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In der Signalanalyse wird die Kreuzkorrelationsfunktion zur Beschreibung der Korrelation zweier Signale und bei unterschiedlichen Zeitverschiebungen zwischen den beiden Signalen eingesetzt. Kreuz steht hierbei für den Fall der Funktion:

Handelt es sich um einen schwach stationären Prozess, so ist die Korrelationsfunktion nicht mehr von der Wahl der Zeitpunkte und , sondern nur von deren Differenz abhängig.

DefinitionBearbeiten

Es gilt für Energiesignale:

 

und für Leistungssignale:

 

mit   als der konjugiert komplexen Funktion von  , dem Operatorsymbol   als Kurzschreibweise der Kreuzkorrelation und   als dem der Faltungsoperation.

Analog wird die diskrete Kreuzkorrelation, diese spielt im Bereich der diskreten Signalverarbeitung eine wesentliche Rolle, mit der Folge   und einer Verschiebung   festgelegt als:

  =   (Energiesignale)
  =   (Leistungssignale)

In der digitalen Signalverarbeitung wiederum ist eine endliche Mittelung mit Argumenten beginnend bei Index 0 auf Grund der Architektur von Rechnerregistern erforderlich, wovon es eine vor- und eine unvorgespannte Version gibt:

  (Vorspannversion)
  (unvorgespannte Version)

Die Kreuzkorrelation ist mit der Kreuzkovarianz eng verwandt.

EigenschaftenBearbeiten

 
Zusammenhang zwischen Faltung, Kreuzkorrelation und Autokorrelation.

Für alle   gilt

 

sowie

 

und

 

mit den Autokorrelationsfunktionen   und  .

Sie zeigt z. B. Spitzen bei Zeitverschiebungen, die der Signallaufzeit vom Messort des Signals   zum Messort des Signals   entsprechen. Auch Laufzeitunterschiede von einer Signalquelle zu beiden Messorten können auf diese Weise festgestellt werden. Die Kreuzkorrelationsfunktion eignet sich daher besonders zur Ermittlung von Übertragungswegen und zur Ortung von Quellen.

Rechentechnisch wird die Kreuzkorrelationsfunktion in der Regel über die inverse Fouriertransformation des Kreuzleistungsspektrums   ermittelt:

 

Verbindung mit der KreuzkovarianzBearbeiten

Ist eines der Signale   oder   nullsymmetrisch, d. h. ihr Mittelwert über das Signal ist Null   oder  , ist die Kreuzkorrelation identisch mit der Kreuzkovarianz. Bekannte Vertreter der nullsymmetrischen Funktionen sind zum Beispiel die Sinus- und Kosinusfunktionen.

LiteraturBearbeiten

  • Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Einführung in die Systemtheorie. 4. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0.
  • Rüdiger Hoffmann: Signalanalyse und -erkennung. Springer, ISBN 3-540-63443-6.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten