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Faltung (Mathematik)

integrales Produkt von Funktionen

In der Funktionalanalysis, einem Teilbereich der Mathematik, beschreibt die Faltung, auch Konvolution (von lateinisch convolvere „zusammenrollen“), einen mathematischen Operator, der für zwei Funktionen und eine dritte Funktion liefert. Die Faltung kann als ein Produkt von Funktionen verstanden werden.

Anschaulich ist der gewichtete Mittelwert von , wobei die Gewichtung durch gegeben ist. Der Funktionswert wird dabei mit gewichtet. Dadurch erhält man für jedes einen anderen gewichteten Mittelwert. Die resultierende „Überlagerung“ zwischen und einer gespiegelten und verschobenen Version von kann z. B. verwendet werden, um einen gleitenden Durchschnitt zu bilden.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Faltung für Funktionen auf RnBearbeiten

Die Faltung   zweier Funktionen   ist definiert durch

 

Um die Definition möglichst allgemein zu halten, schränkt man den Raum der zulässigen Funktionen zunächst nicht ein und fordert stattdessen, dass das Integral für fast alle Werte von   wohldefiniert ist.

Im Fall  , also integrierbare Funktionen, deren uneigentliches Betragsintegral endlich ist, kann man zeigen, dass diese Voraussetzung immer erfüllt ist.[1] Also lässt sich die Faltung als Produkt auf   auffassen.

Faltung periodischer FunktionenBearbeiten

Für periodische Funktionen   und   einer reellen Variablen mit Periode   definiert man die Faltung als

 ,

wobei sich die Integration über ein beliebiges Intervall mit Periodenlänge   erstreckt. Es ist   wiederum eine periodische Funktion mit Periode  .

Faltung für Funktionen auf IntervallenBearbeiten

Im Fall eines beschränkten Definitionsbereichs   setzt man   und   auf den gesamten Raum fort, um die Faltung ausführen zu können. Hierzu gibt es je nach Anwendung mehrere Ansätze.

Fortsetzung durch Null
Man setzt die Funktionen per Definition außerhalb des Definitionsbereiches durch die Nullfunktion fort:  .
Periodische Fortsetzung
Man setzt die Funktionen außerhalb des Definitionsbereiches periodisch fort und verwendet die für periodische Funktionen definierte Faltung.

Im Allgemeinen ist die Faltung für derart fortgesetzte Funktionen nicht mehr wohldefiniert. Eine oft auftretende Ausnahme bilden stetige Funktionen mit kompaktem Träger  , die durch Null zu einer integrierbaren Funktion in   fortsetzbar sind.

BedeutungBearbeiten

 
Faltung der Rechteckfunktion mit sich selbst ergibt die Dreiecksfunktion.

Eine anschauliche Deutung der eindimensionalen Faltung ist die Gewichtung einer von der Zeit abhängigen Funktion mit einer anderen. Der Funktionswert der Gewichtsfunktion   an einer Stelle   gibt an, wie stark der um   zurückliegende Wert der gewichteten Funktion, also  , in den Wert der Ergebnisfunktion zum Zeitpunkt   eingeht.

Die Faltung ist ein geeignetes Modell zur Beschreibung zahlreicher physikalischer Vorgänge.

GlättungskernBearbeiten

 
Faltung mit der Gauß-Funktion.

Eine Methode, eine Funktion   zu „glätten“, besteht darin, sie mit einem so genannten Glättungskern   zu falten. Die entstehende Funktion   ist glatt (unendlich oft stetig differenzierbar), ihr Träger ist nur etwas größer als der von  , und die Abweichung in der L1-Norm lässt sich durch eine vorgegebene positive Konstante beschränken.

Ein  -dimensionaler Glättungskern oder Mollifier ist eine unendlich oft stetig differenzierbare Funktion  , die nichtnegativ ist, ihren Träger in der abgeschlossenen Einheitskugel   hat und das Integral 1, durch entsprechende Wahl einer Konstanten  , besitzt.

Ein Beispiel ist der Glättungskern

 

wobei   eine Normierungskonstante ist.

Aus dieser Funktion kann man weitere Glättungskerne bilden, indem man für   setzt:

  wobei   für  .

 
Glättungskerne j und j1/2

BeispieleBearbeiten

RechteckfunktionBearbeiten

Sei

 .

Durch Faltung von   (rot dargestellt) mit dem Glättungskern   entsteht eine glatte Funktion   (blau dargestellt) mit kompaktem Träger, die von f in der L1-Norm um etwa 0,4 abweicht, d. h.

 .

 

Bei der Faltung mit   für e kleiner 1/2 erhält man glatte Funktionen, die in der Integralnorm noch dichter bei f liegen.

NormalverteilungBearbeiten

Wird eine Normalverteilung mit dem Mittelwert   und der Standardabweichung   gefaltet mit einer zweiten Normalverteilung mit den Parametern   und  , so ergibt sich wieder eine Normalverteilung mit dem Mittelwert   und der Standardabweichung  .

Beweis
        

Damit lässt sich die Gaußsche Fehleraddition begründen: Gegeben seien zwei Stäbe mit fehlerbehafteten Längen   und  . Will man nun wissen wie lang der zusammengesetzte Stab ist, dann kann man die beiden Stäbe als zufallsverteilte Ensemble betrachten. Es kann z. B. sein, dass Stab 1 in Wirklichkeit   lang ist. Dieses Ereignis tritt mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit auf, die man aus der Normalverteilung mit   ablesen kann. Für dieses Ereignis ist dann die Gesamtlänge der beiden Stäbe normalverteilt und zwar mit der Normalverteilung des 2. Stabes multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit dass der 1. Stab   lang ist. Geht man dies für alle Stablängen für Stab 1 durch und addiert die Verteilungen des zusammengesetzten Stabes, dann entspricht dies der im Beweis angegebenen Integration, welche äquivalent einer Faltung ist. Der zusammengesetzte Stab ist also auch normalverteilt und   lang.

Eigenschaften der FaltungBearbeiten

Algebraische EigenschaftenBearbeiten

Die Menge   bildet zusammen mit der Addition und der Faltung einen kommutativen Ring, der für die Faltung kein neutrales Element besitzt. Im Detail gelten also die folgenden Eigenschaften:

 
 
 
  • Assoziativität mit der skalaren Multiplikation
 
Wobei   eine beliebige komplexe Zahl ist.

AbleitungsregelBearbeiten

 

Dabei ist   die distributionelle Ableitung von  . Falls   (total) differenzierbar ist, so stimmen distributionelle Ableitung und (totale) Ableitung überein. Zwei interessante Beispiele dazu sind:

  •  , wobei   die Ableitung der Delta-Distribution ist. Die Ableitung lässt sich also als Faltungsoperator auffassen.
  •  , wobei   die Sprungfunktion ist, ergibt eine Stammfunktion für  .

IntegrationBearbeiten

Sind   und   integrierbare Funktionen, so gilt

 

Dies ist eine einfache Folgerung aus dem Satz von Fubini.

FaltungstheoremBearbeiten

Mittels der Fouriertransformierten

 

kann man die Faltung zweier Funktionen als Produkt ihrer Fouriertransformierten ausdrücken:

 

Ein ähnliches Theorem gilt auch für die Laplacetransformation. Die Umkehrung des Faltungssatzes besagt[2]:

 

Dabei ist   das punktweise Produkt der beiden Funktionen,   ist also gleichbedeutend mit   an jeder Stelle  .

SpiegelungsoperatorBearbeiten

Es sei   der Spiegelungsoperator mit   für alle  , dann gilt

  •   und
  •  

Faltung dualer Lp-Funktionen ist stetigBearbeiten

Sei   und   mit   und  . Dann ist die Faltung   eine beschränkte stetige Funktion auf  . Ist  , so verschwindet die Faltung im Unendlichen, ist also eine  -Funktion. Diese Aussage ist ebenfalls richtig, wenn   eine reelle Hardy-Funktion ist und   in BMO liegt.

Verallgemeinerte Young’sche UngleichungBearbeiten

Aus der Hölder’schen Ungleichung folgt die verallgemeinerte Young’sche Ungleichung

 

für   und  .

Faltung als IntegraloperatorBearbeiten

Sei  , dann kann man die Faltung auch als Integraloperator mit dem Integralkern   auffassen. Das heißt man kann die Faltung als Operator   definiert durch

 

auffassen. Dies ist ein linearer und kompakter Operator, der außerdem normal ist. Sein adjungierter Operator ist gegeben durch

 

Außerdem ist   ein Hilbert-Schmidt-Operator.

Diskrete FaltungBearbeiten

In der digitalen Signalverarbeitung und der digitalen Bildverarbeitung hat man es meist mit diskreten Funktionen zu tun, die miteinander gefaltet werden sollen. In diesem Fall tritt an die Stelle des Integrals eine Summe und man spricht von der zeitdiskreten Faltung.

DefinitionBearbeiten

Seien   Funktionen mit dem diskreten Definitionsbereich  . Dann ist die diskrete Faltung definiert durch

 .

Der Summationsbereich ist der gesamte Definitionsbereich   beider Funktionen. Im Fall eines beschränkten Definitionsbereichs werden   und   meist durch Nullen fortgesetzt.

Ist der Definitionsbereich endlich, so können die beiden Funktionen auch als Vektoren  , respektive   verstanden werden. Die Faltung ist dann gegeben als Matrix-Vektor-Produkt:

 

mit der Matrix

 

mit   und  [3]

Wenn man die Spalten von   unter und über den   periodisch fortsetzt, statt mit Nullen zu ergänzen, wird   zu einer zyklischen Matrix, und man erhält die zyklische Faltung.

AnwendungenBearbeiten

Das Produkt zweier Polynome   und   ist zum Beispiel die diskrete Faltung ihrer mit Nullen fortgesetzten Koeffizientenfolgen. Die dabei auftretenden unendlichen Reihen haben stets nur endlich viele Summanden, die ungleich Null sind. Analog definiert man das Produkt zweier formaler Laurentreihen mit endlichem Hauptteil.

Ein in Bezug auf die Rechenleistung effizienter Algorithmus für die Berechnung der diskreten Faltung ist die Schnelle Faltung, die sich ihrerseits auf die Schnelle Fourier-Transformation (FFT) zur effizienten Berechnung der diskreten Fourier-Transformation stützt.

DistributionenBearbeiten

Die Faltung wurde von Laurent Schwartz, der als Begründer der Distributionentheorie gilt, auf Distributionen erweitert.[4]

Faltung mit einer FunktionBearbeiten

Eine andere Verallgemeinerung ist die Faltung einer Distribution   mit einer Funktion  . Diese ist definiert durch

 

wobei   ein Translations- und Spiegelungsoperator ist, welcher durch   definiert ist.

Faltung zweier DistributionenBearbeiten

Seien   und   zwei Distributionen, wobei eine einen kompakten Träger hat. Dann ist für alle   die Faltung zwischen diesen Distributionen definiert durch

 .

Eine weitergehende Aussage stellt sicher, dass es eine eindeutige Distribution   gibt mit

 

für alle   .

Algebraische EigenschaftenBearbeiten

Seien  ,   und   Distributionen, dann gilt

 
 
  • Assoziativität mit der skalaren Multiplikation
 
Wobei   eine beliebige komplexe Zahl ist.

FaltungstheoremBearbeiten

Mit   wird die Fourier-Transformation von Distributionen bezeichnet. Sei nun   eine temperierte Distribution und   eine Distribution mit kompaktem Träger. Dann ist   und es gilt

 .

Topologische GruppenBearbeiten

Faltung auf topologischen GruppenBearbeiten

Die beiden Faltungsbegriffe können gemeinsam beschrieben und verallgemeinert werden durch einen allgemeinen Faltungsbegriff für komplexwertige m-integrierbare Funktionen auf einer geeigneten topologischen Gruppe G mit einem Maß m (z. B. einer lokalkompakten hausdorffschen topologischen Gruppe mit einem Haar-Maß):

 

Dieser Faltungsbegriff spielt eine zentrale Rolle in der Darstellungstheorie dieser Gruppen, deren wichtigste Vertreter die Lie-Gruppen bilden. Die Algebra der integrierbaren Funktionen mit dem Faltungsprodukt ist für kompakte Gruppen das Analogon zum Gruppenring einer endlichen Gruppe. Weiterführende Themen sind:

Die Faltungsalgebra endlicher GruppenBearbeiten

Für eine endliche Gruppe   mit   wird die Menge   mit der Addition und der skalaren Multiplikation ein  Vektorraum, isomorph zu   Mit der Faltung   wird   dann zu einer Algebra, genannt die Faltungsalgebra.
Die Faltungsalgebra besitzt eine Basis indiziert mit den Gruppenelementen   wobei

 

Mit der Faltung gilt:  
Wir definieren eine Abbildung zwischen   und   indem wir für Basiselemente definieren:   und linear fortsetzen. Diese Abbildung ist offensichtlich bijektiv. Man erkennt an obiger Gleichung für die Faltung zweier Basiselemente aus   dass die Multiplikation in   der in   entspricht. Damit sind die Faltungsalgebra und die Gruppenalgebra als Algebren isomorph.

Mit der Involution   wird   zu einer  Algebra. Es gilt  
Eine Darstellung   einer Gruppe   setzt fort zu einem  Algebrenhomomorphismus   durch  
Da   als  Algebrenhomomorphismus insbesondere multiplikativ ist, erhalten wir   Falls   unitär ist, gilt außerdem   Die Definition einer unitären Darstellung findet sich im Kapitel Eigenschaften. Dort wird auch gezeigt, dass wir eine lineare Darstellung ohne Einschränkung als unitär annehmen können.

Im Rahmen der Faltungsalgebra kann man auf Gruppen eine Fouriertransformation durchführen. In der Harmonischen Analyse wird gezeigt, dass diese Definition mit der Definition der Fouriertransformation auf   konsistent ist.
Sei   eine Darstellung,   dann definiert man die Fouriertransformierte   durch die Formel

 

Es gilt dann  

AnwendungBearbeiten

  • In der Optik können verschiedenste Bildstörungen als Faltung des Originalbildes mit einem entsprechenden Kern modelliert werden. In der digitalen Bildbearbeitung wird die Faltung daher benutzt, um solche Effekte zu simulieren. Auch andere digitale Effekte beruhen auf der Faltung. Bei der Richtungsbestimmung von Bildkanten sind 3×3- und 5×5-Faltungen essentiell.
  • Bei einem linearen, zeitinvarianten Übertragungsglied ergibt sich die Antwort auf eine Anregung durch Faltung der Anregungsfunktion mit der Impulsantwort des Übertragungsglieds. Beispielsweise stellt die lineare Filterung eines elektronischen Signals die Faltung der Original-Funktion mit der Impulsantwort dar.
  • Faltungen werden genutzt, um spezielle Lösungen bestimmter partieller Differentialgleichungen zu konstruieren. Ist   die Fundamentallösung des partiellen Differentialoperators  , so ist   eine Lösung der partiellen Differentialgleichung  .
  • Diffusions-Prozesse lassen sich durch die Faltung beschreiben.
  • Wenn   und   zwei stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit den Wahrscheinlichkeitsdichten   und   sind, dann ist die Dichte der Summe   gleich der Faltung  .
  • In der Akustik (Musik) wird die Faltung (unter Zuhilfenahme der FFT = schnelle Fouriertransformation) auch zur digitalen Erzeugung von Hall und Echos und zur Anpassung von Klangeigenschaften verwendet. Dazu wird die Impulsantwort des Raumes, dessen Klangcharakteristik man übernehmen möchte, mit dem Signal, das man beeinflussen möchte, gefaltet.
  • In der Ingenieurmathematik und der Signalverarbeitung werden Eingangssignale (äußere Einflüsse) mit der Impulsantwort (Reaktion des betrachteten Systems auf einen Diracimpuls als Signaleingang, auch Gewichtsfunktion) gefaltet, um die Antwort eines LTI-Systems auf beliebige Eingangssignale zu berechnen. Die Impulsantwort ist nicht zu verwechseln mit der Sprungantwort. Erstere beschreibt die Gesamtheit aus System und einem Dirac-Impuls als Eingangs-Testfunktion, letztere die Gesamtheit aus System und einer Sprungfunktion als Eingangs-Testfunktion. Die Berechnungen finden meist nicht im Zeitbereich, sondern im Frequenzbereich statt. Dazu müssen sowohl vom Signal als auch von der das Systemverhalten beschreibenden Impulsantwort Spektralfunktionen im Frequenzbereich vorliegen, oder ggf. aus dem Zeitbereich per Fouriertransformation oder einseitiger Laplacetransformation dorthin transformiert werden. Die entsprechende Spektralfunktion der Impulsantwort wird Frequenzgang oder Übertragungsfunktion genannt.
  • In der numerischen Mathematik erhält man durch Faltung der Boxfunktion   mit   die B-Spline-Basisfunktion   für den Vektorraum der stückweisen Polynome vom Grad k.
  • In der Computeralgebra kann die Faltung für eine effiziente Berechnung der Multiplikation vielstelliger Zahlen eingesetzt werden, da die Multiplikation im Wesentlichen eine Faltung mit nachfolgendem Übertrag darstellt. Die Komplexität dieses Vorgehens ist mit   nahe linear, während das „Schulverfahren“ quadratischen Aufwand   hat, wobei   die Zahl der Stellen ist. Dies lohnt sich trotz des zusätzlichen Aufwands, der hierbei für die Fouriertransformation (und deren Umkehrung) erforderlich ist.
  • In der Hydrologie verwendet man die Faltung, um den durch ein Niederschlags-Abfluss-Ereignis produzierten Abfluss in einem Einzugsgebiet bei vorgegebener Menge und Dauer des Niederschlages zu berechnen. Dazu wird der sogenannte „Unit-Hydrograph“ (Einheits- Abflussganglinie) – die Abflussganglinie auf einen Einheitsniederschlag von vorgegebener Dauer – mit der zeitlichen Funktion des Niederschlages gefaltet.
  • In der Reflexionsseismik wird eine seismische Spur als Faltung von Impedanzkontrasten der geologischen Schichtgrenzen und dem Ausgangssignal (Wavelet) betrachtet. Der Vorgang zur Wiederherstellung der unverzerrten Schichtgrenzen im Seismogramm ist die Dekonvolution.

LiteraturBearbeiten

Einzelnachweise und FußnotenBearbeiten

  1. Allgemeiner kann auch   für ein   und   vorausgesetzt werden. Vgl. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3, Abschnitt 7.1.
  2. Beweis mittels Einsetzen der inversen Fouriertransformierten. Z. B. wie in Fouriertransformation für Fußgänger, Tilman Butz, Ausgabe 7, Springer DE, 2011, ISBN 978-3-8348-8295-0, S. 53, Google Books
  3. @1@2Vorlage:Toter Link/www.dt.e-technik.uni-dortmund.de(Seite nicht mehr abrufbar, Suche in Webarchiven: dt.e-technik.uni-dortmund.de) (PDF).
  4. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 447.

WeblinksBearbeiten