Bereichsschätzer

Ein Bereichsschätzer ist eine bestimmte Schätzfunktion in der mathematischen Statistik. Im Gegensatz zu einem Punktschätzer sind Bereichsschätzer mengenwertige Abbildungen, sie ordnen jedem Ausgang eines statistischen Experimentes also eine Menge zu und nicht einen einzelnen Wert. Bei diesen Mengen handelt es sich meist um Ellipsen, Kugeln oder Intervalle. Im letzten Fall spricht man auch von einem Intervallschätzer.

Bereichsschätzer bilden die mathematische Grundlage für die Bestimmung von Konfidenzbereichen. Dies sind die Mengen, bei denen eine vorgegebene Überdeckungswahrscheinlichkeit garantiert ist.

Wie bei Entscheidungsfunktionen unterscheidet man zwischen randomisierten und nichtrandomisierten Bereichsschätzern.

Nichtrandomisierte BereichsschätzerBearbeiten

Gegeben sei ein Messraum   sowie ein statistisches Modell  . Dann heißt eine Abbildung

 

ein (nichtrandomisierter) Bereichsschätzer, wenn für jedes   die Menge

 

in der σ-Algebra   enthalten ist.   heißt der Annahmebereich von   und enthält alle Elemente der Grundmenge, bei deren Eintreten der Wert   überdeckt wird.

BeispielBearbeiten

Gegeben sei der Messraum   und als statistisches Modell das Produktmodell

 ,

das den 100-fachen Münzwurf modelliert.   bezeichnet hierbei die Bernoulli-Verteilung. Ein typischer Intervallschätzer wäre dann eine Abbildung, die jedem Ausgang des Experimentes ein Intervall um das arithmetische Mittel herum zuordnet. Bezeichnet man dieses mit   und ist  , so wäre die Funktion

 

ein Bereichsschätzer.

Streng genommen müsste man das Intervall noch mit   schneiden, um auch für größere   zu garantieren, dass es sich immer um eine Teilmenge der Grundmenge des Messraumes handelt.

Einordnung als EntscheidungsfunktionenBearbeiten

Bereichsschätzer lassen sich im allgemeinen Rahmen eines statistischen Entscheidungsproblems als mengenwertige Entscheidungsfunktionen darstellen. Dazu wählt man als Grundmenge des Entscheidungsraumes   die σ-Algebra  . Die Elemente der Grundmenge des Entscheidungsraumes sind dann also Mengen. Die σ-Algebra auf der Grundmenge des Entscheidungsraumes definiert man über die von den Hilfsmengen

 

erzeugte σ-Algebra  . Dann ist die Funktion   eine  -messbare Funktion und damit eine nichtrandomisierte Entscheidungsfunktion.

Randomisierte BereichsschätzerBearbeiten

Mittels dieser Konstruktion lässt sich dann auch ein randomisierter Bereichsschätzer   definieren: Es handelt sich dabei um einen Markow-Kern von   nach  , das heißt für   gilt:

  • Für jedes   ist   ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf  .
  • Für jedes   ist   eine  -messbare Funktion.

  ist dann die Wahrscheinlichkeit, sich bei Eintreten von   für eine Menge   zu entscheiden.

KonstruktionBearbeiten

Gängige Methoden zur Konstruktion von Bereichsschätzern sind u. a. Pivotstatistiken und approximative Pivotstatistiken.

LiteraturBearbeiten