Ein äquivarianter Schätzer ist ein spezieller Punktschätzer in der Schätztheorie , einem Teilgebiet der mathematischen Statistik . Äquivariante Schätzer zeichnen sich im einfachsten Fall dadurch aus, dass eine Transformation der Daten zu einer identischen Transformation des Schätzwertes führt. Verschiebt man die Daten also um einen gewissen Wert, so ist der Schätzwert ebenso um diesen Wert verschoben.
Für äquivariante Schätzer lassen sich einige Optimalitätsbedingungen leichter zeigen. So sind beispielsweise unter gewissen Zusatzannahmen lokal minimale äquivariante Schätzer immer auch gleichmäßig beste erwartungstreue Schätzer . Wichtige äquivariante Schätzer sind die Pitman-Schätzer .
Gegeben sei ein statistisches Modell
(
X
,
A
,
(
P
ϑ
)
ϑ
∈
Θ
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}
Θ
⊂
R
n
{\displaystyle \Theta \subset \mathbb {R} ^{n}}
Q
{\displaystyle {\mathcal {Q}}}
Gruppe von bijektiven, messbaren Transformationen von
(
X
,
A
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}
(
X
,
A
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}
q
∈
Q
{\displaystyle q\in {\mathcal {Q}}}
q
(
X
)
=
X
sowie
q
(
A
)
=
A
{\displaystyle q(X)=X{\text{ sowie }}q({\mathcal {A}})={\mathcal {A}}}
Dann induziert
Q
{\displaystyle {\mathcal {Q}}}
P
ϑ
(
A
)
=
P
q
¯
(
ϑ
)
(
q
(
A
)
)
{\displaystyle P_{\vartheta }(A)=P_{{\overline {q}}(\vartheta )}(q(A))}
eine Gruppe
Q
¯
=
{
q
¯
}
{\displaystyle {\overline {\mathcal {Q}}}=\{{\overline {q}}\}}
Θ
{\displaystyle \Theta }
Des Weiteren sei
q
¯
(
Θ
)
=
Θ
für alle
q
¯
∈
Q
¯
.
{\displaystyle {\overline {q}}(\Theta )=\Theta {\text{ für alle }}{\overline {q}}\in {\overline {\mathcal {Q}}}.}
Dann heißt ein Punktschätzer
d
:
(
X
,
A
)
→
(
Θ
,
B
(
Θ
)
)
{\displaystyle d:(X,{\mathcal {A}})\to (\Theta ,{\mathcal {B}}(\Theta ))}
ein äquivarianter Schätzer , wenn
d
(
q
(
x
)
)
=
q
¯
(
d
(
x
)
)
für alle
q
∈
Q
{\displaystyle d(q(x))={\overline {q}}(d(x)){\text{ für alle }}q\in {\mathcal {Q}}}
gilt.
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Sei
(
R
n
,
B
(
R
n
)
,
(
P
ϑ
)
ϑ
∈
Θ
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}
Lokationsmodell , also ein statistisches Modell mit Lokationsklasse
(
P
ϑ
)
ϑ
∈
Θ
{\displaystyle (P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}
P
{\displaystyle P}
Q
:=
{
T
ϑ
|
ϑ
∈
R
}
mit
T
ϑ
(
x
)
=
x
−
ϑ
⋅
1
{\displaystyle {\mathcal {Q}}:=\{T_{\vartheta }\,|\,\vartheta \in \mathbb {R} \}{\text{ mit }}T_{\vartheta }(x)=x-\vartheta \cdot \mathbf {1} }
die Gruppe der Translationen in
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Einsvektor
1
{\displaystyle \mathbf {1} }
ϑ
{\displaystyle \vartheta }
Dann gilt wie oben gefordert
T
ϑ
(
R
n
)
=
R
n
und
T
ϑ
(
B
(
R
n
)
)
=
B
(
R
n
)
{\displaystyle T_{\vartheta }(\mathbb {R} ^{n})=\mathbb {R} ^{n}{\text{ und }}T_{\vartheta }({\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))={\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}
für alle
ϑ
∈
R
{\displaystyle \vartheta \in \mathbb {R} }
P
0
∈
(
P
ϑ
)
ϑ
∈
Θ
{\displaystyle P_{0}\in (P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}
P
ϑ
(
A
)
=
P
0
(
A
−
ϑ
⋅
1
)
{\displaystyle P_{\vartheta }(A)=P_{0}(A-\vartheta \cdot \mathbf {1} )}
da
P
0
{\displaystyle P_{0}}
Q
¯
{\displaystyle {\overline {\mathcal {Q}}}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
ϑ
{\displaystyle \vartheta }
Demnach ist ein Punktschätzer
d
{\displaystyle d}
d
(
x
+
1
⋅
ϑ
)
=
d
(
x
)
+
ϑ
{\displaystyle d(x+\mathbf {1} \cdot \vartheta )=d(x)+\vartheta }
gilt.
Ist
(
R
+
n
,
B
(
R
+
n
)
,
(
P
ϑ
)
ϑ
∈
(
0
,
∞
)
)
{\displaystyle (\mathbb {R} _{+}^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} _{+}^{n}),(P_{\vartheta })_{\vartheta \in (0,\infty )})}
Skalenmodell , also ein statistisches Modell mit Skalenfamilie und ist
Q
:=
{
S
ϑ
|
ϑ
∈
(
0
,
∞
)
}
mit
S
ϑ
(
x
)
:=
ϑ
⋅
x
{\displaystyle {\mathcal {Q}}:=\{S_{\vartheta }\,|\,\vartheta \in (0,\infty )\}{\text{ mit }}S_{\vartheta }(x):=\vartheta \cdot x}
die Gruppe (auf
R
+
n
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}
Q
¯
{\displaystyle {\overline {\mathcal {Q}}}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
d
{\displaystyle d}
d
(
ϑ
⋅
x
)
=
ϑ
⋅
d
(
x
)
{\displaystyle d(\vartheta \cdot x)=\vartheta \cdot d(x)}
ist.
