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Schnittgerade (rot) zweier Ebenen (grün und blau)

Als Schnittgerade bezeichnet man in der Geometrie eine Gerade, in der sich zwei nicht parallele Ebenen im dreidimensionalen euklidischen Raum schneiden. Eine Gerade im Raum wird üblicherweise durch eine Parameterform einer Geradengleichung beschrieben. Der Weg zu der Geradengleichung der Schnittgerade zweier Ebenen hängt von der Beschreibung der beiden zu schneidenden Ebenen ab. Da es hierfür zwei Standard-Beschreibungen (Normalenform und Parameterform) gibt, gibt es drei Möglichkeiten, die Geradengleichung der Schnittgerade zu bestimmen.

Ist eine der zu schneidenden Ebenen eine Koordinatenebene, so nennt man die Schnittgerade Spurgerade. Besitzen mehrere Ebenen eine gemeinsame Schnittgerade, so spricht man von einem Ebenenbüschel.

Schnitt einer Ebene in Normalenform mit einer Ebene in ParameterformBearbeiten

BerechnungBearbeiten

Gegeben seien eine Ebene in Normalenform,

 ,

und eine Ebene in Parameterform,

 .

Damit die Ebenen nicht parallel sind, muss   oder   sein, denn andernfalls wäre   auch ein Normalenvektor von  . Gesucht ist nun eine Parameterdarstellung der Schnittgerade

 .

Einsetzen der Parameterform in die Normalenform führt zu

 .

Ist  , dann ergibt ein Auflösen der Gleichung nach dem Parameter   und nachfolgendes Einsetzen in die Parameterform

 .

Ist  , werden die Rollen von   und   vertauscht.

BeispielBearbeiten

Die beiden Ebenen seien durch

 

und

 

gegeben. Für die Schnittgerade ergibt sich dann die Parameterdarstellung

 .

Schnitt zweier Ebenen in ParameterformBearbeiten

BerechnungBearbeiten

Falls beide Ebenengleichungen in Parameterform vorliegen, berechnet man zunächst für eine der beiden Ebenen die Normalenform und wendet dann das Verfahren aus dem vorigen Abschnitt an. Für eine Ebene mit dem Stützvektor   und den Richtungsvektoren   und   erhält man durch das Kreuzprodukt

 

einen Normalenvektor und die Ebenengleichung ist dann

 .

Um die Parallelität zweier Ebenen in Parameterform zu untersuchen, bestimmt man zunächst mit Hilfe des Kreuzproduktes für eine der Ebenen einen Normalenvektor. Sind die Skalarprodukte dieses Normalenvektors mit den Richtungsvektoren der anderen Ebene jeweils gleich null, so sind die beiden Ebenen parallel.

BeispielBearbeiten

Die beiden Ebenen seien durch

 

und

 

gegeben. Als Normalenvektor für   ergibt sich

 

und damit die Normalenform

 .

Für die Schnittgerade erhält man dann die Parameterdarstellung

 .

Schnitt zweier Ebenen in NormalenformBearbeiten

BerechnungBearbeiten

Gegeben seien nun zwei Ebenen

 

und

 

Damit die Ebenen nicht parallel sind, müssen die beiden Normalenvektoren   linear unabhängig sein, das heißt   darf nicht Vielfaches von   sein. Gesucht ist wieder eine Parameterdarstellung der Schnittgerade

 .

Der Richtungsvektor der Schnittgerade ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Normalenvektoren:

 .

Einen Stützvektor   der Schnittgerade erhält man, indem man die Ebenen   und   mit der zu ihnen senkrechten Ebene

 

schneidet. Die Parameter   und   findet man durch Einsetzen in die Gleichungen der Ebenen   und   und erhält so

 .

BeispielBearbeiten

Die beiden Ebenen seien durch

 

und

 

gegeben. Hieraus ergibt sich der Richtungsvektor der Schnittgerade als

 .

Für den Stützvektor   folgt aus   und aus obiger Formel

 .

Also ist

 

eine Parameterdarstellung der Schnittgerade beider Ebenen.

AnmerkungBearbeiten

Die obige Formel liefert zwar eine Parameterdarstellung der Schnittgerade ohne jegliche Fallunterscheidungen, sie ist allerdings rechenaufwändig. Bei konkret vorgegebenen Ebenengleichungen kann es besser sein, den Gauß-Algorithmus zur Bestimmung einer Parameterdarstellung der Schnittgerade zu verwenden. Für obiges Beispiel ist das lineare Gleichungssystem

 
 

zu lösen. 2-mal die erste Gleichung minus 1-mal die zweite Gleichung ergibt das Gleichungssystem in Zeilenstufenform:

 

Die Unbekannte   kann frei gewählt werden:  . Nachdem   ist liefert ein Einsetzen in die erste Gleichung  . Damit erhält man die (etwas andere) Parameterdarstellung der Schnittgerade:

 .

Siehe auchBearbeiten