in den Punkt 0.

 

Komplex konjugiertes Erweitern liefert:

 

sodass sich Real- und Imaginärteil explizit darstellen lässt:

  und
 

Damit errechnet sich Betrag und Phase:

  sowie
 

Die Extremwerte ergeben sich folgendermaßen:

 
 
 
 
 
 
 
 

Zeitdiskretes PT1-GliedBearbeiten

Das Verhalten eines PT1-Gliedes lässt sich mit dem einfachsten Integrationsverfahren (Euler explizit) zeitdiskret berechnen.

Aus obiger Differentialgleichung folgt mit der Schrittweite   und dem Anfangswert   die Differenzengleichung:

 

Mit einer einfachen Modifikation des Verfahrens, dem implizitem Euler-Verfahren, ergibt sich die Gleichung:

 

Diese Lösung hat in der praktischen Anwendung folgende Unterschiede:

  • Die Näherung des impliziten Verfahrens ist nutzbar für  . Für   ist der Filter deaktiviert und gibt die Eingabewerte unverändert aus. Die Näherung des expliziten Verfahrens ist für   nicht nutzbar und divergiert für  .
  • Verglichen zur analytischen Lösung ergibt das explizite Verfahren eine Näherung mit einer höheren Knickfrequenz, das heißt der Ausgabewert folgt schneller dem Eingabewert. Im Gegensatz dazu ergibt das implizite Verfahren eine Näherung mit niedrigerer Knickfrequenz, das heißt der Ausgangswert folgt dem Eingabewert langsamer.

In der Literatur werden beide Lösungen verwendet.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Heinz Unbehauen: Regelungstechnik I: Klassische Verfahren zur Analyse und Synthese linearer ... 15. Auflage. Vieweg+Teubner, 2008, ISBN 978-3-8348-0497-6, S. 92 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Ekbert Hering, Klaus Bressler, Jürgen Gutekunst: Elektronik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 6. Auflage. Springer Vieweg, 2014, ISBN 978-3-642-05498-3, S. 502 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).