Schnittpunkt (Darstellende Geometrie)

Schnittpunkte treten in der Darstellenden Geometrie auf als gemeinsame Punkte

  • von Kurven (Geraden, Kreise, ...) in der Zeichenebene (Grundriss-, Aufrisstafel, ...).
  • von Geraden im Anschauungsraum.
  • von Geraden mit Ebenen, Kugel, Kegel, Zylinder, ... (im Anschauungsraum).
Schnittpunkte von a) Gerade und Kreis in der Zeichenebene b) Gerade und Zylinder

Wenn Geraden beteiligt sind, was meistens der Fall ist, werden die Schnittpunkte Durchstoßpunkte genannt.

Gemeinsame Punkte von Kurven und Flächen werden in der Darstellenden Geometrie nicht berechnet, sondern zeichnerisch in einer Zweitafelprojektion (Grund- und Aufriss) bestimmt und dann gegebenenfalls in eine anschaulichere Projektion (Axonometrie) übertragen.

Schnittpunkte (Durchstoßpunkte) und Schnittkurven (Durchdringungskurven) werden in Büchern über Darstellende Geometrie meist in einem gemeinsamen Kapitel Durchdringungen behandelt.

Schnittpunkt zweier Geraden im RaumBearbeiten

 
Schnitt zweier Geraden in Zweitafelprojektion
 
windschiefe (links u. mitte) und parallele (rechts) Geraden

Zwei in Grund- und Aufriss gegebene Geraden im Raum haben genau dann einen

  • Schnittpunkt, wenn in einer geeigneten Zweitafelprojektion sich ihre Grund- und Aufrisse schneiden und die Schnittpunkte auf demselben Ordner (Lotgerade zur Risskante) liegen (siehe Bild).

Zwei Geraden sind windschief, falls

  • sich die Grundrissgeraden und die Aufrissgeraden schneiden und deren Schnittpunkte auf zwei verschiedenen Ordnern liegen oder
  • die Aufrissgeraden verschieden und parallel sind und die Grundrissgeraden sich schneiden oder
  • die Grundrissgeraden verschieden und parallel sind und die Aufrissgeraden sich schneiden.

Sichtbarkeitsbetrachtungen:
Bei Sichtbarkeitsbetrachtungen (s. Gerade und Dreieck, unten) ist es wichtig für zwei windschiefe Geraden zu entscheiden, welche Gerade über bzw. vor der anderen verläuft. Hierzu betrachtet man den Schnittpunkt der Grundrisse und erkennt anschließend am zu gehörigen Ordner im Aufriss, welche Gerade an dieser Stelle über der anderen verläuft (siehe Bild mit windschiefen Geraden,   verläuft an der Stelle   über  ). Analog geht man vor, um zu entscheiden, welche Gerade bei   vor der anderen verläuft.

Sind sowohl die Aufrisse als auch die Grundrisse der Geraden parallel, so sind die Geraden selbst parallel.

Bemerkung:

  1. Liegen die beiden Geraden in einer Ebene  , die zur Grundrisstafel aber nicht zur Aufrisstafel senkrecht ist, so fallen die Grundrisse der Geraden zusammen. Dies ist aber kein Problem, da der Schnittpunkt im Aufriss konstruiert und anschließend in den Grundriss übertragen werden kann. Entsprechendes gilt, falls die Ebene   nur zur Aurisstafel senkrecht ist.
  2. Liegen die beiden Geraden in einer zur Risskante senkrechten Ebene  , so fallen ihre Grundrisse und Aufrisse zusammen. In diesem Fall ist die Beschreibung der Geraden durch Grund- und Aufriss nicht eindeutig und man kann keinen Schnittpunkt bestimmen. Erst durch Hinzunahme eines dritten Risses (Dreitafelprojektion) lässt sich der Schnittpunkt ermitteln.

Schnittpunkt einer Gerade mit einer EbeneBearbeiten

 
Schnitt Gerade-Ebene (Durchstoßpunkt D)
 
Schnitt Gerade-Ebene: Beispiel (links: Vorgabe)

Gegeben: eine Ebene   durch ein Dreieck   und eine Gerade   in Grund und Aufriss.
Gesucht: der Durchstoßpunkt (Schnittpunkt) der Gerade mit der Ebene.
Zur Konstruktion verwendet man die senkrechte Hilfsebene  , die die Gerade   enthält. Die Grundrisse   und   fallen also zusammen (s. Bild). Der Grundriss der Schnittgerade   fällt auch mit   zusammen. Damit sind die Schnittpunkte   von   mit dem Dreieck die Grundrisse der Schnittpunkte   der Gerade   mit dem Dreieck. Die Aufrisse   findet man über Ordner. Somit ist   bekannt und kann mit   geschnitten werden.   ist der Aufriss des gesuchten Durchstoßpunktes  . Der Grundriss   liegt auf dem zugehörigen Ordner und  .

Falls es geeignet erscheint, kann man die Hilfsebene   auch senkrecht zur Aufrisstafel wählen. Dann beginnt die Konstruktion im Aufriss.

Zur Sichtbarkeit: An der Stelle   erkennt man, dass die Gerade   über der Dreiecksseite   verläuft. Die Gerade   ist also im Grundriss zwischen den Punkten   und   sichtbar und zwischen   und   durch das Dreieck (als Fläche) verdeckt.

Schnittpunkte einer Gerade mit einem ZylinderBearbeiten

 
Schnitt Gerade-Zylinder in Zweitafelprojektion

Die Bestimmung der Schnittpunkte einer Gerade mit einem senkrechten Kreiszylinder, der senkrecht auf der Grundrisstafel steht, ist besonders einfach: Man erhält die Grundrisse der Schnittpunkte als Schnittpunkte des Grundrisses der Gerade mit dem Grundriss des Zylinders (Kreis) und überträgt die Schnittpunkte über Ordner auf die Gerade im Aufriss (s. Bild).

Falls der Zylinder nicht senkrecht auf Grund- oder Aufrisstafel steht, führt man eine neue Risstafel so ein, dass dies in den neuen zugeordneten Rissen der Fall ist (siehe Schnittpunkt Gerade-Kugel).

Schnittpunkte einer Gerade mit einer KugelBearbeiten

 
Schnitt Gerade-Kugel in Zweitafelprojektion (links: Vorgabe)

Gegeben: Grund- und Aufriss einer Kugel   und einer Gerade  .
Gesucht: die Schnittpunkte   der Gerade mit der Kugel.
Als Hilfsebene wählt man hier die senkrechte Ebene   durch die Gerade  .   schneidet die Kugel in einem Kreis  . Die Schnittpunkte der Gerade mit dem Kreis liefert die gesuchten Schnittpunkte  .

Durchführung der Konstruktion:
Der Grundriss der Hilfsebene   fällt mit dem Grundriss   der Gerade   zusammen. Um die Schnittpunkte   bestimmen zu können, wird eine neue Rissebene   so eingeführt, dass sie parallel zur Ebene   ist, d. h. die neue Risskante   muss zu   parallel sein. Nach Wahl einer Risskante   konstruiert man die neuen Risse der Kugel, des Kreises   und der Gerade   (siehe hierzu Zweitafelprojektion). Die Schnittpunkte der Gerade   mit dem Kreis   liefern zunächst die Risse   der gesuchten Punkte  . Über die zugehörigen Ordner findet man schließlich   und dann  .

Schnittpunkte einer Gerade mit einem KegelBearbeiten

 
Schnitt einer Gerade mit einem Kegel: Prinzip
 
Schnitt Gerade mit-Kegel in Zweitafelprojektion (links: Vorgabe)

Gegeben: Grund- und Aufriss eines Kegels   und einer Gerade  .
Gesucht: die Schnittpunkte   der Gerade mit dem Kegel.
In diesem Fall benutzt man keine senkrechte Hilfsebene, sondern die schräge Ebene   durch die Kegelspitze und die Gerade  .   schneidet den Kegel in zwei Mantellinien (Geraden)  . Der Schnitt von   und   mit der Gerade   liefert die gesuchten Schnittpunkte.

Durchführung der Konstruktion:

  1. Zur Bestimmung der Grundrissspur   der Ebene   benötigt man zwei Spurpunkte. Als ersten Punkt wurde im Beispiel (siehe Bild) die Grundrissspur der Gerade   bestimmt. Einen zweiten Spurpunkt   erhält man mit Hilfe einer in der Ebene   liegenden Hilfsgerade  .
  2. Die Schnittpunkte der Grundrissspur   mit dem Bodenkreis des Kegels liefert Punkte  , die sowohl auf dem Kegel als auch in der Ebene   liegen. Die Geraden   sind also die Mantellinien   und deren Schnitte mit   die gesuchten Schnittpunkte (Durchdringungspunkte)  . Im Beispiel erhält man zunächst die Grundrisse   und als Schnittpunkte der zugehörigen Ordner mit   die Aufrisse  .

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Rudolf Fucke, Konrad Kirch, Heinz Nickel: Darstellende Geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-446-00778-4, S. 34,86,87.
  • Ulrich Graf, Martin Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, S. 70, 230.
  • C. Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X, S. 92