Als Punktschätzer bezeichnet man in der mathematischen Statistik eine Schätzfunktion, die jeder Stichprobe einen Wert zuordnet, der eine gewisse Eigenschaft des zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsmaßes schätzen soll. In den meisten Anwendungen ist die interessierende Größe ein Parameter der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Beobachtungen (wie z. B. der Mittelwert einer Normalverteilung )

Punktschätzer sind neben Bereichsschätzern zentrales Untersuchungsobjekt der Schätztheorie und im allgemeineren Sinne eine Entscheidungsfunktion, die vorliegenden Beobachtungen einen Schätzwert der interessierenden Größe zuordnet.

Ein Punktschätzer ist eine Funktion der zufälligen Beobachtungen, eine Punktschätzung der errechnete Wert des Punktschätzers für vorliegende Beobachtungen.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei ein statistisches Modell   sowie ein Entscheidungsraum  . Für jedes   ist also auch   in der σ-Algebra   enthalten. Dann heißt eine messbare Funktion

 

ein Punktschätzer. Für alle   ist also immer  .

Meist wird als Entscheidungsraum   gewählt.

BeispielBearbeiten

Gegeben sei ein Binomialmodell, also ein statistisches Modell mit   und   sowie als Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen die Binomialverteilungen   für  .

Dieses Modell formalisiert beispielsweise, wie oft nach n-maligem Münzwurf „Kopf“ geworfen wurde. Offensichtliche Fragestellung ist nun, aufgrund der vorliegenden Daten die Wahrscheinlichkeit zu schätzen, mit der die Münze „Kopf“ zeigt. Passender Entscheidungsraum ist die Grundmenge  , da die Wahrscheinlichkeit in diesem Intervall liegen muss, versehen mit der Borelschen σ-Algebra  , die alle Punktmengen enthält.

Ein möglicher Punktschätzer wäre dann beispielsweise

 

definiert durch

 .

Wie gut und sinnvoll solche Punktschätzer sind, muss jedoch noch getrennt untersucht werden. Denn ebenso wäre

 

ein möglicher Punktschätzer. Er liefert aber unabhängig von der Anzahl der Würfe, die „Kopf“ zeigen, dass die Münze fair ist, was augenscheinlich unsinnig ist.

Verwendung und KonstruktionBearbeiten

Punktschätzer werden insbesondere benutzt für die Schätzung von:

Klassische und bewährte Methoden zur Konstruktion von Punktschätzern sind

Qualitätskriterien für PunktschätzerBearbeiten

Für Punktschätzer existieren verschiedene Qualitätskriterien. Die vier gängigsten sind die Suffizienz, Effizienz, Erwartungstreue und Konsistenz.

  • Suffizienz garantiert, dass der Punktschätzer die gesamte für die Schätzung relevante Dateninformation nutzt.
  • Erwartungstreue (Unverzerrtheit, Unverfälschtheit): Ein Punktschätzer ist erwartungstreu, wenn er im Mittel den tatsächlichen Wert der interessierenden Größe korrekt angibt. In diesem Sinne besitzt die Schätzung keinen systematischen Fehler.
  • Konsistenz: Konsistenz bedeutet anschaulich, dass sich für eine wachsende Zahl von Beobachtungen die Punktschätzung tendenziell dem tatsächlichen Wert der interessierenden Größe annähert.
  • Effizienz: Effizient ist ein Punktschätzer, wenn seine Streuung im Vergleich zu anderen Punktschätzern minimal ist. In diesem Sinne besitzt ein effizienter Schätzer keine unnötige Streuung.

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten