Hauptmenü öffnen

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

mathematischer Satz

Allgemeiner FallBearbeiten

Die Ungleichung sagt aus: Wenn   und   Elemente eines reellen oder komplexen Vektorraums mit innerem Produkt sind, dann gilt für das Skalarprodukt bzw. innere Produkt   die Beziehung

 

Gleichheit gilt genau dann, wenn   und   linear abhängig sind.

Äquivalente Formulierungen erhält man unter Verwendung der von dem Skalarprodukt induzierten Norm  :

 

bzw.

 

Im reellen Fall kann man auf die Betragsstriche verzichten:

 

SpezialfälleBearbeiten

Auf den Raum   mit dem Standardskalarprodukt angewandt, erhält man:

 

Im Fall quadratisch integrierbarer komplexwertiger Funktionen erhält man:

 

Für quadratisch integrierbare Zufallsvariablen erhält man:

 

Diese drei Ungleichungen werden durch die Hölder-Ungleichung verallgemeinert.

Auf quadratische Matrizen angewandt, erhält man für die Spur:

 

Im   lässt sich die Aussage der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung in Form einer Gleichung präzisieren:

 

Der Summand   ist stets nicht-negativ. Er ist genau dann Null, wenn   und   linear abhängig sind.

GeschichteBearbeiten

Benannt ist die Ungleichung nach Augustin Louis Cauchy, Wiktor Jakowlewitsch Bunjakowski und Hermann Amandus Schwarz. Bei Cauchy findet sich die Summenform der Ungleichung in seiner Analyse algébrique (1821).[1] Die Integralform der Ungleichung wurde historisch erstmals 1859 von Bunjakowski in einer Arbeit über Ungleichungen zwischen Integralen veröffentlicht; Schwarz veröffentlichte seine Arbeit erst 1884 ohne Bezugnahme auf die Arbeit von Bunjakowski. Entsprechend dieser Entwicklung findet sich teilweise auch nur die Benennung als Cauchy-Ungleichung für den diskreten, endlichen Fall und als Bunjakowski-Ungleichung[2] oder Schwarzsche Ungleichung[3] im Integral-Fall.

AnwendungenBearbeiten

In einem Vektorraum mit innerem Produkt lässt sich aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung die Dreiecksungleichung für die induzierte Norm

 

ableiten, und damit in weiterer Folge zeigen, dass eine so definierte Norm die Normaxiome erfüllt.

Eine weitere Folgerung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist, dass das innere Produkt eine stetige Funktion ist.

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung stellt sicher, dass im Ausdruck

 

der Betrag des Bruches stets kleiner oder gleich eins ist, sodass also   wohldefiniert ist und damit der Winkel auf beliebige Räume mit innerem Produkt verallgemeinert werden kann.

In der Physik wird die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung bei der Herleitung der Heisenbergschen Unschärferelation verwendet.

Beweis der UngleichungBearbeiten

Ist einer der Vektoren der Nullvektor, so ist die Cauchy-Schwarz-Ungleichung trivialerweise erfüllt. In den folgenden Beweisen wird daher teils ohne besonderen Hinweis   und   vorausgesetzt.

Spezialfall reelles StandardskalarproduktBearbeiten

Beweis aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen MittelBearbeiten

Ein Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung kann beispielsweise mit Hilfe der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel erfolgen:

Definiert man für   die Werte

   und   

so ergibt sich aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die Beziehung

 

Daraus folgt unmittelbar die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Beweis aus der Umordnungs-UngleichungBearbeiten

Ein anderer Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ergibt sich aus der Umordnungs-Ungleichung. Setzt man

  und  

sowie   und   so gilt

 

Wegen der Umordnungs-Ungleichung ist nun

 

Zusammengefasst erhält man also

 

Daraus ergibt sich die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Allgemeines SkalarproduktBearbeiten

Die oben angegebenen Beweise beweisen nur den Spezialfall der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung für das Standardskalarprodukt im  . Der Beweis für den allgemeinen Fall des Skalarprodukts in einem Vektorraum mit innerem Produkt ist jedoch einfach.

Reeller FallBearbeiten

Unter der Voraussetzung   gilt  . Für jedes   gilt

 

Wählt man nun speziell   so ergibt sich

 

also

 

Ziehen der Quadratwurzel ergibt nun genau die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

 

Komplexer FallBearbeiten

Der Beweis im komplexen Fall verläuft ähnlich, allerdings ist zu beachten, dass das Skalarprodukt in diesem Fall keine Bilinearform, sondern eine Hermitesche Form ist. Der Beweis wird für die Variante linear im ersten und semilinear im zweiten Argument geführt; wird die umgekehrte Variante gewählt, so ist an den entsprechenden Stellen die komplex Konjugierte zu nehmen.

Ist  , so ist die Aussage klar. Sei  . Für jedes   gilt

 

Hier führt nun die spezielle Wahl   auf

 

also

 

Verallgemeinerung für positiv semidefinite, symmetrische BilinearformenBearbeiten

Man kann den Beweis des Satzes so umformulieren, dass die positive Definitheit des Skalarprodukts nicht verwendet wird. Damit gilt die Aussage auch für jede positiv semidefinite, symmetrische Bilinearform (beziehungsweise hermitesche Sesquilinearform)  .

Beweis für den reellen FallBearbeiten

Man wählt denselben Ansatz, wie im Beweis, der das Skalarprodukt verwendet, trifft hier aber die Wahl

 

Damit muss man nicht mehr fordern, dass   nicht 0 ist. Das ergibt

 

Ähnlich wie im obigen Beweis folgert man

 

und die Behauptung ist gezeigt, wenn   gegen 0 konvergiert. Für   folgt  .

Bedingungen für die GleichheitBearbeiten

Auch hier ist die Situation denkbar, dass aus der Ungleichung eine Gleichheit wird, zum Beispiel wenn (wie beim Skalarprodukt)   linear abhängig sind. Allerdings sind auch Fälle denkbar, wo die Gleichheit eintritt, ohne dass eine lineare Abhängigkeit vorliegt. Man betrachte etwa eine entartete Bilinearform  . Dann gibt es ein  , so dass für alle   des Vektorraums   ist. Sei nun   aus dem Vektorraum beliebig. Man erhält dann

 

und

 

also

 

auch für den Fall, dass   und   linear unabhängig sind.

QuellenBearbeiten

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Peter Schreiber: The Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality, in: Ders.: Hermann Grassmann, Werk und Wirkung. Internationale Fachtagung anläßlich des 150. Jahrestages des ersten Erscheinens der "linearen Ausdehnungslehre", Universität Greifswald, 1995, S. 64–70