Statistisches Entscheidungsproblem

Als ein statistisches Entscheidungsproblem bezeichnet man in der mathematischen Statistik ein Tripel aus einem statistischen Modell, einem Entscheidungsraum und einer Verlustfunktion. Statistische Entscheidungsprobleme bilden die Rahmenbedingungen für das Auffinden von optimalen Entscheidungsfunktionen und sind damit ein allgemeiner Überbau für das Bestimmen von guten Bereichsschätzern, Punktschätzern und den Entwurf von statistischen Tests.

DefinitionBearbeiten

Ein Tripel   heißt ein statistisches Entscheidungsproblem, wenn

  •   ein statistisches Modell ist, also   für eine Grundmenge  , eine σ-Algebra   auf dieser Grundmenge und eine Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen  .
  •   die Grundmenge eines Entscheidungsraumes ist, also eines Messraumes, dessen σ-Algebra   alle Punktmengen enthält.
  •   eine Verlustfunktion ist.

BeispielBearbeiten

Betrachtet man als statistisches Modell das 100-fache Produktmodell, das den wiederholten Münzwurf modelliert

 ,

als Entscheidungsraum den Messraum  , der den zu schätzenden Parameter der Bernoulli-Verteilung   enthält und als Verlustfunktion beispielsweise den Gauß-Verlust

 ,

so ist   ein statistisches Entscheidungsproblem.

Speziell auf das Schätzen zugeschnitte statistische Entscheidungsprobleme werden auch Schätzprobleme genannt.

LiteraturBearbeiten