Wiener-Filter

Filter zur Rauschunterdrückung bei der Signalverarbeitung

Das Wiener-Filter oder auch Wiener-Kolmogoroff-Filter ist ein Filter zur Signalverarbeitung, welches in den 1940er Jahren von Norbert Wiener und Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow unabhängig voneinander entwickelt[1] und 1949 durch Norbert Wiener publiziert wurde.[2] Es führt, gemessen an der mittleren quadratischen Abweichung, eine optimale Rauschunterdrückung durch.[2]

Anwendung des Wiener-Filters zur Rauschunterdrückung. (links: Original, Mitte: verrauschtes Bild, rechts: gefiltertes Bild)

Eigenschaften

Bearbeiten

Das Wiener-Filter wird durch die folgenden Eigenschaften beschrieben:[3]

  1. Voraussetzung: Das Signal und das additive Rauschen gleichen stochastischen Prozessen mit bekannter Spektralverteilung oder bekannter Autokorrelation und Kreuzkorrelation
  2. Fehlerkriterium: Minimale mittlere quadratische Abweichung

Modelleigenschaften

Bearbeiten

Als Eingangssignal des Wiener-Filters wird ein Signal   gestört durch ein additives Rauschen   vorausgesetzt:

 

Das Ausgangssignal   ergibt sich durch die Faltung des Eingangssignals mit der Filterfunktion  :

 

Fehler   und quadratischer Fehler   ergeben sich aus der Abweichung des Ausgangssignals vom zeitversetzten Eingangssignal   Abhängig von dem Wert d des Zeitversatzes können unterschiedliche Problemstellungen betrachtet werden:

  • Für   : Prädiktion
  • Für   : Filterung
  • Für   : Glättung

Stellt man   als Faltungsintegral dar:

 

so ergibt sich der Erwartungswert des quadratischen Fehlers zu:

 

wobei

  •   die Autokorrelation der Funktion  
  •   die Autokorrelation der Funktion  
  •   die Kreuzkorrelation der Funktionen   und   sind.

Wenn das Signal   und das Rauschen   unkorreliert sind (und damit die Kreuzkorrelation gleich Null ist), ergeben sich folgende Vereinfachungen

  •  
  •  

Das Ziel ist es nun,   durch Bestimmung eines optimalen   zu minimieren.

Stationäre Lösungen

Bearbeiten

Das Wiener-Filter hat jeweils eine Lösung für den kausalen und den nicht-kausalen Fall.

Nicht-kausale Lösung

Bearbeiten
 

wobei   und   jeweils die Spektrale Leistungsdichte als Laplacetransformation der Kreuz- bzw. der Autokorrelation   und   ist.

Unter der Voraussetzung, dass   optimal ist, vereinfacht sich die Gleichung, die das Minimum der mittleren quadratischen Abweichung (Minimum Mean-Square Error, MMSE) beschreibt, zu

 

Die Lösung   ist die inverse beidseitige Laplacetransformation von  .

Kausale Lösung

Bearbeiten
 

Wobei

  •   die positive Lösung der inversen Laplace-Transformation von  ,
  •   die positive Lösung der inversen Laplace-Transformation von   und
  •   die negative Lösung der inversen Laplace-Transformation von   ist.

Siehe auch

Bearbeiten

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Kristian Kroschel: Statistische Nachrichtentheorie. Signal- und Mustererkennung, Parameter- und Signalschätzung. 3., neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-61306-4.
  2. a b Norbert Wiener: Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series. Wiley, New York NY 1949.
  3. Robert Grover Brown, Patrick Y. C. Hwang: Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering. With MATLAB exercises and solutions. 3. Auflage. Wiley u. a., New York NY 1996, ISBN 0-471-12839-2.