Eine Inellipse ist in der Geometrie eine Ellipse, die die Seiten eines gegebenen Dreiecks berührt. Das einfachste Beispiel ist der Inkreis. Weitere wichtige Beispiele sind die Steiner-Inellipse, die die Dreiecksseiten in deren Mitte berührt, die Mandart-Inellipse und die Brocard-Inellipse. Sie spielen in der Dreiecksgeometrie eine Rolle. Schränkt man die Ellipse nicht durch spezielle Anforderungen ein, so gibt es zu einem Dreieck unendlich viele Inellipsen.

Beispiel einer Inellipse

Da ein nicht ausgearteter Kegelschnitt durch 5 Bestimmungsstücke (Punkte, Tangenten) eindeutig bestimmt ist, darf man für eine Inellipse eines Dreiecks nur auf zwei Seiten auch die Berührpunkte vorgeben. Der Berührpunkt auf der 3. Seite ist dann dadurch schon eindeutig bestimmt.

Parameterdarstellungen, Mittelpunkt, konjugierte HalbmesserBearbeiten

 
Eine Inellipse ist durch das Dreieck und die Vorgabe der zwei Berührpunkte   eindeutig bestimmt. (M = Mittelpunkt der Ellipse)

Die Inellipse des Dreiecks mit den Eckpunkten

 

und den zwei Berührpunkten

 

auf der Seite   bzw.   lässt sich durch die rationale Parameterdarstellung

  •  

beschreiben. Dabei sind   durch die Vorgaben der Berührpunkte wie folgt bestimmt:

 

Der 3. Berührpunkt ist

 

Der Mittelpunkt der Inellipse ist

 

Die Vektoren

 
 

sind zwei konjugierte Halbmesser und die Inellipse besitzt damit die weitere (übliche) Parameterdarstellung

  •  
 
Brianchon-Punkt einer Inellipse eines Dreiecks

Der Brianchon-Punkt der Inellipse (gemeinsamer Punkt   der Geraden  ) ist

 

Mit Hilfe der Zahlen   lassen sich die zwei Berührpunkte   leicht variieren. Die Schranken für   sichern, dass die Berührpunkte wirklich auf den beiden Dreieckseiten liegen. Sie liefern für   die Schranken  .

Man beachte, dass hier   nicht die Halbachsen der Ellipse oder Seiten des Dreiecks sind, sondern Parameter, die die Beziehung zwischen den Berührpunkten   und den Eckpunkten   festlegen !

BeispieleBearbeiten

 
Mandart-Inellipse

Steiner-InellipseBearbeiten

Für   sind die Berührpunkte   die Seitenmitten und die Inellipse ist die Steiner-Inellipse (Mittelpunkt ist der Schwerpunkt).

InkreisBearbeiten

Für   ergibt sich der Inkreis des Dreiecks mit dem Mittelpunkt

 

Mandart-InellipseBearbeiten

Für   erhält man die Mandart-Inellipse des Dreiecks. Sie berührt die Seiten in den Berührpunkten der Ankreise. Ihr Mittelpunkt ist der Mittenpunkt des Dreiecks.

 
Brocard-Inellipse

Brocard-InellipseBearbeiten

Für   erhält man die Brocard-Inellipse. Sie ist durch die Vorgabe ihres Brianchon-Punktes in trilinearen Koordinaten   eindeutig bestimmt.

HerleitungenBearbeiten

 
Bestimmung der Inellipse durch Lösen des Problems für eine Hyperbel in der  Ebene und anschließender Transformation der Lösung in die x-y-Ebene.
  ist der Mittelpunkt der gesuchten Ellipse und   zwei konjugierte Durchmesser.
Sich entsprechende Punkte wurden in beiden Darstellungen mit denselben Buchstaben bezeichnet.   ist die Ferngerade der x-y-Darstellung.
Neue Koordinaten

Zum Beweis betrachtet man die Aufgabe projektiv und führt geeignete neue inhomogene  - -Koordinaten so ein, dass der gesuchte Kegelschnitt zur Hyperbel mit den Koordinatenachsen als Asymptoten wird und   zu den Fernpunkten der Koordinatenachsen werden. Die Dreieckspunkte   werden in den neuen Koordinaten (mit eckigen Klammern) durch   beschrieben und die Gerade dazu hat die Gleichung  . (Dass die hier verwendeten   tatsächlich mit denen in der Aussage des Satzes identisch sind, zeigt die Rückabbildung unten.) Gesucht ist nun eine Hyperbel mit den Koordinatenachsen als Asymptoten, die die Gerade   berührt. Man rechnet leicht nach, dass dies für die Hyperbel mit der Gleichung   der Fall ist. Sie berührt die Gerade   im Punkt  .

Koordinatentransformation

Die Rückabbildung der gefundenen Lösung wird in homogener Darstellung durch die Matrix

  beschrieben.

Ein Punkt   wird dabei auf

  abgebildet, falls   ist. Ein Punkt   der  - -Ebene wird dabei durch den Spaltenvektor   repräsentiert (siehe homogene Koordinaten). Ein Fernpunkt hat die Darstellung  .
Koordinatentransformation wesentlicher Punkte
 
 
(Man beachte, dass :  ist.)

  ist Gleichung der Ferngerade der x-y-Ebene, Ihr Fernpunkt ist  .

 

Der Fernpunkt von   in der  - -Ebene geht also in einen Fernpunkt der x-y-Ebene über, den Fernpunkt der Gerade  . Dies bedeutet: Die zwei in  - -Koordinaten zu   parallelen Tangenten der Hyperbel sind auch in den x-y-Koordinaten parallel. Die Berührpunkte dieser Tangenten sind:

 

Da in der x-y-Ebene die Ellipsentangenten in den Punkten   parallel sind, ist   ein Durchmesser der Ellipse, d. h. der Mittelpunkt der Strecke   ist der Mittelpunkt   der Ellipse:

 

Man prüft leicht nach, dass   die  - -Darstellung

 

hat. Um den zu   konjugierten Ellipsendurchmesser zu finden, muss man in der  - -Ebene die Schnittpunkte   der zu den Tangenten parallele Gerade durch   (sie hat die Gleichung  ) mit der Hyperbel bestimmen. Es ergibt sich  . Und in x-y-Koordinaten

 

Aus den beiden konjugierten Durchmessern   lassen sich zwei vektorielle konjugierte Halbmesser   ermitteln:

 
 

Damit ergibt sich eine trigonometrische Parameterdarstellung der Inellipse:

 

Hieraus lassen sich, wie bei der Steiner-Ellipse, die Halbachsen, Exzentrizität, der Flächeninhalt, die Scheitel und eine Gleichung in x-y-Koordinaten der Inellipse berechnen.

Für den Berührpunkt   der Seite   gilt:

 

Der Brianchon-Punkt der Inellipse ist der gemeinsame Punkt   der drei Geraden  . Man berechnet zunächst   in der  - -Ebene als Schnitt der drei Geraden:   und transformiert den Schnittpunkt in die x-y-Ebene. Es ergibt sich

 

Die punktweise Transformation der Hyperbel   liefert eine rationale Parameterdarstellung der Inellipse:

 
Inkreis
 
Inkreis eines Dreiecks

Für den Inkreis gilt   und damit

(1)  Ferner gilt in diesem Fall
(2) . (s. Bild)

Löst man beide Gleichungen nach   auf, erhält man

(3) 

Um den Mittelpunkt zu bestimmen, berechnet man zunächst mit Hilfe von (1) und (3)

 

Also ist

 
Mandart-Inellipse

Die Parameter   für die Mandart-Inellipse ergeben sich aus den Angaben für die Abstände der Berührpunkte der Ankreise (s. Ankreis) von den Ecken.

Brocard-Inellipse

Die Brocard-Inellipse wird durch die Vorgabe ihres Brianchon-Punktes   festgelegt. Er hat in trilinearen Koordinaten die einfache Darstellung   [1]. Rechnet man die trilinearen Koordinaten in die hier geeignete Darstellung   um, so erhält man  . Sind andererseits die Parameter   einer Inellipse vorgegeben, so ergibt sich aus der obigen Formel für  , dass   ist. Setzt man die Ausdrücke für   jeweils gleich und löst nach   auf, so ergibt sich

 

Inellipse mit maximalem FlächeninhaltBearbeiten

  • Die Steiner-Inellipse hat den größten Flächeninhalt von allen Inellipsen eines Dreiecks.
Nachweis

Aus einem Satz von Apollonios folgt, dass der Flächeninhalt einer Ellipse mit den konjugierten Halbmessern   gleich

  ist (s. Artikel Steiner-Ellipse).

Für die Inellipse mit den Parametern   ist (s. o.)

 
 

(Es ist  . Man beachte die Regeln für Determinanten !)
Um die Wurzeln bei der Berechnung zu vermeiden, genügt es, die Extremstellen der Funktion   zu bestimmen:

 

Wegen   ergibt sich durch Vertauschen von s und t:

 

Auflösen der beiden Gleichungen nach s und t liefert

  d. h.:

Die Steiner-Inellipse ist die Inellipse mit maximalem Flächeninhalt.

Inellipse und baryzentrische KoordinatenBearbeiten

 
Inellipse und baryzentrische Koordinaten
 
Richtungen konjugierter Durchmesser und Mittelpunkt

Führt man für eine baryzentrische Beschreibung mit

 

Parameter   so ein, dass

  ist,

so gilt zwischen den obigen Parametern   und  

  und umgekehrt  

Der 3. Berührpunkt ist dann :   und der Brianchonpunkt   hat die einfache Darstellung

 

Hieran erkennt man, dass die Inellipse auch durch die Lage ihres Brianchonpunktes (und des Dreiecks) eindeutig beschrieben wird.

Der Mittelpunkt der Ellipse ist

 

Dieses Ergebnis kann man aus der obigen Formel für den Mittelpunkt ableiten oder die Eigenschaft

Der Mittelpunkt   der Sehne   liegt auf der Gerade  

verwenden. (Die Richtungen der Geraden   sind bezüglich der Ellipse konjugiert.) Diese Eigenschaft gilt entsprechend auch für   und  .   kann also in baryzentrischen Koordinaten als Schnittpunkt der Geraden   berechnet werden. Aber auch die zeichnerische Bestimmung von   ist damit möglich.

Der Vorteil der baryzentrischen Beschreibung besteht in ihrer Übersichtlichkeit. Die x-y-Koordinaten von Punkten lassen sich leicht aus ihren baryzentrischen Koordinaten mit der Schwerpunkt-Formel berechnen.

 
3 sich berührende Inellipsen in einem Dreieck

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Imre Juhász: Control point based representation of inellipses of triangles, Annales Mathematicae et Informaticae 40 (2012) pp. 37–46, S. 44