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Ellipse

geschlossene ovale Kurve
Ellipse mit Mittelpunkt , Brennpunkten und , Scheitelpunkten , Hauptachse (rot) und Nebenachse (grün)
Eine Ellipse (rot) als Schnitt einer geneigten Ebene mit einem Kegel
Ellipse als Kegelschnitt.
Die Mittelachse des Kegels ist soweit geneigt, dass die Schnittebene einer vertikalen Linie entspricht; damit zeigt sich in der Seitenansicht von rechts die Ellipse in wahrer Größe.
Die Saturnringe erscheinen elliptisch.

Ellipsen sind in der Geometrie spezielle geschlossene ovale Kurven. Sie zählen neben den Parabeln und den Hyperbeln zu den Kegelschnitten. Eine anschauliche Definition ist die Definition der Ellipse als Punktmenge.

In der Natur treten Ellipsen in Form von ungestörten keplerschen Planetenbahnen um die Sonne auf. Auch beim Zeichnen von Schrägbildern werden häufig Ellipsen benötigt, da ein Kreis durch eine Parallelprojektion im Allgemeinen auf eine Ellipse abgebildet wird (s. Ellipse (Darstellende Geometrie)).

Die Ellipse (von griechisch ἔλλειψις élleipsis ‚Mangel‘) wurde von Apollonios von Perge (etwa 262–190 v. Chr.)[1] eingeführt und benannt, die Bezeichnung bezieht sich auf die Exzentrizität .[2]

Inhaltsverzeichnis

Definition einer Ellipse als geometrischer OrtBearbeiten

 
Diese Grafik zeigt die im nachfolgenden Text verwendeten Bezeichnungen auf.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Ellipsen zu definieren. Neben der üblichen Definition über gewisse Abstände von Punkten ist es auch möglich, eine Ellipse als Schnittkurve zwischen einer entsprechend geneigten Ebene und einem Kegel zu bezeichnen (s. 1. Bild) oder als affines Bild des Einheitskreises.

Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte   der Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten   und   gleich einer gegebenen Konstante ist. Diese Konstante wird üblicherweise mit   bezeichnet. Die Punkte   und   heißen Brennpunkte:

 

Um eine Strecke auszuschließen, setzt man voraus, dass   größer als der Abstand   der Brennpunkte ist. Falls die beiden Brennpunkte zusammenfallen, ist   ein Kreis mit Radius  . Dieser einfache Fall wird in den folgenden Überlegungen oft stillschweigend ausgeschlossen, da die meisten Aussagen über Ellipsen im Kreisfall trivial werden.
Der Mittelpunkt   der Strecke   heißt Mittelpunkt der Ellipse. Die Gerade durch die Brennpunkte ist die Hauptachse und die dazu orthogonale Gerade durch   die Nebenachse. Die beiden Ellipsenpunkte   auf der Hauptachse sind die Hauptscheitel. Der Abstand der Hauptscheitel zum Mittelpunkt ist   und heißt die große Halbachse. Die beiden Ellipsenpunkte   auf der Nebenachse sind die Nebenscheitel, und ihr Abstand zum Mittelpunkt ist jeweils die kleine Halbachse  . Den Abstand   der Brennpunkte zum Mittelpunkt nennt man die lineare Exzentrizität und   die numerische Exzentrizität. Mit dem Satz des Pythagoras gilt   (siehe Zeichnung).

 
Ellipse: Definition mit Leitkreis

Die Gleichung   kann man auch so interpretieren: Wenn   der Kreis um   mit Radius   ist, dann ist der Abstand des Punktes   zum Kreis   gleich dem Abstand des Punktes zum Brennpunkt  :

 

  heißt Leitkreis der Ellipse bzgl. des Brennpunktes  . Diese Eigenschaft sollte man nicht verwechseln mit der Leitlinieneigenschaft einer Ellipse (s. unten).

Mit Hilfe Dandelinscher Kugeln beweist man, dass gilt:

  • Jeder Schnitt eines Kegels mit einer Ebene, die die Kegelspitze nicht enthält, und deren Neigung kleiner als die der Mantellinien des Kegels ist, ist eine Ellipse.

Aufgrund der Leitkreis-Eigenschaft ist eine Ellipse die Äquidistanz-Kurve zu jedem ihrer Brennpunkte und dem Leitkreis mit dem anderen Brennpunkt als Mittelpunkt.

Ellipse in kartesischen KoordinatenBearbeiten

GleichungBearbeiten

A. Führt man kartesische Koordinaten so ein, dass der Mittelpunkt der Ellipse im Ursprung liegt, die  -Achse die Hauptachse ist, und

die Brennpunkte die Punkte  ,
die Hauptscheitel   sind,

so ergibt sich für einen beliebigen Punkt   der Abstand zum Brennpunkt   als   und zum zweiten Brennpunkt  . Also liegt der Punkt   genau dann auf der Ellipse, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist:

 

Nach Beseitigung der Wurzeln durch geeignetes Quadrieren und Verwenden der Beziehung   (s. o.) erhält man die Gleichung

  •   oder nach y aufgelöst
 

  sind die Nebenscheitel. Aus der Beziehung   erhält man die Gleichungen

  •   und  

Daraus ergeben sich noch die Beziehungen

 
 

Ist  , so ist   und die Ellipse ein Kreis.
Ist  , so ist  , und man nennt die Ellipse eine gleichseitige Ellipse oder Ellipse schönster Form.

B. Die Ellipse in A. lässt sich auch mithilfe einer Bilinearform als Lösungsmenge der Gleichung   auffassen.[3] Hierbei werden die Vektoren   und   mit dem gleichen Punkt   identifiziert. Bei Einführung kartesischer Koordinaten ist   die Matrix  ,   ein Zeilenvektor und   ein Spaltenvektor.

C. Eine Ellipse mit dem Mittelpunkt im Ursprung und den Brennpunkten auf der  -Achse heißt auch in 1. Hauptlage. Wenn hier die obige Ellipsengleichung erwähnt wird, wird immer angenommen, dass   und damit die Ellipse in 1. Hauptlage ist, was im „realen Leben“ aber nicht sein muss. Da kann durchaus auch   vorkommen, was bedeutet, dass die Ellipse sich in 2. Hauptlage befindet (die Brennpunkte liegen auf der  -Achse).

Aufgrund der Definition einer Ellipse gilt:

  • Eine Ellipse ist symmetrisch zu ihren Achsen und damit auch zu ihrem Mittelpunkt.

(Die Symmetrieeigenschaft lässt sich auch leicht an der hier abgeleiteten Gleichung einer Ellipse erkennen.)

HalbparameterBearbeiten

Die halbe Länge   einer Ellipsensehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter, manchmal auch nur Parameter   oder auch semi-latus rectum (die Hälfte des latus rectum =  ) der Ellipse. Mit Hilfe der Gleichung einer Ellipse rechnet man leicht nach, dass

 

gilt. Der Halbparameter hat noch die zusätzliche Bedeutung (s. unten): Der Krümmungsradius in den Hauptscheiteln ist  .

TangenteBearbeiten

A. Für den Hauptscheitel   bzw.   hat die Tangente die Gleichung   bzw.  . Die einfachste Weise, die Gleichung der Tangente in einem Ellipsenpunkt   zu bestimmen, ist, die Gleichung   der Ellipse implizit zu differenzieren. Hiermit ergibt sich für die Ableitung

 

und damit die Punkt-Steigungs-Form der Tangente im Punkt  :

 

Berücksichtigt man  , so erhält man als Gleichung der Tangente im Punkt  :

 

Diese Form schließt auch die Tangenten durch die Hauptscheitel ein. Letzteres gilt auch für die Vektorform

 .

B. Die in A. eingeführte Tangentengleichung   lässt sich auch ohne Differentialrechnung als Spezialfall einer Polarengleichung einführen (s. u. Herleitung der Lagebeziehungen von Pol und Polare, D.). Sie entspricht einer Normalenform mit dem Normalenvektor  . Von diesem lässt sich ein dazu rechtwinkeliger Richtungsvektor   von   ablesen. Da   nur bis auf einen Skalar eindeutig ist, hat er die Formen

   ;

dies liefert den Richtungsvektor der in A. angegebenen Vektorform und auch die Steigung der dort angegebenen Punktsteigungsform.

Eine zeichnerische Bestimmung von Ellipsentangenten findet man im Artikel Ellipse (Darstellende Geometrie).

Gleichung einer verschobenen EllipseBearbeiten

Verschiebt man die obige Ellipse so, dass der Mittelpunkt der Punkt   ist, ergibt sich die Mittelpunktsform einer Ellipse, deren Achsen parallel zu den Koordinatenachsen sind:

  •  

ParameterdarstellungenBearbeiten

Standarddarstellung

Die übliche Parameterdarstellung einer Ellipse verwendet die Sinus- und Kosinus-Funktion. Wegen   beschreibt

  •  

die Ellipse  

Verschiedene Möglichkeiten, den Parameter   geometrisch zu interpretieren, werden im Abschnitt Ellipsen zeichnen angegeben.

Rationale Parameterdarstellung
 
Punkte einer Ellipse mit Hilfe der rationalen Parameterdarstellung berechnet ( )

Mit der Substitution   und trigonometrischen Formeln erhält man

 

und damit die rationale Parameterdarstellung einer Ellipse:

  •  

Die rationale Parameterdarstellung hat folgende Eigenschaften (s. Bild):

  • Für   wird der positive Hauptscheitel dargestellt:  ; für   der positive Nebenscheitel:  .
  • Übergang zur Gegenzahl des Parameters spiegelt den dargestellten Punkt an der  -Achse:  ;
  • Übergang zum Kehrwert des Parameters spiegelt den dargestellten Punkt an der  -Achse:  .
  • Der negative Hauptscheitel kann mit keinem reellen Parameter   dargestellt werden. Die Koordinaten desselben sind die Grenzwerte der Parameterdarstellung für unendliches positives oder negatives  :  .

Rationale Parameterdarstellungen der Kegelschnitte (Ellipse, Hyperbel, Parabel) spielen im CAD-Bereich bei quadratischen rationalen Bezierkurven eine wichtige Rolle.[4]

Tangentensteigung als Parameter

Eine Parameterdarstellung, die die Tangentensteigung   in dem jeweiligen Ellipsenpunkt verwendet, erhält man durch Differentiation der Parameterdarstellung  :

 

Mit Hilfe trigonometrischer Formeln ergibt sich

 

Ersetzt man in der Standarddarstellung   und  , erhält man schließlich

  •  

Dabei ist   die Tangentensteigung im jeweiligen Ellipsenpunkt,   die obere und   die untere Hälfte der Ellipse. Die Punkte mit senkrechten Tangenten (Scheitel  ) werden durch diese Parameterdarstellung nicht erfasst.
Die Gleichung der Tangente im Punkt   hat die Form  . Der  -Abschnitt   ergibt sich durch Einsetzen der Koordinaten des zugehörigen Ellipsenpunktes  :

  •  

Diese Hauptform der Tangentengleichung ist ein wesentliches Hilfsmittel bei der Bestimmung der orthoptischen Kurve einer Ellipse.

Bemerkung. Die Hauptform der Tangentengleichung und die Koordinaten von   lassen sich auch ohne Differentialrechnung und ohne trigonometrische Formeln herleiten, indem die Tangente als Spezialfall einer Polare aufgefasst wird (s. u. Herleitung der Lagebeziehungen von Pol und Polare, D.)

Verschobene Ellipse

Eine verschobene Ellipse mit Mittelpunkt   wird durch

  •  

beschrieben.

Eine Parameterdarstellung einer beliebigen Ellipse ist in dem Abschnitt Ellipse als affines Bild des Einheitskreises enthalten.

EigenschaftenBearbeiten

BrennpunkteigenschaftBearbeiten

 
Brennpunktseigenschaft

Die Verbindungslinie zwischen einem Brennpunkt und einem Punkt der Ellipse heißt Brennlinie, Leitstrahl oder Brennstrahl. Ihren Namen erhielten Brennpunkte und Brennstrahlen aufgrund der folgenden Eigenschaft:

  • Der Winkel zwischen den beiden Brennstrahlen in einem Punkt der Ellipse wird durch die Normale in diesem Punkt halbiert.
Anwendungen
  1. Der Einfallswinkel, den der eine Brennstrahl mit der Tangente bildet, ist gleich dem Ausfallswinkel, den die Tangente mit dem anderen Brennstrahl bildet. Ein Lichtstrahl, der von einem Brennpunkt ausgeht, wird demnach an der Ellipsentangente so reflektiert, dass er den anderen Brennpunkt trifft. Bei einem ellipsenförmigen Spiegel treffen sich demnach alle von einem Brennpunkt ausgehenden Lichtstrahlen in dem anderen Brennpunkt.
  2. Da der Weg von einem zum anderen Brennpunkt (entlang zweier zusammengehöriger Brennstrahlen) immer gleich lang ist, wird z. B. Schall nicht nur „verstärkt“ (siehe unten) von einem zum anderen Brennpunkt übertragen, sondern kommt sogar zeit- und phasengleich (also verständlich und nicht interferierend) dort an.
  3. Die Tangente im Ellipsenpunkt ist die Winkelhalbierende des Außenwinkels. Da Winkelhalbierenden leicht zu konstruieren sind, bietet die Brennpunkteigenschaft eine einfache Methode, die Tangente in einem Ellipsenpunkt zu konstruieren (Eine weitere Tangentenkonstruktion wird in Ellipse (Darstellende Geometrie) beschrieben.).

Zwei Ellipsen mit denselben Brennpunkten   nennt man konfokal. Durch jeden Punkt, der nicht zwischen den Brennpunkten liegt, gibt es genau eine Ellipse mit den Brennpunkten  . Zwei konfokale Ellipsen haben keinen Schnittpunkt (s. Definition einer Ellipse).

Beweis der Brennpunkteigenschaft

Da die Tangente senkrecht zur Normalen verläuft, ist die obige Behauptung bewiesen, wenn die analoge Aussage für die Tangente gilt:

 
Die Tangente halbiert den Außenwinkel der Brennstrahlen
  • Der Außenwinkel der Brennstrahlen   in einem Ellipsenpunkt   wird von der Tangente in diesem Punkt halbiert (s. Bild).

Es sei   der Punkt auf der Geraden   mit dem Abstand   zum Brennpunkt   (  ist die große Halbachse der Ellipse). Die Gerade   sei die Winkelhalbierende der Außenwinkel der Brennstrahlen  . Um nachzuweisen, dass   die Tangente ist, zeigt man, dass auf   kein weiterer Ellipsenpunkt liegen kann. Anhand der Zeichnung und der Dreiecksungleichung erkennt man, dass

 

gilt. Dies bedeutet, dass   ist. Wenn   ein Punkt der Ellipse wäre, müsste die Summe aber gleich   sein.

Bemerkung: Eine Beweis mit Mitteln der analytischen Geometrie befindet sich im Beweisarchiv[5].

Natürliches Vorkommen und Anwendung in der Technik:

Die Decken mancher Höhlen ähneln einer Ellipsenhälfte. Befindet man sich – mit den Ohren – in einem Brennpunkt dieser Ellipse, hört man jedes Geräusch, dessen Ursprung im zweiten Brennpunkt liegt, verstärkt („Flüstergewölbe“). Diese Art der Schallübertragung funktioniert in einigen Stationen der Pariser Métro sogar von Bahnsteig zu Bahnsteig. Das gleiche Prinzip der Schallfokussierung wird heute zur Zertrümmerung von Nierensteinen mit Stoßwellen verwendet. Auch im lampengepumpten Nd:YAG-Laser wird ein Reflektor in Form einer Ellipse verwendet. Die Pumpquelle – entweder eine Blitzlampe oder eine Bogenlampe – wird in dem einen Brennpunkt positioniert, und der dotierte Kristall wird in den anderen Brennpunkt gelegt.

DirektrixBearbeiten

 
Ellipse mit Leitlinien

Für eine echte Ellipse, d. h.  , bezeichnet man eine Parallele zur Nebenachse im Abstand   als Direktrix oder Leitlinie. Für einen beliebigen Punkt   der Ellipse ist das Verhältnis seines Abstands von einem Brennpunkt zu dem Abstand von der Direktrix   auf der entsprechenden Seite der Nebenachse gleich der numerischen Exzentrizität:

  Es ist  

Beweis: Mit   sowie   und den binomischen Formeln ist

 
 
 .

Die Umkehrung dieser Aussage gilt auch und kann zu einer weiteren Definition einer Ellipse benutzt werden (ähnlich wie bei einer Parabel):

  • Für einen Punkt   (Brennpunkt), eine Gerade   (Leitlinie) nicht durch   und eine reelle Zahl   mit   ist die Menge der Punkte (geometrischer Ort), für die der Quotient der Abstände zu dem Punkt   und der Geraden   gleich   ist, eine Ellipse:
 

Die Wahl  , also die Exzentrizität eines Kreises, ist in diesem Zusammenhang nicht erlaubt. Man kann als Leitlinie eines Kreises die unendlich entfernte Gerade auffassen.

 
Kegelschnittschar mit einem gemeinsamen Scheitel und einem gemeinsamen Halbparameter

Beweis:

Es sei   und   ein Punkt der Kurve. Die Leitlinie   hat die Gleichung  . Mit   und der Beziehung   ergibt sich

  und  

Die Substitution   liefert

  •  

Dies ist die Gleichung einer Ellipse ( ) oder einer Parabel ( ) oder einer Hyperbel ( ). All diese nicht-ausgearteten Kegelschnitte haben den Ursprung als Scheitel gemeinsam (s. Bild).

Für   führt man neue Parameter   und   ein; die obige Gleichung wird dann zu

 

was die Gleichung einer Ellipse mit Mittelpunkt  , der  -Achse als Hauptachse und den Halbachsen   ist.

Allgemeiner Fall:

Für den Brennpunkt   und die Leitlinie   erhält man die Gleichung

 

Die rechte Seite der Gleichung benutzt die Hessesche Normalform einer Geraden, um den Abstand eines Punktes von einer Gerade zu berechnen.

Konjugierte DurchmesserBearbeiten

 
Ellipse mit zwei konjugierten Durchmessern
  • Betrachtet man zu einem beliebigen Ellipsendurchmesser (einer Ellipsensehne durch den Ellipsenmittelpunkt)   alle parallelen Sehnen, so liegen deren Mittelpunkte ebenfalls auf einem Ellipsendurchmesser  . Man nennt   den zu   konjugierten Durchmesser.[6]
  • Bildet man zum konjugierten Durchmesser erneut den konjugierten Durchmesser, so erhält man wieder den ursprünglichen. In der Zeichnung stimmt also der zu   konjugierte Durchmesser mit dem ursprünglichen Durchmesser   überein.
  • Die Tangenten in den Endpunkten eines Durchmessers (etwa  ) sind parallel zum konjugierten Durchmesser (im Beispiel  ).
  • Haupt- und Nebenachse sind das einzige Paar orthogonaler konjugierter Durchmesser.
  • Ist die Ellipse ein Kreis, so sind genau die orthogonalen Durchmesser (auch) konjugiert.
  • Sind konjugierte Durchmesser nicht orthogonal, so ist das Produkt ihrer Steigungen  .
  • Seien  ,   konjugierte Durchmesser. Dann ist  . (Satz des Apollonius)

Konjugierte Durchmesser (erstrangig von Ellipsen) werden auch auf einer eigenen Wikipedia-Seite behandelt, ebenso der Satz des Apollonius (samt Beweis). Ein analytischer Gesamt-Beweis sämtlicher hier aufgeführter Aussagen, der von der gemeinsamen Bilinearform zweier Ursprungsgeraden ausgeht, findet sich im Beweisarchiv. Dieser Beweis benötigt weder trigonometrische Funktionen noch Parameterdarstellungen noch eine affine Abbildung.[7]

Eine Anwendungsmöglichkeit im Bereich des technischen Zeichnens besteht in der Möglichkeit, den höchsten Punkt einer Ellipse oder eines Ellipsenbogens beliebiger Lage über einer Linie zu finden – nützlich z. B. für korrekte 2D-Darstellungen nicht-orthogonaler Ansichten zylindrischer Körper oder abgerundeter Kanten ohne Verwendung von 3D-Programmen. Wichtig ist dies für den sauberen Anschluss tangential von der Ellipse weg laufender Linien. Hierzu sind in die Ellipse oder den Ellipsenbogen zwei Sehnen parallel zur gewünschten Tangentenrichtung und die durch die Mittelpunkte der beiden Sehnen definierte Linie des zugehörigen konjugierten Durchmessers einzuzeichnen. Der Schnittpunkt dieser Linie mit der Ellipse oder dem Ellipsenbogen definiert den Anschlusspunkt der Tangente (und normalerweise den Endpunkt des Ellipsenbogens).

 
Ellipse mit orthoptischer Kurve (lila)

Orthogonale TangentenBearbeiten

Für die Ellipse   liegen die Schnittpunkte orthogonaler Tangenten auf dem Kreis  .

Diesen Kreis nennt man die orthoptische Kurve der gegebenen Ellipse, es ist der Umkreis des Rechtecks, das die Ellipse umschreibt.

Pol-Polare-BeziehungBearbeiten

Führt man kartesische Koordinaten so ein, dass der Mittelpunkt der Ellipse im Ursprung liegt, so kann eine beliebige Ellipse mit der Gleichung   beschrieben werden (s. o. Abschnitt Gleichung). Weiter ordnet für eine vorgegebene Ellipse eine Funktion  

  • je einem Punkt   die Gerade   zu. Bezüglich   heißt   Pol, die zugeordnete Gerade Polare.

  ist eine Bijektion; die inverse Funktion bildet je eine Polare auf einen Pol ab. Der Ellipsenmittelpunkt   ist in keiner so definierten Polare enthalten, entsprechend existiert zu   keine Polare. Die angegebene Gleichung der Polare lässt sich als Normalenform mit dem zugehörigen Normalenvektor   auffassen.

Eine solche Beziehung zwischen Punkten und Geraden, die durch einen Kegelschnitt vermittelt wird, nennt man Pol-Polare-Beziehung oder einfach Polarität. Pol-Polare-Beziehungen gibt es auch für Hyperbeln und Parabeln, siehe auch Pol und Polare.

 
Ellipse: Pol-Polare-Beziehung

Zu Pol und Polare gelten folgende Lagebeziehungen:

  • Der Brennpunkt   und die Leitlinie   bilden eine Polarität. (1)
  • Genau dann, wenn der Pol außerhalb der Ellipse liegt, hat die Polare zwei Punkte mit der Ellipse gemeinsam (s. Bild:  ). (2)
  • Genau dann, wenn der Pol auf der Ellipse liegt, hat die Polare genau einen Punkte mit der Ellipse gemeinsam (= die Polare ist eine Tangente; s. Bild:  ). (3)
  • Genau dann, wenn der Pol innerhalb der Ellipse liegt, hat die Polare keinen Punkt mit der Ellipse gemeinsam (s. Bild:  ). (4)
  • Jeder gemeinsame Punkt einer Polare und einer Ellipse ist Berührpunkt einer Tangente vom zugehörigen Pol   an die Ellipse (s. Bild:  ). (5)
  • Der Schnittpunkt zweier Polaren ist der Pol der Gerade durch die Pole. (6)

Herleitung der Lagebeziehungen von Pol und Polare; alternative Herleitung einer Tangenten- und einer EllipsengleichungBearbeiten

A. Ist eine Polare parallel zur y-Achse, so hat sie auch die Form  . Mit dem zugehörigen Normalenvektor   ist der zugehörige Pol   Insbesondere folgt für   die Polarität (1) von Brennpunkt und Direktrix.

Einsetzen der betrachteten Polare in die Mittelpunktform einer Ellipse ergibt für die Ordinate   eines beliebigen Schnittpunkts die Bedingung  ; die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung in   hat bis auf einen positiven Faktor die Form

 .

B. Ist eine Polare nicht parallel zur y-Achse, so hat sie die Hauptform  . Wegen   lässt sich diese in die Normalenform   umformen. Vergleich mit der Normalenform ergibt als Darstellung Koordinaten des Pols mit den Parametern der Hauptform:

 .

Einsetzen der Hauptform   in die Mittelpunktform einer Ellipse ergibt für die Abszisse   eines beliebigen Schnittpunkts die Bedingung  ; die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung in   hat bis auf einen positiven Faktor die Form

 

C. Insgesamt erlaubt der Term   bzw.   für eine beliebige Polare folgende Unterscheidung paarweise disjunkter Fälle:

  • Für   hat die Polare mit der Ellipse keinen Punkt gemeinsam, und der Pol liegt innerhalb der Ellipse. Hieraus folgt (2).
  • Für   hat die Polare mit der Ellipse genau einen Punkt gemeinsam, und der Pol liegt auf der Ellipse. Also ist die Polare eine Tangente an die Ellipse, der Pol ihr Berührpunkt (s. Bild:  ). Hieraus folgt (3).
  • Für   hat die Polare mit der Ellipse zwei Punkte gemeinsam, und der Pol liegt außerhalb der Ellipse. Hieraus folgt (4).

D. Ist eine Tangente nicht senkrecht, so ergibt Auflösung der Gleichung   nach   und Einsetzen von   die Hauptform der Tangente:

 ;

Einsetzen von   in die Koordinaten   des Berührpunkts ergibt die Koordinaten der Parameterdarstellung einer Ellipse mit der Steigung   als Parameter:  ;

diese Parameterdarstellung erfasst die Hauptscheitel nicht.

E. Ausgehend von der im Abschnitt „Gleichung“, B. aufgeführten Bilinearform der Ellipse hat die Polare zum Punkt   die Normalenformen

  mit dem Normalenvektor   und
  mit dem Normalenvektor  .

Ist   ein Punkt der Ellipse, so beschreiben auch diese Gleichungen eine Tangente.

Diese koordinatenfreie rechnerische Darstellung der Polare eignet sich für Beweise. Mit den Koordinatendarstellungen   und   sowie den im Abschnitt „Gleichung“ angegebenen Matrizenkoordinaten für   entsteht durch Auswertung der Matrizenprodukte wieder die im Abschnitt "Pol-Polare-Beziehung" angegebene Gleichung  .

  • Beweis: von (5) ("Jeder gemeinsame Punkt einer Polare und einer Ellipse ist Berührpunkt einer Tangente vom zugehörigen Pol   an die Ellipse "):

Da die Ellipsenpunkte   auf der Polare zu   liegen, gilt   und  . Fasst man in diesen Gleichungen nicht  , sondern   bzw.   als Normalenvektor auf, so besagen sie, dass die Tangenten in den Ellipsenpunkten   den Punkt   gemeinsam haben.

  • Beweis von (6) ("Der Schnittpunkt zweier Polaren ist der Pol der Gerade durch die Pole"):

Für einen Schnittpunkt   zweier Polaren zu   und   gilt   und  . Fasst man in diesen Gleichungen nicht   bzw.  , sondern   als Normalenvektor auf, so besagen sie, dass auf der Polare zu   die Punkte  ,   liegen. Weiter zeigt die Betrachtung der Parameterform   mit

 

die punktweise Gleichheit der Gerade   mit der Polare zu  .

Ellipse als affines Bild des EinheitskreisesBearbeiten

 
Ellipse als affines Bild des Einheitskreises

Eine andere Definition der Ellipse benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die Affinität. Hier ist die Ellipse als affines Bild des Einheitskreises definiert.[8] Eine affine Abbildung in der reellen Ebene hat die Form  , wobei   eine reguläre Matrix (Determinante nicht 0) und   ein beliebiger Vektor ist. Sind   die Spaltenvektoren der Matrix  , so wird der Einheitskreis   auf die Ellipse

 

abgebildet.   ist der Mittelpunkt und   sind zwei konjugierte Halbmesser (s. u.) der Ellipse.   stehen i. A. nicht senkrecht aufeinander. D. h.,   und   sind i. A. nicht die Scheitel der Ellipse. Diese Definition einer Ellipse liefert eine einfache Parameterdarstellung (s. u.) einer beliebigen Ellipse.

Da in einem Scheitel die Tangente zum zugehörigen Ellipsendurchmesser senkrecht steht und die Tangentenrichtung in einem Ellipsenpunkt   ist, ergibt sich der Parameter   eines Scheitels aus der Gleichung

 

und damit aus  .
(Es wurden die Formeln   benutzt.)

Falls   ist, ist   und die Parameterdarstellung schon in Scheitelform.

Die 4 Scheitel der Ellipse sind  

Die Scheitelform der Parameterdarstellung der Ellipse ist

 

Beispiele:

 
Ellipse: Transformation auf Scheitelform (Beispiel 3)
  1.   liefert die übliche Parameterdarstellung der Ellipse mit der Gleichung  .
  2.   liefert die Parameterdarstellung der Ellipse, die aus   durch Drehung um den Winkel   und anschließende Verschiebung um   hervorgeht. Die Parameterdarstellung ist schon in Scheitelform. D. h.,   und   sind die Scheitel der Ellipse.
  3. Die Parameterdarstellung
 
einer Ellipse ist nicht in Scheitelform.
Der Scheitelparameter ergibt sich aus   zu  .
Die Scheitelform der Parameterdarstellung ist:
 
Die Scheitel sind:   und
die Halbachsen:  

Bemerkung: Sind die Vektoren   aus dem  , so erhält man eine Parameterdarstellung einer Ellipse im Raum.

Peripheriewinkelsatz und 3-Punkteform für EllipsenBearbeiten

KreiseBearbeiten

 
Kreis: Peripheriewinkelsatz

Ein Kreis mit der Gleichung   ist durch drei Punkte   nicht auf einer Geraden eindeutig bestimmt. Eine einfache Methode, die Parameter   zu bestimmen, benutzt den Peripheriewinkelsatz für Kreise:

Vier Punkte   (s. Bild) liegen genau dann auf einem Kreis, wenn die Winkel bei   und   gleich sind.

Üblicherweise misst man einen einbeschriebenen Winkel in Grad oder Radiant. Um die Gleichung eines Kreises durch 3 Punkte zu bestimmen, ist das folgende Winkelmaß geeigneter:

  • Um den Winkel zwischen zwei Geraden mit den Gleichungen   zu messen, wird hier der folgende Quotient benutzt:
 
Dieser Quotient ist der Kotangens des Schnittwinkels der beiden Geraden.

Peripheriewinkelsatz für Kreise:

Für vier Punkte   keine drei auf einer Geraden (s. Bild) gilt:
Die vier Punkte liegen genau dann auf einem Kreis, wenn die Winkel bei   und   im obigen Winkelmaß gleich sind, d. h., wenn:
 

Das Winkelmaß ist zunächst nur für Sekanten, die nicht parallel zur  -Achse sind, verfügbar. Die angegebene vereinfachte Formel ist aber schließlich auch für diese Ausnahmen gültig.

Eine Folge des Peripheriewinkelsatzes in dieser Form ist:

3-Punkteform einer Kreisgleichung:

Die Gleichung des Kreises durch die 3 Punkte   nicht auf einer Geraden ergibt sich durch Umformung der Gleichung (Beseitigung der Nenner und quadratische Ergänzung):
 

Diese Formel lässt sich durch Verwenden der Ortsvektoren, des Skalarproduktes und der Determinante übersichtlicher schreiben:

 

Beispiel:

Für   ergibt sich zunächst die 3-Punkteform

  und schließlich  

EllipsenBearbeiten

In diesem Abschnitt werden nur Ellipsen betrachtet mit Gleichungen

 

für die der Quotient   fest (invariant) ist. Mit der Abkürzung   erhält man die geeignetere Form

  •   und   fest.

Die Achsen solcher Ellipsen sind parallel zu den Koordinatenachsen und ihre Exzentrizität (s. oben) ist fest. Die Hauptachse ist parallel zur  -Achse, falls   ist, und parallel zur  -Achse, falls   ist.

 
Ellipse: Peripheriewinkelsatz

Wie beim Kreis ist so eine Ellipse durch drei Punkte nicht auf einer Geraden eindeutig bestimmt.

Für diesen allgemeineren Fall führt man das folgende Winkelmaß ein:[9][10]

  • Um den Winkel zwischen zwei Geraden mit den Gleichungen   zu messen, wird hier der folgende Quotient benutzt:
 

Peripheriewinkelsatz für Ellipsen:

Für vier Punkte   keine drei auf einer Geraden (s. Bild) gilt:
Die vier Punkte liegen genau dann auf einer Ellipse mit der Gleichung  , wenn die Winkel bei   und   im obigen Winkelmaß gleich sind, d. h., wenn:
 

Das Winkelmaß ist zunächst nur für Sekanten, die nicht parallel zur  -Achse sind, verfügbar. Die angegebene vereinfachte Formel ist aber schließlich auch für diese Ausnahmen gültig.

Der Beweis ergibt sich durch einfaches Nachrechnen. Dabei kann man im Fall „Punkte auf einer Ellipse …“ annehmen, dass der Mittelpunkt der Ellipse der Ursprung ist.

Eine Folge des Peripheriewinkelsatzes in dieser Form ist:

3-Punkteform einer Ellipsengleichung:

Die Gleichung der Ellipse durch die 3 Punkte   nicht auf einer Geraden ergibt sich durch Umformung der Gleichung (Beseitigung der Nenner und quadratische Ergänzung):
 

Diese Formel lässt sich (wie beim Kreis) übersichtlicher darstellen durch

 

wobei   das hier geeignete Skalarprodukt   beschreibt.

Beispiel:

Für   und   ergibt sich zunächst die 3-Punkteform

  und schließlich  .

Ellipsen zeichnenBearbeiten

 
Würfel mit Kreisen in Vogelperspektive

Ellipsen treten in der darstellenden Geometrie als Bilder von Kreisen auf. Es ist also wichtig, geeignete Werkzeuge zur Verfügung zu haben, mit denen man Ellipsen zeichnen kann. Es gibt im Wesentlichen drei Typen von Verfahren, mit denen Ellipsen gezeichnet werden:

  • einzelne Punkte, die man mit einem Kurvenlineal zu einer glatten Kurve verbindet,
  • stetige Konstruktionen, die man technisch als Ellipsenzirkel realisieren kann und
  • eine Approximation einer Ellipse mit Hilfe ihrer Scheitelkrümmungskreise und eines Kurvenlineals.

Den meisten Ellipsenzirkeln liegen die unten beschriebenen zwei Papierstreifenmethoden zugrunde. Diese waren schon den Griechen (Archimedes und Proklos) bekannt, wie man auch und vieles andere mehr in dem eigenständigen Artikel Ellipsograph des Archimedes nachlesen kann. Wenn kein Ellipsenzirkel zur Verfügung steht, ist die Approximation mit Hilfe der Scheitelkrümmungskreise die schnellste und beste Methode, eine Ellipse zu zeichnen.

Für jede hier beschriebene Methode ist

  • die Kenntnis der beiden (Symmetrie-) Achsen und der Halbachsen   erforderlich.

Ist dies nicht der Fall, was in der darstellenden Geometrie oft vorkommt, so muss man wenigstens den Mittelpunkt und zwei konjugierte Halbmesser kennen. Mit Hilfe der Rytz-Konstruktion lassen sich dann die Scheitel und damit die Achsen und Halbachsen ermitteln. Nur die Parallelogramm-Methode (s. unten) bietet die Möglichkeit, zu zwei konjugierten Halbmessern direkt (ohne Rytz) einzelne Punkte einer Ellipse zu konstruieren.

 
Ellipse: Gärtnerkonstruktion

GärtnerkonstruktionBearbeiten

Die definierende Eigenschaft einer Ellipse - die Summe der Abstände zu zwei Punkten ist konstant - nutzt die Gärtnerkonstruktion als einfache Möglichkeit, eine Ellipse zu zeichnen. Hierzu benötigt man einen Faden der Länge   und zwei Reißbrettstifte (oder Nägel, Stifte, …), um die beiden Enden des Fadens in den Brennpunkten der zu zeichnenden Ellipse zu befestigen. Führt man einen Stift mit Hilfe des gespannten Fadens (s. Bild) über die Zeichenfläche, so entsteht die durch die Länge des Fadens und die Lage der Brennpunkte definierte Ellipse. Diese einfache Methode gibt Gärtnern die Möglichkeit, ellipsenförmige Beete anzulegen, was der Methode den Namen gab.

Eine Variation der Gärtnerkonstruktion zur Konstruktion konfokaler Ellipsen geht auf den irischen Bischof Charles Graves (en) zurück.

Ellipsenzirkel des Frans van SchootenBearbeiten

 
Ellipsenzirkel des Frans van Schooten
Animation

Im Jahr 1657 veröffentlichte Frans van Schooten in seinem Werk EXERCITATIONUM MATHEMATICARUM LIBRI QUINQUE[11] in LIBER IV[12] die Methode Gärtnerkonstruktion[13] und ein paar Seiten weiter einen Ellipsenzirkel.[14] Basis für den Ellipsenzirkel ist die Gärtnerkonstruktion.

 
Prinzipskizze, Ellipsenzirkel des Frans van Schooten.
Die Kurve ist eine exakte Ellipse.

Die Hauptelemente des rautenförmigen Ellipsenzirkels sind die fünf gleich langen Stäbe mit ihren Gelenkpunkt-Abständen  ,  ,  ,   und   sowie der deutlich längere Diagonalstab ab   durch   mit dem Klemmelement   für den Spielausgleich. Der Stab mit dem Gelenkpunkt-Abstand   und der Diagonalstab überkreuzen sich im Punkt   und sind über Führungsnuten mithilfe eines sogenannten Gleitsteins dreh- und schiebbar verbunden. In diesem Gleitstein ist auch der Zeichenstift und ggf. der Handgriff montiert. Der zweite Gleitstein befindet sich im Gelenkpunkt  . In den Gelenkpunkten   und   des Ellipsenzirkels sind die Zirkelnadeln befestigt.

Die Länge z. B. des Stabes   ist gleich der Länge der Hauptachse  . Der Abstand der Gelenkpunkte   und   bestimmt die Länge der Nebenachse. Je kleiner dieser Abstand ist, umso mehr ähnelt die Ellipse einem Kreis.

Betrachtet man eine Hälfte der Raute  , d. h. das gleichschenklige Dreieck  , so ist der Diagonalstab ab   durch   als Mittelsenkrechte   des Gelenkpunkt-Abstandes   erkennbar, die den Stab mit Gelenkpunkt-Abstand   in   schneidet. Dadurch entsteht das zweite gleichschenklige Dreieck   mit den Schenkeln   und  . Wird nun der Ellipsenzirkel von Hand bewegt, durchläuft der Punkt   den Kreis   um den Punkt   mit dem Radius   (gleich  ), dabei wirkt der Diagonalstab mit seinem Gelenkpunkt-Abstand   konstant als Mittelsenkrechte der sich kontinuierlich verändernden gleichschenkligen Dreiecke   und  . Daraus folgt: In jeder gedrehten Stellung des Ellipsenzirkels gilt

 

Werden in die weiter oben beschriebene Definition einer Ellipse als geometrischer Ort die Bezeichnungen der betreffenden Punkte, u. a. die Brennpunkte   und  , aus der Darstellung des Ellipsenzirkels eingesetzt, ergibt sich

 

Damit wird aufgezeigt: Die mit dem rautenförmigen Ellipsenzirkel gezogenen Kurven sind exakte Ellipsen.

Um eine Ellipse zu zeichnen, sticht man zuerst zur Lagefixierung des Ellipsenzirkels die Zirkelnadeln der Gelenkpunkte   und   in die Brennpunkte der Ellipse und zieht anschließend mithilfe des Handgriffs oder ggf. nur mit dem Zeichenstift die Ellipsenlinie.

Parameterdarstellung mit Sinus und KosinusBearbeiten

Die übliche Parameterdarstellung einer Ellipse verwendet die Sinus- und Kosinusfunktion. Wegen   beschreibt

  •  

die Ellipse   Mit Hilfe dieser Darstellung lassen sich die folgenden Ellipsenkonstruktionen leicht verstehen.

Punktkonstruktion nach de La HireBearbeiten

Die auf de La Hire[15] zurückgehende Punktkonstruktion benutzt die beiden Scheitelkreise, das sind die Kreise um den Mittelpunkt der Ellipse mit den Halbachsen   als Radien. Der Parameter   wird hier als der Steigungswinkel eines von   ausgehenden Strahls interpretiert. Mit der in der Zeichnung angegebenen Methode wird ein Punkt mit den Koordinaten  , also ein Ellipsenpunkt, konstruiert.

PapierstreifenmethodenBearbeiten

Die beiden Papierstreifenmethoden verwenden zwei weitere Möglichkeiten der geometrischen Interpretation des Parameters   der obigen Parameterdarstellung einer Ellipse. Sie liefern die Grundlagen der meisten Ellipsenzirkel.

1. Methode

Die erste Methode verwendet

  • einen Papierstreifen der Länge  .

Der Punkt, in dem sich die Halbachsen treffen, wird mit   markiert. Wenn der Streifen nun so bewegt wird, dass die beiden Enden jeweils auf einer Achse gleiten, überstreicht der Punkt   die zu zeichnende Ellipse. Der Beweis ergibt sich aus der Parameterdarstellung   und der Interpretation des Parameters als Winkel des Papierstreifens mit der  -Achse (s. Bild).

Eine technische Realisierung des gleitenden Streifens kann man auch mit Hilfe eines Paares cardanischer Kreise erreichen (s. Animation). Der große Kreis hat den Radius  .

Eine Variation der 1. Papierstreifenmethode[16] geht von der Beobachtung aus, dass der Mittelpunkt   des Papierstreifens sich auf dem Kreis mit Mittelpunkt   und Radius   bewegt. Man kann also den Papierstreifen in der Mitte (Punkt  ) trennen und an dieser Stelle ein Gelenk einfügen und den zuvor auf der  -Achse gleitenden Punkt in den Mittelpunkt der Ellipse verlegen. Nach dieser Operation bleibt das abgeknickte Ende des Papierstreifens fest (im Punkt  ) und der unveränderte Teil des Streifens samt dem Punkt   bewegt sich wie zuvor. Der Vorteil dieser Variation ist: Man benötigt nur einen technisch anspruchsvollen Gleitschuh. Auch gegenüber der cardanischen Realisierung der 1. Papierstreifenmethode ist diese Variation technisch einfacher.
Man beachte, dass immer dasjenige Ende des Streifens, das auf der Nebenachse gleitet, in den Mittelpunkt verlegt wird!

 
Ellipse: 2. Papierstreifenmethode

2. Methode:

Die zweite Papierstreifenmethode geht von einem

  • Papierstreifen der Länge  

aus. Man markiert den Punkt, der den Streifen in zwei Teile der Längen   und   zerlegt. Der Streifen wird so auf den Achsen positioniert, wie im Bild zu sehen ist. Der Teil, der die Länge   besitzt, liegt zwischen den Achsen. Das freie Ende   beschreibt dann die zu zeichnende Ellipse. Der Beweis ergibt sich aus der Zeichnung: Der Punkt   kann durch die Parameterdarstellung   beschrieben werden. Dabei ist   der Steigungswinkel des Papierstreifens.

Diese Methode benötigt zu ihrer technischen Realisierung auch zwei Gleitschuhe, ist aber flexibler als die erste Papierstreifenmethode. Sie ist die Grundlage für viele Ellipsenzirkel (s. Weblink Ellipsenzirkel).

Bemerkung: Auch hier ist eine Variation durch Abknicken des Streifenteils zwischen den Achsen möglich. Es ist dann, wie bei der ersten Methode, nur ein Gleitschuh nötig.

 
Approximation einer Ellipse mit Hilfe der Scheitelkrümmungskreise

Approximation mit ScheitelkrümmungskreisenBearbeiten

Aus der Formelsammlung (s. unten) ergibt sich:

  • Der Krümmungsradius für die Hauptscheitel   ist  
der Krümmungsradius für die Nebenscheitel   ist  

Die Zeichnung zeigt eine einfache Methode, die Krümmungsmittelpunkte   des Scheitels   und des Nebenscheitels   zeichnerisch zu bestimmen:

(1) Markiere den Hilfspunkt   und zeichne die Gerade  .
(2) Zeichne die Gerade durch  , die senkrecht zur Geraden   verläuft.
(3) Die Schnittpunkte   dieser Geraden mit den Ellipsenachsen sind die gesuchten Krümmungsmittelpunkte (Beweis: einfache Rechnung).

Die Krümmungsmittelpunkte der restlichen Scheitel ergeben sich aus Symmetrie. Man zeichnet die beiden restlichen Scheitelkrümmungskreise. Mit Hilfe eines Kurvenlineals lässt sich dann eine gute Näherung der Ellipse zeichnen.

Steiner-Erzeugung einer Ellipse (Parallelogramm-Methode)Bearbeiten

 
Ellipse: Steiner-Erzeugung
 
Steiner-Erzeugung als Animation

Die folgende Idee, einzelne Punkte einer Ellipse zu konstruieren, beruht auf der Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts (nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner):

Hat man für zwei Geradenbüschel in zwei Punkten   (alle Geraden durch den Punkt   bzw.  ) eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung   des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nichtausgearteten Kegelschnitt.[17][18]

Für die Erzeugung einzelner Punkte der Ellipse   gehen wir von den Geradenbüscheln in den Scheiteln   aus. Sei nun   der obere Nebenscheitel der Ellipse und  . Dann ist   der Mittelpunkt des Rechtecks  . Wir unterteilen die Rechteckseite   in   gleiche Stücke, übertragen diese Unterteilung mittels einer Parallelprojektion in Richtung der Diagonalen   auf die Strecke   (s. Bild) und nummerieren die Unterteilungen wie im Bild. Die benutzte Parallelprojektion zusammen mit der Umkehrung der Orientierung vermittelt die nötige projektive Abbildung der Büschel in   und  . Die Schnittpunkte der zugeordneten Geraden   und   liegen dann auf der durch die Vorgaben (3 Punkte, 2 Tangenten) eindeutig bestimmten Ellipse. Mit Hilfe der Punkte   lassen sich Punkte auf dem 2. Viertel der Ellipse bestimmen. Analog erhält man Punkte der unteren Hälfte der Ellipse.

Bemerkung:
a) Benutzt man statt der Scheitel zwei Punkte eines anderen Durchmessers, so muss man für   einen Punkt des konjugierten Durchmessers wählen und arbeitet dann mit einem Parallelogramm statt eines Rechtecks. Daher rührt auch der manchmal gebräuchliche Name Parallelogramm-Methode.
b) Den Beweis dieser Methode kann man auch am Einheitskreis nachrechnen. Da Teilverhältnisse und Parallelität bei affinen Abbildungen invariant bleiben, ist der Beweis dann auch allgemeingültig. (Eine Ellipse ist ein affines Bild des Einheitskreises!)

Auch für Parabel und Hyperbel gibt es Steiner-Erzeugungen.

Ellipsen in der ComputergrafikBearbeiten

Besonders in der Computergrafik lohnt sich die Ableitung einer Ellipse aus einer Kreisform. Eine achsenparallele Ellipse ist dabei einfach ein Kreis, der in einer der Koordinatenrichtungen gestaucht oder gedehnt, mit anderen Worten: anders skaliert wurde. Eine allgemeine, in beliebigem Winkel gedrehte Ellipse kann man aus so einer achsenparallelen Ellipse durch Scherung erhalten, s. a. Bresenham-Algorithmus. Die Punkte werden also numerisch berechnet und gezeichnet.

BeispieleBearbeiten

  • Schaut man schräg auf einen Kreis (beispielsweise auf die Deckfläche eines Kreiszylinders), so erscheint dieser Kreis als Ellipse; präziser: Eine Parallelprojektion bildet Kreise im Allgemeinen auf Ellipsen ab.

Formelsammlung (Ellipsengleichungen)Bearbeiten

Ellipsengleichung (kartesische Koordinaten)Bearbeiten

Mittelpunkt  ,

 

Aufgelöst nach  :

 

Die letzte Form ist praktisch, um eine Ellipse mit Hilfe der beiden Bahnelemente, numerische Exzentrizität und große Halbachse, darzustellen.

Mittelpunkt  , Hauptachse parallel zur  -Achse:

 

Ellipsengleichung (Parameterform)Bearbeiten

Mittelpunkt  , Hauptachse als  -Achse:

 

Mittelpunkt  , Hauptachse parallel zur  -Achse:

 

Mittelpunkt  , Hauptachse um   bezüglich  -Achse rotiert:

 

Dabei bezeichnet   den Parameter dieser Darstellung. Dieser entspricht nicht dem Polarwinkel   zwischen der  -Achse und der Geraden, die durch den Ursprung und den jeweiligen Ellipsenpunkt führt, sondern z. B. dem Polarwinkel   zwischen der  -Achse und der Geraden, die durch den Ursprung und den Punkt mit gleicher y-Koordinate wie der Ellipsenpunkt jedoch auf dem Kreis mit Radius   führt (vgl. Konstruktion nach de la Hire). In der Astronomie heißt dieser Parameter bei Keplerellipsen die exzentrische Anomalie, bei Meridianellipsen in der Geodäsie heißt er parametrische oder reduzierte Breite, vgl. Referenzellipsoid.

Für nicht rotierte Ellipsen, also  , hängt der Polarwinkel  , der durch   definiert ist, mit dem Parameter   zusammen über:

 

Diese Beziehung erlaubt eine anschauliche Interpretation des Parameters  : Streckt man die  -Koordinate eines Ellipsenpunktes   um den Faktor  , so liegt dieser neue Punkt   auf einem Kreis mit Radius   und demselben Mittelpunkt wie die Ellipse. Der Parameter   ist nun der Winkel zwischen der  -Achse und der Verbindungslinie  :

 

Ellipsengleichung (Polarkoordinaten bzgl. des Mittelpunkts)Bearbeiten

Hauptachse waagrecht, Mittelpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

 
 
Exzentrische Anomalie   und wahre Anomalie   bzgl. des rechten Brennpunkts sowie wahre Anomalie   bzgl. des linken Brennpunkts als Funktion des Polarwinkels   für verschiedene numerische Exzentrizitäten  

In kartesischen Koordinaten ausgedrückt, parametrisiert durch den Winkel der Polarkoordinaten, wobei der Mittelpunkt der Ellipse bei   und ihre Hauptachse entlang der  -Achse liegt:

 
Herleitung

Aus der Ellipsengleichung in kartesischen Koordinaten   und der Parametrisierung der kartesischen in Polarkoordinaten   und   folgt:

 

Umstellen und Radizieren liefert den Radius abhängig vom Polarwinkel.

Ellipsengleichung (Polarkoordinaten bzgl. eines Brennpunkts)Bearbeiten

Hauptachse waagrecht, rechter Brennpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts (Halbparameter  ):

 

Hauptachse waagrecht, linker Brennpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

 

Der Wertebereich der Radien erstreckt sich von der Periapsisdistanz   bis zur Apoapsisdistanz  , die folgende Werte haben:

 

In kartesischen Koordinaten ausgedrückt, parametrisiert durch den Winkel   bzw.   der Polarkoordinaten, wobei der rechte Brennpunkt der Ellipse bei  , der linke Brennpunkt bei   liegt:

 
 

Der Winkel   bzw.  , je nachdem welcher Pol Bezugspunkt ist, heißt in der Astronomie die wahre Anomalie.

Herleitung

Man betrachtet ein Dreieck, das von den beiden Fixpunkten  ,   und einem beliebigen Punkt   auf der Ellipse aufgespannt wird.

Die Abstände zwischen diesen Punkten betragen:   sowie   und nach der Definition der Ellipse  . Der Winkel bei   sei  . Mit dem Kosinussatz gilt nun:

 

Analog verläuft die Herleitung für den rechten Pol. Die Abstände lauten   und   und  . Der Winkel bei   sei  , da