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Ein Schnittpunkt ist in der Mathematik ein gemeinsamer Punkt zweier Kurven in der Ebene oder im Raum. Der allgemeine Sprachgebrauch versteht unter Schnittpunkt jenen zweier Geraden, was jedoch im mathematischen Kurvenbegriff enthalten ist. Im Raum gibt es noch den Schnittpunkt einer Kurve mit einer Fläche. Im einfachsten Fall schneidet eine Gerade eine Ebene.

Schnittpunkt zweier Geraden

Die Bestimmung eines Schnittpunktes ist in den beiden Fällen Gerade-Gerade und Gerade-Ebene einfach (s. unten). Im Allgemeinen führt die Bestimmung von Schnittpunkten auf nicht lineare Gleichungen, die man in der Praxis mit einem Newton-Verfahren löst. Schnittpunkte einer Gerade mit einem Kegelschnitt (Kreis, Hyperbel, Ellipse, Parabel) oder einer Quadrik (Kugel, Ellipsoid, Hyperboloid, …) führen auf quadratische Gleichungen und sind auch noch relativ leicht lösbar. Für den Schnitt einer Gerade mit Ebene/Kugel/Zylinder/Kegel bietet die darstellende Geometrie Methoden, um Schnittpunkte zeichnerisch zu bestimmen[1].

Schnittpunkt in der EbeneBearbeiten

Schnittpunkt zweier GeradenBearbeiten

Für den Schnittpunkt zweier nicht paralleler

  • Geraden (gegeben in Koordinatenform)  

ergibt sich mit der Cramerschen Regel für die Koordinaten des Schnittpunktes  

 

Falls   ist, sind die beiden Geraden parallel.

  • Für eine Gerade durch die Punkte
  und  
und eine Gerade durch die Punkte
  und  
Berechnet man den Schnittpunkt, indem man zuvor die Zweipunkteformen in Koordinatenformen umrechnet.
Der Schnittpunkt   ergibt sich zu
 
und
 

Schnittpunkt zweier StreckenBearbeiten

 
Schnitt zweier Strecken

Sind zwei nicht parallele Strecken   und   gegeben, so müssen sie sich nicht schneiden. Denn der Schnittpunkt   der zugehörigen Geraden muss nicht in beiden Strecken enthalten sein. Um letzteres zu klären, stellt man beide Strecken parametrisiert dar:

 ,
 

Schneiden sich die Strecken, so muss der gemeinsame Punkt   der zugehörigen Geraden Parameter   haben mit der Eigenschaft  . Die Schnittparameter   sind Lösung des linearen Gleichungssystems

 
 

Dieses löst man (wie oben) mit der Cramerschen Regel, überprüft die Schnittbedingung   und setzt   oder   in die zugehörige Parameterdarstellung ein, um schließlich den Schnittpunkt   zu erhalten.

Beispiel: Für die Strecken   und   erhält man das Gleichungssystem

 
 

und  . D. h. die Strecken schneiden sich und der Schnittpunkt ist  .

Bemerkung: Betrachtet man Geraden durch zwei Punktepaare (nicht Strecken !), so kann man die Bedingung   ignorieren und erhält mit dieser Methode den Schnittpunkt der beiden Geraden (s. vorigen Abschnitt).

 
Schnitt Kreis-Gerade

Schnittpunkte einer Geraden mit einem KreisBearbeiten

Um den Schnitt der

  • Gerade   mit dem Kreis  

zu berechnen, wird zunächst das System durch Setzen von   und   so verschoben, dass der Kreismittelpunkt im Nullpunkt liegt. Dadurch ergibt sich als neue Kreisgleichung

 

und als neue Geradengleichung

  mit  .

Durch Auflösen der Geradengleichung nach   oder  , Einsetzen in die Kreisgleichung, Anwenden der Lösungsformel für quadratische Gleichungen und anschließendes Rückgängigmachen der Verschiebung ergeben sich dann die Schnittpunkte   mit

 

sofern   gilt. Im Fall der Gleichheit gibt es nur einen Schnittpunkt und die Gerade ist eine Tangente des Kreises.

Bemerkung: Die Schnittpunkte einer Gerade mit einer Parabel oder einer Hyperbel lassen sich analog durch Lösen einer quadratischen Gleichung bestimmen.

 
Schnittpunkte zweier Kreise

Schnittpunkte zweier KreiseBearbeiten

Die Bestimmung der Schnittpunkte zweier Kreise

  •  

lässt sich durch Subtraktion der beiden Gleichungen auf das Problem Schnittpunkte der Gerade

 

mit einem der beiden Kreise zurückführen (s. o.).

Alternative BerechnungsmethodeBearbeiten

Analog zu den obigen Kreisgleichungen, sind die Mittelpunkte der Kreise wie folgt beschreibbar:

 

Die Bezeichnungen sind der nebenstehenden Grafik zu entnehmen. Des Weiteren lässt sich der Vektor   wie folgt beschreiben:

 

(Hinweis:   stellt die Vektornorm dar, bzw. die Länge des Vektors)

Wobei   die Radien der Kreise repräsentieren. Dieser Vektor verbindet also die Punkte   und  . Auf diese Formel kommt man durch geometrische Überlegungen. Und zwar muss anhand der in der Grafik zu sehenden Dreiecke die folgende Gleichung nach dem Satz des Pythagoras erfüllt sein.

 

Dies lässt sich quadriert wie folgt formulieren, wobei   ein prozentualer Faktor darstellt:

 

Nun benötigt man einen zum Richtungsvektor zwischen   und   orthogonalen Einheitsvektor. Dies lässt sich dann wie folgt darstellen:

 

Die Schnittpunkte   lassen sich nun wie folgt beschreiben:

 

 
Schnitt Kreis-Ellipse

Schnittpunkte zweier KegelschnitteBearbeiten

Die Aufgabe, die Schnittpunkte einer Ellipse/Hyperbel/Parabel mit einer Ellipse/Hyperbel/Parabel zu bestimmen, führt bei Elimination einer Koordinate i.a. auf eine Gleichung vierten Grades, die nur in speziellen Fällen leicht lösbar ist. Die Schnittpunkte lassen sich allerdings auch iterativ mit Hilfe des 1- bzw. 2-dimensionalen Newton-Verfahrens bestimmen, je nachdem man a) beide Kegelschnitte implizit (→ 2-dim. Newton) oder b) einen implizit und den anderen parametrisiert darstellt (→ 1-dim. Newton). Siehe hierzu den nächsten Abschnitt.

Schnittpunkt zweier KurvenBearbeiten

 
Schnittpunkte zweier Kurven: transversales Schneiden
 
Schnittpunkt zweier Kurven: berührendes Schneiden bzw. Berührung

Zwei in der Ebene   liegende, stetig differenzierbare Kurven (also Kurven ohne „Knick“) haben einen Schnittpunkt, wenn sie einen Punkt der Ebene gemeinsam haben und die beiden Kurven in diesem Punkt entweder

a) unterschiedliche Tangenten aufweisen (transversales Schneiden), oder
b) gemeinsame Tangenten haben und sich in dem Punkt kreuzen (berührendes Schneiden, siehe Bild).

Falls die beiden Kurven zwar einen gemeinsamen Punkt   und dort eine gemeinsame Tangente haben, aber sich nicht kreuzen, berühren sie sich in  .

Da berührendes Schneiden eher selten vorkommt und rechnerisch sehr aufwendig zu behandeln ist, wird im Folgenden stets transversales Schneiden vorausgesetzt. Um es nicht immer wieder erwähnen zu müssen, werden auch die jeweils nötigen Differenzierbarkeits-Bedingungen vorausgesetzt. Die Bestimmung von Schnittpunkten führt immer wieder auf das Problem, eine Gleichung mit einer bzw. zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten lösen zu müssen. Die Gleichungen sind im Allgemeinen nicht linear und können dann beispielsweise mit dem 1- oder 2-dimensionalen Newton-Verfahren numerisch gelöst werden. Im Folgenden werden die einzelnen Fälle und die zu lösenden Gleichungen beschrieben:

 
Schnittpunkt: parametrisierte Kurve / implizite Kurve
 
Schnittpunkt: implizite Kurve / implizite Kurve
  • Falls beide Kurven explizit vorliegen:   liefert Gleichsetzen die Gleichung
 
  • Falls beide Kurven parametrisiert vorliegen:  .
Gleichsetzen liefert zwei Gleichungen für zwei Unbekannte:
 
  • Falls eine Kurve parametrisiert und die andere implizit gegeben sind:  .
Dies ist nach dem expliziten der einfachste Fall. Denn man muss hier nur die Parameterdarstellung von   in die Gleichung   von   einsetzen und erhält die Gleichung
 
  • Falls beide Kurven implizit gegeben sind:  .
Ein Schnittpunkt ist hier die Lösung des im Allgemeinen nichtlinearen Gleichungssystems
 

Die für das jeweilige Newton-Verfahren nötigen Startwerte lassen sich aus einer Visualisierung der beiden Kurven gewinnen. Eine parametrisiert oder explizit gegebene Kurve lässt sich leicht visualisieren, da man zu vorgegebenem Parameter   bzw.   direkt einen Punkt berechnen kann. Für implizit gegebene Kurven ist dies nicht so einfach. Hier muss man im Allgemeinen mit Hilfe von Startpunkten und einem Iterationsverfahren Kurvenpunkte berechnen[2].

Beispiele:

1:   und Kreis   (s. Bild).
Es ist die Newton-Iteration   für
  durchzuführen. Als Startwerte kann man −1 und 1,5 wählen.
Die Schnittpunkte sind: (−1,1073; −1.3578) und (1,6011; 4,1046)
2:  
  (s. Bild).
Es ist die Newton-Iteration
  durchzuführen, wobei   die Lösung des linearen Gleichungssystems
  an der Stelle   ist. Als Startpunkte kann man (−0,5; 1) und (1; −0,5) wählen.
Das lineare Gleichungssystem löst man am einfachsten mit der Cramerschen Regel.
Als Schnittpunkte ergeben sich (−0.3686; 0,9953) und (0,9953; −0,3686).

Schnittpunkt zweier PolygoneBearbeiten

 
Schnitt zweier Polygone: Fenstertest

Falls man Schnittpunkte zweier Polygone sucht, kann man jede Teilstrecke des einen Polygons mit jeder Teilstrecke des anderen Polygons auf Schneiden untersuchen (s. oben: Schnitt zweier Strecken). Für Polygone mit vielen Teilstrecken ist diese einfache Methode sehr zeitaufwändig. Durch sogenannte Fenstertests lässt sich die Rechenzeit deutlich reduzieren. Dabei fasst man mehrere Teilstrecken zu einem Teilpolygon zusammen und berechnet das zugehörige Fenster, das ist das minimale achsenparallele Rechteck, das das Teilpolygon enthält. Bevor aufwändig ein Schnittpunkt zweier Teilpolygone berechnet wird, werden die zugehörigen Fenster auf Überlappung getestet[3].

Schnittpunkte im RaumBearbeiten

Im 3-dimensionalen Raum spricht man von einem Schnittpunkt (gemeinsamer Punkt) einer Kurve mit einer Fläche. Bei den folgenden Überlegungen sollen (wie oben) nur die transversalen Schnitte einer Kurve mit einer Fläche behandelt werden.

Schnittpunkt einer Geraden mit einer EbeneBearbeiten

 
Schnittpunkt: Gerade - Ebene

Eine Gerade wird im Raum in der Regel durch eine Parameterdarstellung   und eine Ebene durch eine Gleichung   beschrieben. Durch Einsetzen der Parameterdarstellung der Gerade in die Ebenengleichung ergibt sich die lineare Gleichung

 

für den Parameter   des Schnittpunktes  . (Falls die lineare Gleichung keine Lösung besitzt, ist die Gerade parallel zur Ebene. Falls die Gleichung für alle   erfüllt ist, ist die Gerade in der Ebene enthalten.)

Schnittpunkt dreier EbenenBearbeiten

Ist eine Gerade als Schnitt zweier nicht paralleler Ebenen   gegeben und soll mit einer dritten Ebene   geschnitten werden, muss der gemeinsame Punkt der 3 Ebenen bestimmt werden.

Drei Ebenen   mit linear unabhängigen Normalenvektoren   besitzen den Schnittpunkt

 

Zum Beweis überzeuge man sich von   unter Beachtung der Regeln für ein Spatprodukt.

Schnittpunkte einer Kurve mit einer FlächeBearbeiten

 
Schnittpunkt: Kurve  , Fläche  

Analog wie im ebenen Fall führen die folgenden Fälle zu im Allgemeinen nicht linearen Gleichungssystemen, die mit einem 1- bzw. 3-dimensionalen Newton-Verfahren gelöst werden können:[4]

  • parametrisierte Kurve   und
parametrisierte Fläche  
  • parametrisierte Kurve   und
implizite Fläche  

Beispiel:

parametrisierte Kurve   und
implizite Fläche   (siehe Bild)
Zu lösende Gleichung:  
Die Schnittpunkte sind: (−0,8587; 0,7374; −0,6332), (0,8587; 0,7374; 0,6332).

Bemerkung: Eine Gerade kann auch in einer Ebene enthalten sein. Dann gibt es unendlich viele gemeinsame Punkte. Auch eine Kurve kann teilweise oder vollständig in einer Fläche enthalten sein (siehe Kurven auf der Fläche  ). In diesen Fällen spricht man aber nicht mehr von Schnittpunkt.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

WeblinksBearbeiten

 Wiktionary: Schnittpunkt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen