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Das Riemannsche Integral (auch Riemann-Integral) ist eine nach dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann benannte Methode zur Präzisierung der anschaulichen Vorstellung des Flächeninhaltes zwischen der -Achse und dem Graphen einer Funktion. Der riemannsche Integralbegriff gehört neben dem allgemeineren lebesgueschen zu den beiden klassischen der Analysis. In vielen Anwendungen werden nur Integrale von stetigen oder stückweise stetigen Funktionen benötigt. Dann genügt der etwas einfachere, aber weniger allgemeine Begriff des Integrals von Regelfunktionen.

Das dem Riemannschen Integral zu Grunde liegende Konzept besteht darin, den gesuchten Flächeninhalt mit Hilfe des leicht zu berechnenden Flächeninhalts von Rechtecken anzunähern. Man geht dabei so vor, dass man in jedem Schritt zwei Familien von Rechtecken so wählt, dass der Graph der Funktion „zwischen“ ihnen liegt. Indem man sukzessive die Anzahl der Rechtecke erhöht, erhält man mit der Zeit eine immer genauere Annäherung des Funktionsgraphen durch die zu den Rechtecken gehörenden Treppenfunktionen. Entsprechend lässt sich der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der -Achse durch die Flächeninhalte der Rechtecke approximieren.

DefinitionenBearbeiten

Es gibt im Wesentlichen zwei gängige Verfahren zur Definition des Riemann-Integrals:

  • das Jean Gaston Darboux zugeschriebene Verfahren mittels Ober- und Untersummen und
  • Riemanns ursprüngliches Verfahren mittels Riemann-Summen.

Die beiden Definitionen sind äquivalent: Jede Funktion ist genau dann im darbouxschen Sinne integrierbar, wenn sie im riemannschen Sinne integrierbar ist; in diesem Fall stimmen die Werte der beiden Integrale überein. In typischen Analysis-Einführungen, vor allem in der Schule, wird heute weitgehend die Darbouxsche Formulierung zur Definition benutzt. Riemannsche Summen treten oft als weiteres Hilfsmittel hinzu, etwa zum Beweis des Hauptsatzes der Integral- und Differenzialrechnung.

Ober- und UntersummenBearbeiten

Dieser Zugang wird meist Jean Gaston Darboux zugeschrieben.

 
Untersumme (grün) und Obersumme (grün plus lavendel) für eine Zerlegung in vier Teilintervalle

Das Integrationsintervall wird hierbei in kleinere Stücke zerlegt, der gesuchte Flächeninhalt zerfällt dabei in senkrechte Streifen. Für jeden dieser Streifen wird nun einerseits das größte Rechteck betrachtet, das von der  -Achse ausgehend den Graphen nicht schneidet (im Bild grün), und andererseits das kleinste Rechteck, das von der  -Achse ausgehend den Graphen ganz umfasst (im Bild jeweils das grüne Rechteck zusammen mit der grauen Ergänzung darüber). Die Summe der Flächeninhalte der großen Rechtecke wird als Obersumme, die der kleinen als Untersumme bezeichnet. Kann man durch geeignete, ausreichend feine Unterteilung des Integrationsintervalles den Unterschied zwischen Ober- und Untersumme beliebig klein machen, so gibt es nur eine Zahl, die kleiner oder gleich jeder Obersumme und größer oder gleich jeder Untersumme ist, und diese Zahl ist der gesuchte Flächeninhalt, das Riemannsche Integral.

Für die mathematische Präzisierung seien im Folgenden   ein Intervall und   eine beschränkte Funktion.

Unter einer Zerlegung   von   in   Teile versteht man eine endliche Folge   mit  . Dann werden die zu dieser Zerlegung gehörende Ober- und Untersumme definiert als

 
 .

Die Funktion wird dabei durch die Treppenfunktion ersetzt, die auf jedem Teilintervall konstant gleich dem Supremum beziehungsweise Infimum der Funktion auf diesem Intervall ist.

 
Bei einer feineren Unterteilung wird die Obersumme kleiner und die Untersumme größer

Bei einer Verfeinerung der Zerlegung wird die Obersumme kleiner, die Untersumme größer (oder sie bleiben gleich). Einer „unendlich feinen“ Zerlegung entsprechen also Infimum der Obersummen sowie Supremum der Untersummen; diese werden als oberes beziehungsweise unteres darbouxsches Integral von   bezeichnet:

 
 .

Es werden also jeweils alle möglichen Zerlegungen   des Intervalls in eine beliebige endliche Anzahl von Teilintervallen betrachtet.

 
Beispiel der Zerlegung eines Intervalls [a,b] in n=8 Teile (Obersumme lila und Untersumme orange)

Es gilt stets

 

Gilt Gleichheit, so heißt   Riemann-integrierbar (oder Darboux-integrierbar), und der gemeinsame Wert

 

heißt das Riemannsche Integral (oder Darboux-Integral) von   über dem Intervall  .

Riemann-SummenBearbeiten

Der obige Zugang zum Riemann-Integral über Ober- und Untersummen stammt, wie dort beschrieben, nicht von Riemann selbst, sondern von Jean Gaston Darboux. Riemann untersuchte zu einer Zerlegung   des Intervalls   und zu   gehörigen Zwischenstellen   Summen der Form

 
 
Geometrische Veranschaulichung der riemannschen Zwischensummen (orange Rechtecke). Es gilt für die gezeigte Zerlegung  

auch als Riemann-Summen oder Riemannsche Zwischensummen bezüglich der Zerlegung   und den Zwischenstellen   bezeichnet. Riemann nannte eine Funktion   über dem Intervall   integrierbar, wenn sich die Riemann-Summen bezüglich beliebiger Zerlegungen unabhängig von den gewählten Zwischenstellen einer festen Zahl   beliebig nähern, sofern man die Zerlegungen   nur hinreichend fein wählt. Die Feinheit einer Zerlegung Z wird dabei über die Länge des größten Teilintervalls  , das durch Z gegeben ist, gemessen, also durch die Zahl:

 

Die Zahl   ist dann das Riemann-Integral von   über  . Ersetzt man die Veranschaulichungen „hinreichend fein“ und „beliebig nähern“ durch eine präzise Formulierung, so lässt sich diese Idee wie folgt formalisieren.

Eine Funktion   heißt über dem Intervall   Riemann-integrierbar, wenn es zu einer festen Zahl   und zu jedem   ein   gibt, so dass für jede Zerlegung   mit   und für beliebige zu   gehörige Zwischenstellen  

 

gilt. Die Zahl   heißt dann das Riemann-Integral von   über   und man schreibt dafür

  oder  .

Riemann-IntegrierbarkeitBearbeiten

Lebesgue-KriteriumBearbeiten

Eine auf einem kompakten Intervall   beschränkte Funktion   ist nach dem Lebesgue'schen Kriterium für Riemann-Integrierbarkeit genau dann auf   Riemann-integrierbar, falls sie auf diesem Intervall fast überall stetig ist. Falls die Funktion Riemann-integrierbar ist, so ist sie auch Lebesgue-integrierbar und beide Integrale sind identisch.

Insbesondere ist über einem kompakten Intervall jede Regelfunktion, jede monoton wachsende oder monoton fallende Funktion und jede stetige Funktion Riemann-integrierbar.

BeispieleBearbeiten

Die Funktion   mit

 

ist stetig in allen irrationalen Zahlen und unstetig in allen rationalen Zahlen. Die Menge der Unstetigkeitsstellen liegt zwar dicht im Definitionsbereich, da diese Menge aber abzählbar ist, ist sie eine Nullmenge. Die Funktion ist damit Riemann-integrierbar.

Die Dirichlet-Funktion   mit

 

ist nirgendwo stetig, sie ist also nicht Riemann-integrierbar. Sie ist aber Lebesgue-integrierbar, da sie fast überall Null ist.

Die Funktion   mit

 

hat abzählbar viele Unstetigkeitsstellen, ist also Riemann-integrierbar. Bei Null existiert der rechtsseitige Grenzwert nicht. Die Funktion hat dort daher eine Unstetigkeitsstelle der zweiten Art. Die Funktion ist somit keine Regelfunktion, das heißt, sie lässt sich nicht gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximieren. Das Riemann-Integral erweitert also das Integral, das über den Grenzwert von Treppenfunktionen von Regelfunktionen definiert ist.

Uneigentliche Riemann-IntegraleBearbeiten

Als uneigentliche Riemann-Integrale bezeichnet man:

  • Integrale mit den Intervallgrenzen   oder  ; dabei ist
 ,
  und
  mit beliebigem  
  • Integrale mit unbeschränkten Funktionen in einer der Intervallgrenzen; dabei ist
  bzw.  

Mehrdimensionales Riemannsches IntegralBearbeiten

Das mehrdimensionale Riemann-Integral basiert auf dem Jordan-Maß. Sei   das n-dimensionale Jordan-Maß und sei   eine jordan-messbare Teilmenge. Außerdem sei   eine endliche Folge von Teilmengen von   mit   und   für   und sei weiter   die Funktion, welche die maximale Distanz in einer Menge   zurückgibt. Setze nun

 .

Sei   eine Funktion, dann heißt die Summe

 

Riemannsche Zerlegung der Funktion  .

Existiert der Grenzwert

 ,

so ist die Funktion   Riemann-integrierbar und man setzt

 .

Dieser Integralbegriff hat die gewöhnlichen Eigenschaften eines Integrals, die Integralfunktion ist linear und es gilt der Satz von Fubini.

Birkhoff-IntegralBearbeiten

Eine Verallgemeinerung des Riemann-Integrals für Banachraum-wertige Funktionen stellt das Birkhoff-Integral dar. Dieses verallgemeinert insbesondere den Zugang über Riemann-Summen.

QuellenBearbeiten

WeblinksBearbeiten