Mengenwertige Abbildung

Eine mengenwertige Abbildung (auch mengenwertige Funktion genannt) ist eine spezielle Abbildung in der Mathematik, bei der die Elemente des Zielraumes Mengen sind. Sie finden beispielsweise Anwendung in der Spieltheorie und in der Statistik. Als Mengenfunktion bezeichnet man im Gegensatz dazu meist eine Funktion, deren Definitionsmenge ein Mengensystem ist.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein Mengensystem über der Grundmenge  , also  . Dann heißt eine Abbildung

 

eine mengenwertige Abbildung. Dabei ist die Definitionsmenge   beliebig. Die Elemente der Zielmenge   sind also wiederum Mengen.

BeispieleBearbeiten

  • Die Abbildung   definiert durch   ist eine mengenwertige Abbildung.
  • Ist   eine Funktion, dann ist die Abbildung, die jedem   das Urbild   zuordnet, eine mengenwertige Abbildung  .
  • Allgemeiner ist jede Mengenfamilie und damit auch jede Mengenfolge eine mengenwertige Abbildung.

VerwendungBearbeiten

Mengenwertige Funktionen werden beispielsweise in der Spieltheorie verwendet, um die Wohldefiniertheit der arg max-Funktion zu garantieren. Diese liefert zu einer gegebenen Funktion ihre Maximalstellen. Außerdem finden sie Verwendung in der Statistik, wo sie zur Bestimmung von Konfidenzintervallen mit Hilfe von Bereichsschätzern genutzt werden. Bereichsschätzer sind mengenwertige Funktionen, die jeder Beobachtung eines statistischen Experimentes eine Menge (meist ein Intervall, eine Kugel oder eine Ellipse) zuordnet. Wählt man diese Mengen und die entsprechenden Schätzer passend, so erhält man dann ein Konfidenzintervall zum passenden Irrtumsniveau.

LiteraturBearbeiten